HOKKAIDOU I E S T N V R I Y T C N C LREPORTS R E I M T E A I S E H I A EIS N A H M T C 子7 学 4 T O a a Y G g ，.J m oa dG N k m r (d. ，ata D百 r凶 a qainぅ 1p g . 20. . z w ， . i a S i b n . a a u a Es) Pril i e e lEutos 5 a田 02 o g h o y n Agbac e m t y ヲ 9 ae. D Mtuht (d) Poedns f h wrs印“ H d eT e r a d leri G o e r " 11pgs . assia E. ，rceig o te okl 20. 03 M Hysia dG 1hkw (d. ， 02 . aah n . siaa Es) 20 年度談話会・特別講演アブストラクト集， 3 pgs 20. 4 ae. 03 T O a a Y G g ，.J m o K Tuaa Y T 田 g w n G Nkmr(d. ， rceig o te . z w ， . i a S i b ， . sty ， . o a aa d . aauaEs) Poedns f h 2t SpooS m o i mo PrilDf r t lEutos 7 ae. 20. 8h apr y p s u n ata if e i qain 6pgs 03 ena う#5 7 #6 7 #7 7 #8 7 #9 7 #0 8 #1 8 #2 8 #3 8 #4 8 #5 8 千# 学 S 1uia G 1hkw， .S n a d1S i a a(d. ， h 1t M J I 1 “ iglrt T e r a d . zmy， . siaa T a o n . h m d Es) T e 2h S - R Snuaiy h o y n I Apiain " B T A T 21pgs 20. t plctos A S R C S 9 ae. 03 s う H K b a dT O a a(d.，rceig o apr GetH u eS m o i mo M t e a is1 . u o n . z w Es) Poedn日 fSpoo us o s y p s u n a h m tc 5 “ vlto Eutos ， pgs 20. Eouin qain " 3 ae. 03 1 2 ae. 04 S M y j m ぅ.T k oa dT Nkz (d.， 1 回関数空間セミナー報告集う 12pgs 20. . i a i a F a e n . aai Es)第 2 Y G g ， 1旧 ny n K Dgci(d. ，ahmtclApcso 1 a ePoesn a dC m u e . i a S z iaa d . euh Es) Mteaia set f m g rcsig n o p t r . Vso 20 4 ae.20. iin 03 8pgs 04 う 1S i a aa dY T n g w (d. ， 03 . h m d n . o e a a Es) 20 年度談話会・特別講演アブストラクト集， 5 a田 . 20. 2p g 04 T e2 dHUa dS US m o i mo MteaisAsrcs 2 pgs 20. h n n N y p s u n ahmtc btat，2 ae. 04 r G a四 ua Y o e a a n . S山 y d. ， rceig f h a( T O a a Y G g ，.J巾 0， .N1 nr ， .T n g w a dK Tl . Es) Poednso te . z w ， . ia S i 2t SpooS m o i mo PrilD百 r t lEutos 7 ae. 20. 9h apr y p s u n ata i 8 n a qain 7pgs 04 ei う叩 m u 叩 1 T O a aa dY T 凶 s凶 . z w n . s 凱山 n 8 6 T O a aa dY T us 凶(d.う， Lcue nnnierdsesv eutosI， 7pgs 20. . z w n . 日凶凹 tu Es etrso olna iprie qain I 4 ae. 04 臼吋 . ) T O a aa dY Tusm (d.， . z w n . stui Es) COES m o i mNnierDsesv Eutos 8 ae. 20. y p s u olna iprie qain 5pgs 04 ぅ#7 8 #8 8 #9 8 #0 9 #1 9 #2 9 #3 9 #4 9 #5 9 #6 9 #7 9 #8 9 #9 9 T N m k ， .H t k y m ，.Tdkr a dH Ai(d. ，北海道大学数学教室におけるメタデータ交 . a i i M a a e a a S aooo n . o Es)換プロトコノレ O 1 P Hに準拠した e r tサーバ構築， 1 p g . 20. A-M -i pn 4 a田 04 S 1uia(d) M Tkhsi T M y o G O u a a Y N k n a dK 1uぅ 1 . zmy E. . aaah ，. i a ， . k y m ， . a a o n . ni 第回数学総合若手研究集会 COECneec f Y u gRsaces 13pgs 20. ofrne o o n eerhr， 4 ae. 05 r s etr e e rs cluu o h tks prtr n qsae，4 ae. 05 r J Sa， tCOELcueS i HCXl-aclsf teSoe oeao o L-pcs 3 pgs 20. . al 1 d) 1 ae. 05 S M y j m ，.T k oa dT Nkz ( s ， 1 回関数空間セミナ一報告集う 11pgs 20. . i a i a F a e n . aai E . 第 3 研究員連続講演会反応一拡散方程式の大域解と爆発解についてう 8p g . 20. a回 05 N U e a 第 4回 COE . m dぅ K A i a 第 2回 COE . r mう研究員連続講演会極小モデ、ルプログラムの入門およびその正標数への拡張， 2 5 pgs 20. ae. 05 otrlt田 s O T M LH D I G N R S N E HRFL Y N k n う学位論文 Dcoa h i “ P 1 A E G N 1 THEP E E C OFS O T A L . aao R S "4 pgs 20. I K 3 ae. 05 7 ae. 05 K j M t u o o n M s o izni( s ， 04 e i a s m t a d a a Jnej E . 20 年度談話会・特別講演アブストラクト集， 1 pgs 20. i d) T O a a Y G g ，.J m o G N k m r ， .T n g w a dK Tuaa(d.う rceig fte . z w ， . i a S i b ， . a a u a Y o e a a n . sty Es) Poednso h ena 3t SpooS m o i mo PrilD f r t lEutos 8 pgs 20 0h apr y p s u n ata if e i qain ，3 ae. 05 研究員連続講演会 M W t n b ぅ 5 COE . a a a e第回 『逆散乱法』入門う 5 ae. 20. 2pgs 05 1 n D ， 8 ae. 05 t M T k d ，.M k m (d. ， r b biya dP E 4 pgs 20. . a e a T i a i Es) P o a i M V nM n n T e t COE etr S i “ r m h ctlcs i mda a s o h Vrnidarm . a a e ，h 6h Lcue e e F o te u-ou va eil x t te ooo iga rs i a dbc " 2pgs 20. n ak 4 ae. 05 応用数理サマーセミナー逆問題札幌. 2 0 05 日本応用数理学会・北海道大学数学 C E O 共催序 本冊子は，応用数理サマーセミナー「逆問題J(日本応用数理学会・北海道大学数学 COE 催 20 年 9 共， 05 月 5 日~7 日，北海道大学)のレクチャーノートとしてまとめられたものである. 応用数理の中核を成す一分野であると同時に，工学に遍在する「逆問題」に関して，その数理的基礎，統計的手法から，工学における応用，最先端の話題，数値計賢法とソフトウェア実装にいたるまで，この分野を第一線で牽引されている講師障に，初歩的な所から詳しく解説していただいている.本セミナーが，逆問題の基礎の習得と同時に，応用数理に関連する若手研究者の交涜の場となれば幸いである. 組織委員:奈良高明，松尾字泰，降旗大介，棲井鉄也，坂上貴之，速水謙プログラム 95月 j() 1 0 1 4 山本昌宏(東京大学) i 3055 :-:基礎応用逆問題と数学解析」 1 0 1 4 田謹園士(早稲田大学) i n 統計的視点からの逆問題」 6085 :-:基礎: 96火 j() 9 0 1 5 久保司郎(大阪大学) i :-: 014 応用:工学分野等における逆問題の展開」 1 0 1 4 池畠優(群馬大学) i 3055 :-:先端的話題:逆問題の解の直接再構成」 1 0 1 3 サマーセミナー参加者によるポスター発表 6080 :-: 97水 j() 9 0 1 5 藤原宏志(京都大学) i :-: 014 数値計算:多倍長計算の逆問題、非適切問題への適用」不適切問題への統計的アプロー チ E主. 6阻 i ，車 7 主﹃ ヒチ 7 T ﹄マ ヲチ 傘ッ 田辺~ 闘士 9 . 1 不適切問題とモデル化 . z軸ζ沿って無限ζ長い繕があり s その側面が断熱さ i i れているとする.時刻 tIおげるζ の.棒上の位置 zのζ (，) () r . 塩度を u %t とすると，様の温度分布 u， t の時間変化は，熱(拡散}方程式 o / t ouO2( 0 u d = 2/% t )> く存在しなくなりうる . ζのような意味で，乙の逆問題 norcl oe rbe は不適切問題 icretypsdpolmとよばれる. l 不適切問題ζ導びかれるものには，乙のほか，電場の様子から電荷の分布を求める問題や，観測システムの出力信号から入力信号を求める問題のように，素朴な意味での因果関係にあるこつの事象の結果の方から原因を探ぐるという型の逆問題が多い . ζれらは.実用上多くの重要な問題を含み. しばしば第一種の穣分方程式() 1 ζ 従う.たとえば.t 0 1 において図 1 i =.6 の点謀のように温度分布している&き• t 1 での分布は実識のよう= = :l :に 7 l ζれらは t Oで% =!のところに等しい熱な.. を与えたときに実現する. ==.6 乙乙で t lでの分布を知って t 0 1 での分布がど(Kf)昨~k(%， E )を解く() 3 ζ と1 帰着する.たとえば，走査型分光光度計なζ うなっていたかを求める問題を考えよう.ある温度分布を与え，それ阻後の時点での分布を問う問題が富接問題とよばれるのにたいして，上のような問題は逆問題とよくれ t と， ばれる. 0 < 2 のき ζれらの時点での温度分布どから得られる出力スペタトル g r と装置分解能関数() . k，~)霊 k{.r ーのおよび入力スペクトル f(のとは( r . () 3 の関係にあると考えられるから，前ニ者を知れば，方 3 程式( )を解くζ と (eovlto)により分解能の dcnouin の聞には改善が可能になる.また，核融合の実験においてプラズ覆の A e 型積分 bl ?の断面密度を測定する際には，第 1 方程式に(1阿布コ~))吋ー(.rーザ除 u. ( tl)d~=u(%. t e 7 )という関係があるので，ζ の逆問題は，データ() 2 u %t (，) 2 ~:{l/VZ士宮)f{E)d何ωを解く問題が生じる. ζれらの第を与えて第 1 穫の F e h l 型積分方程式( )を解 rdom 2 2 や図 l からわかるよく乙とに帰着する.とζ ろが式( )うに，熱の拡散には強い平滑化作用があり，温度分布の l 空間的な援助は時聞が経過すると共ζ急速に減衰する. 1 種の積分方程式の解 f の右辺 g にたいする対応は，さきの例のように不連続なので，その数 3 値解を得るために方程式( )を誼接離散化すると，埠ぴかれる述立一次方程式は悪条件となる.したがってそれを直接解いても右辺( J つの温度分布でしたがって，ある時点で非常に異なる 2 も，時聞が経過するにつれ非陥・!と似かよゥた分布になるζ I こもともと含まれていた誤差とがある.いいかえると，方程式( )の右辺の小さ 2 ! れ J や離散化誤差のために，安定した意味ある解が1 らな い.熱方程式の逆問題のときには，たとえば~12 のよう乙娘滅的ζ作用して，元の解とは! な誤差が，逆問胞の解 l 全く異なる椋.慣を示すものとなったり，さらには解が全になる. ζ れらの問題は文字どおり定式化が不適切な悶 O 5 M R H9 3 7 数理科学 N.1 ， A C 1 6 -1- 1 2 ' 唱 .. l . . . . -6 5 . -5 2 . γ? 0 . : 1 国、 2 . 5 5 . 6 1 官品 1 明3 国 z ' 1 NI 5. P P lT 1 CN l 3 . j!l . E 0E 1 P !山i.O 初日乙 1 - 7 RlC N. 5L P 3 ' 7 PIi O" f i[町L02125E 6 l 1畑 E : .017 Rt l ・ 7. 6l 釦 7 21 l 1 円 cE SDV 11 555 . . 096 )附 XE DV 33 1 ( . !似) . i 8 1 2 tP lL 5 I IT ' N t ' I ' i E1 -0 RC I - l.31 W 711 l 白E 日 V 4171 .193 05&混 E・ 1.37 1 CV 60"5 1 32 RE引開古L 日 .I051 !lrl~ 1 0 I.E 0~~喝~071j 1 CV . S C HXE RCV 1.2S~66~・ 6020.2~O::: I I : z a a ‘ a s 国 4 包 1F 1L 5 ' 3 PIT 1 DN 1 1 R5∞ ..8961E 1 E1 純 01551 - 3 ・泡5伺 9 気 . 2 RC J HQE O 1053el 5OV . 798 ; If . l HXE O岨: I ・ 1 AOV . 7事 O . 1 1 NP 5L 可 P JT 1 目N 5 RSI胤 . 01073E 1 EIX .936 - 9 プ se ! 5 r .6 e! C . At I 時叩E V O3538 .0Si . !舟 DV .424 H XE 06760 1 2 !I日R.. 01到 5Q~-19 'E間!. .6 ' 3 ・l 自 C ・ 02 15 93. 28 1 NP $L (同 ' ! Pl T . 3 1 7 MQE 21122 SCV .1056 渦日V . 67 3 1j 雪 HXE 6" 5 11 1 2 ー 唱 a 唱ー -0 ・0 5 . 2 . 5 国- ~.白 o ・. . S O 4 函一 a u v --・-M M" ' Hυ a 内 7 ，‘ 町 u a -戸n 司内 S M -F -M M M -u a l m s 内 F J a ・1 3H NP 5L 2 PIT ON 1 6 f 5 (お札口 .8j6 E 1 l[ E 1ヨ7 !・3 [ . 1 ・鉛9 ' :) 3;; .7 " ( AC I H.l 02222 5DV ." 31 C 3 1 HXE 075 1 AOV .0時 3 I Z NP iL !白 IC PIT ON 1 7 -9 RSDR 0.165~IS6 l 1 E1Ul 銅烈 .26~.2 Hi E 0922i SDV .日 96 C F E 1271叫組問 V .730 1 2 E a -軍 7 6 事 q -ICI. !N; 5 0 . 10 0 G 3 . .v : . 10 :. 図お. 6 お. 0 回 1 1 箇 5C . . 1 0 1 2 2 -2-題なので，方程式(3，)だけから近似解を見つける乙とは難しい.意味ある近似解を求めるためには，真の解あ一般に高い周控数成分をもつので. () () の右辺は 8 9 意味を持たない.そζ で雑音成分が優越する高周技部分 i るいは誤差ζ関するなんらかの事前情報を用いて解の属すべき範囲を限定する必要がある.いいかえると，解にたいする広い意味でのモデルを導入し，問題を適切化しなければならない . ζの意味で，不通切問題はモデル化の問題というζ とができる. ()Kωω ￨を避けて. GωI(}を有限の周波数帯! く崎 で反 とすれば，なめらかな近似解転させるζ とl N)(/守句司?. f 哨(げ筑否)ae 六= 1ν巴f 加e 市ぽ ω:f ，に ' r が得られると考えられる. ζ れを更に一般化して， I ω 1 →∞のとき I ， 4 となる S )(1 ω・ S )をぴ (選，ω 92 従来の適切化遺 . 方程式()において解 3 fがなめらかである乙とが予ζ の方!C}(/ 2 'e=1V lo.fδω)Kω}(}ω(l r e.((/()Swd 1))' ): c めわかっている場合がある . ζの知器を用いて，程式の妥当な近似解を得るととができる. を近似解とする乙ともできる.たとえば， Sω= (ω Kω/K ω)()α W()(勾 (} K ー) ()(ー( Kω+， ω)1 A T k o o の正刻化法) ihnv とすると J T k o o の正則化!と対応する適切化が行な ihnv われ るた だし ， W() I ωま非負の偶関数で， W{) 0 ω>， f のなめらかさを測る汎関数(正則化汎関数) O f =1 ¥， ) 2 (} 2 )d () :ω( ( f :/ : 2:: o x ac x x P 16 ' () 5 ω キ 0， W(ω)~k>O(ω『∞)とする .S () 平滑北した s~を右辺とする方程式の Fourier 逆変換を s とすると，近似解(1 はデータ 6 を s で 1) Kf=5)(g 8 を考える.ただし，ω()は正値連続関数とする.デー iX :タ 0にたいして適当な正数αを選び，汎関数(平揖化汎関数)() 1 3 の解ζ対応しているζ とにな o i . M ( . ) I ! 0 2+ 0， " J Q = K - 12 αぴ )( h は L ノルム) f ・ a を最小にするよ記() 6 蜘， AB ，いずれの方法においても，近似解の平滑化，切り捨て周技数の程度を決定する正則化パラメターα 設は あるいはフィルター関数 S の定 ，人間の主観的な判断に餐ねられており，近似解の良し悪しは，全くとの判断の結果ζ依存する. l fを R. とする. とのとき .Kf=O .a 時 I f 2 O かつ(() ∞な らば， a L にたいして I8= Jf く e 2 R i e Pが一意的に定まり，1-= "jC 1 叫: 8が 0 0 1 ζ近づくと，αをき は 2 I d ζ比例するように小さく選んでいくと(")りは f 引に一様に近づく . ζの意味で， R a RO(( " S. 3 やわらかい統計的モデル族の評価と A C I f の近割解と者徹すζ とができる. () 式の中の 6 oは(")Z ζ疲動的成分が現れるのを抑制する鋤 Ra() 1 きをする .R ，はそれぞれ正則化作用素，正則化パラ "αメターとよばれる. B )周波数空間でのモデル化による解法不適切問題を解く鍵は，解 f C J 閲する既知の知識をいかに適切にモデル I表現するかにかかっている.データ C 外の知識には，漠然としたものから明確で限定的なものまで様々なレベルがあり，措定されるモデルもそれに応じて，現象論的なものから実体的なものまで多種多様となる.問題を不適切ならしめているものが誤差であり，それが摺測や機敏化に起因し制御しきれない性絡のものであるとすれば，ζ l 統計的モデルを想定する乙とは，ζζきわめて自然であろう. の構造がかなり知られており，それを一意的にモ解f デル I表現できる場合に 1 C :1，問題は単一の毛デルζ含ま i れるパラメターの推定だけというζ とになる.さきの熱 fを Fuir変換した周並致空間で. f ore のなめらかさをモデル化する乙ともできる . ζζ では，方程式( ) 3 は Cnouin型 ovlto 側 f := " 日げ 桝=()( ) X} " ( x Lk o: 7 x とする. データ a が( 坊 o c と・維音，()の和とす(): ex : 7 ると，方程式( )の形式解は!(e)~(1/~)~二e''''(G(QJ)IK(QJ})dω(8)方程式の逆問題の場合 iζt=Oで様上の 2 ζ熱 が加 点l えられたζ と;を知れば，u t のモデルとして( )， x : o fh2_"0I( W I ()d ω(9 J -¥ 。ω IK 1 E )回 . ， 0 。 2 u (川}=オ宗{ 州ー (-)/t A : B24) x + e p ー(-}/t) C x (: D24} c (4 1)となる.ただし，σ ，はそれぞれ gke の .KE ，， N .13 MARCH17 O 5， 96 Fu o- r r変倹とする.組置関数￨乙対応する i c Kωはー盤に()が考えられる.乙れを( )式の左辺ζ代 入し て最 小 2 l ω →∞のとき I()-0 となるのにたいし，雑音 Eは Kω1 ' 2 罪法によってパラメター A BCD を決めれば， .，， 数理科学 3 -3- 1. t の良い近似解が得られよう. 4: l (:) r . しかし，一般に実験科学では，対象に関する不完全な知識に華づいて有限のデータから解すなわち . を 1 f の構造を帰納す f(E)=21{α，1伽(~)() 1 6 i るという過還を操り返しながら衛次・真'の続造ζ近 引 ，とパラメトライズする.ただし，んは，K を適 当に ・ K， r 正規化したものをめ E ん ' p とするときの正規化係数とする . ζζ で，統計的線型モデルづいていく.その中途段階で用いられるモデルは単ーのものではなく，対象の構造と誤差を分離できる程度には 5 程限定的であるが，同時に，データに柔軟に追随でき 4 度には十分可塑的でやわらかいモデルの族でなければな . な . こ， らい こに ζの毛デルの接の中からデータを畳も。 (r=K)%)E %)(](;+r = l I .:)E・ iI2 M () z a め: .+r =.，(r …， 1 7 N 良く説明するものを評価選択すあという問題が生じる. 実験帰納においてモデル作成とならぷ重要な桂であるモデルの比較評価という仕事は，とれまでデータ解析者の i 知識・経験・置感ζ額って行なわれてきた. 乙れをデーを想定する.ただし， E は平均 0 r ，未知分散がの正規ζ 3 ，分布{独立に従うものとする.積分方程式( )は M x N行列(め() を係数行列とるす連立一次方程式%) 1 l こ離散化窓れ，問題はα，)を求める乙と l (乙帰着する. αi の最小二乗解を計算すれば，1の近似解()式より求められる. たの ，も をζ のようにタによヲて行なおうとすると，本質的な困難にぶつか i みやわらかいをデルの旗ζおいて，自由度(パラメタ fが(6 1)ま，データへの見かけよのー数}が比較的大きいモデル l i i あてはまりは良くなるが，データζ 含まれる誤差ζ過剰 e l 空間ともどす方法を仮りζ 随伴回帰法とで i . 空間上で固掃させ: r :もよび，関数系{ψ'j(~)，め(.:r:)}を描伴回帰関数とよぷζ に反応してしまうため，安定した構造情報を取り出す乙とができない.逆に自由度が小さすぎるモデルは，対象とにする.関数系{} r ・の選択が，モデルの良否を決定 p J する. 節の熱方程式の逆問題を解くのに，，ψ W とし{ JJ 第1 て，一定の小さな区閣のみに台をもっ関数約を要素とースプライン関数系とよばれるやわらかいモデルする B のように族を用いる.たとえば図 3 l の構造を+分反映できなくなり，得られる情報ζ舗りを 7 生じる( ).したがっ・て，限られた教のデータによってモデルを評価選択するためには，との「安定性」と「儒を妥協させる・客観的'なモデルの評価基単が必要りJ となる. 赤池氏は読計的モデルの選択の問題を，モデルが定める確率分布の‘真'の確率分布への近似度の評価の問題として把え，モデルの評価基準 3 次のスプラインつの区聞の外では Oとな基底関数約は，相隣り合う 4 次の多項式で，区分点でなめらかにり，各区間上では 3 . -，J I 接続してい o 1の考案の対象区閣を[ 55 ζ限定し ，ζ O N 個の区分点を記すとき，乙の区間内 l P I T 早 A C - 1 g (モデルの最大尤度) I=2o. +2 (モデルの自由度() 1 5 を提案している[.，]モデルと真の分布の閣の Kl 123 . a. N P 次のスプライン関数族{Jの基底は N N P + SL r p } SL P I T l個の要素で構成され，次数が高いほどζ ・ ON+の 区間でなめらかな関数族を式(6 ζより表現する.区 1) 1 間[ 2 55 ょに一様に撤かれた M 2 1 - .，]= 0 個の点よで lakLilr 情報量を近似の良さの尺度の規髄として bc.ebe l 採用し，最尤推定量ζ基づく乙の情報量の推定量としてとの統計置を導びき，ζれを最小とするモデルを最良の( ): r . の実謀部)，平均 0 ，標噂関数 u， I を計算し(図 1 偏差 1・の正規乱数を加えたものをデータ 01 1 o して，と ものと判断する( I 最小化推定法)の方法 l 人 AC . ζ i . 間の判断に全面的に依存する従来の方法と異なり，デー- ， 11ζ 1 上記の方法で解いた近倒解が図 4 9 1，2 示されている.図 4 9 3 -は 次のスプライン関数を用い. その数すなわち区分点(くしのはのような短い線で示している}を順次ふやしてζ 点でユニークなもタl基づくモデルの評価が可能にな o I のである . ζの A C を適切に利用する乙とによって， fを推定したものである.区分点. l 不適切問題の実用的な解法が得られ毛乙.とを次ζ示その数が少ないと解をよ〈近~できないし，逆 lζ多すぎるっ . ~と誤差の影響をうける乙とがわかる.図1はスプライン 0 I 関数の数をふやしていくときの A Cの動きが示されて 4 スプライン関数モデルによる不適切問題の解法 . (}% .i . r = M)乙こでは，データ g%が離散点( )( I 2 ，いる.右上方はその一部を拡大したもので，点線は連立. 一次方程式の践謹平方和が一定のとζ ろを示す.図より… 上で与えられているとする. 解 I ζ関する知見にもとづき，基産関数系{糾 1 PIT が 4 :) I . 内部区分点の数(ON) 1のとき{図 8 A Cが最 W } . 小であり』推定されたしているζ f が真の解(点線)とよく一致υ 1 2 ・， )選 . を約の一次結合で近似する. = .・ . N をび 1 とが観察できる.図1，2Iは同じデータ I 11 ζ C : . 4 -4- T こいするそれぞれ二次と一次のスプライン関数によるモ I デル接の中で，それぞれ A Cが最小となるものを示し I のそれよりも大きている . ζの二つの A Cの値は図 7 い A Cを比較する乙とにより，異なる次数のスプラ . I イン関数によるモデル族の良さを比べるζ とができる. 分反映するモデルを含んでいる場舎には，A C最小佑 I 桂はかなり良好に作動する.良いモデル族を作るのはあくまでも人間であるが，モデル評価という人間が行なう帰納推理の本質的な仕事の一部を，機織的方法によって I 代行する乙とを可能にしたという意味で， A C最小化法は E EIUL なお図中. R S D A は連 立一 次方 謹式 の残 差平 I I = l (EIUL+ g 方， A C は統 計量 A C M o，R S D A ) 2 和( S L P I T l ，M Q E は真の解と推定関数 NP+ON+) S D V -，] 0点上の平均 2 乗儒差の平との差の，区間( 55 内31 方， MAXDEVは同じく最大偏差を示している. 担いわば人工知能への一つのステップを示していると言えよう.パタン毘織，商像処理，リモートセンシング等の領域への応用が期待される. I ，ま ま， A C最小化法 i いわゆる簡慢性の原理のーた 表現と解釈するζ ができるが，乙れが予測という立場から導かれた点ば興味深い. A C I を用いるととによりζ のようなやわらかい毛デルの族の中からデータにもとづいて，良い近似解を見出すととができるととは.非常に興味深い. ζζ では区分点を等間関にとるモデルを述べたが，スプラインの区分点の数だけでなく，その位置をも変数とする非線型モデルを， i 人工的誤差を加えない実際の問題ζ適用して良好な結果重要考文献[ )H Akie Rs M m N. 4， I t S t t 1 . ak: e. e o o 4 n . t i . s as 7 Mt. 1 1 a h， 9 . ()H A k;P∞ 5 hH w iI n C n. 5 t 2 . 凶 e r. t aa n l of 1 . i t. 5 . . 1 7 Sl p 関 1 ，9. c ，p ・ 0 12 ()H A ak:針。beso 白 n o a d nomto， 3 . k ie lm { t l n Ifraln r A A E I IK A Op 2721 1 3 K D M A I D p 6・ 8，釘 . . ()K T n b :Rs M m N. 2 I t 5 t tM t . 4 . a a e e. e o o 6， n . t i. a h s as bl 4 を得ている. また A e 型方程式( )も，随伴回帰関数系として w 晦 12 x) 1，J を選ぶととにより，上と同様 I l に随伴回婦法!と A C を用いて，かなり広い問題ζ対して良好な結果を得ている.また，縫散化された問題を特， 異傭分解法によって適切化するとともでき Qが一種の随伴囲燭法と考えるととができる[，] 56 . ζれも 14 9. 7 ()K T n b :Cmua伽 adA as ，6 p 2 5 . a a e ottt n n ys - p ・ li 4 . ， 2，1 5 5 9. 7 [) 周辺国土，日科技連，計算機活用セミナーテキスト p 6 p . ・ 7 4 6，1 5 1 2 9. ( J回辺闘士.b 臨時泊予I 数値計算における銭釜， p 7 U J ， p . 1 ・ 2，1 5 1 1 9. 8 5 7 {な ・{C たべ¥お.統計数理研究所} S5 むす び . 解析者が用意する毛デルの族が適切で，真の構造を十数理科学 N .13 MARCH 17 O 5， 96 5 -5-手 CO 町 f RS I N E E CEC 〈f A ;;ND/; し SAITC ヴ TTSIS 手 〆合 / M EE L町 THANNUAL ふ S M O I M う Y P S U /ょ ON，HE う T ' 「/ 1イ I T R A E 1レへ N E F C も'17 /¥ 98 い，¥. / .r 、二Is eo S t t s 三 n削一 f tii asc / 〈fNrhCrln S t Uiest iot aoia t e nvriy a ，/ 6 L a t S~uares es Spi;~呈 fcr I~correc 乞~ト?osed P o 1! s L~fcr~ation r b e:: .l îceo~etic Approac~足 !oT 1ロ立 1 と aき f . " Is iu eo S a i 七 c l1 七三三tc} T - o J nJ1 n 七七 七 f 七乞 s i a ' hヱ is o.} a e. 1 a :y . ad n Y 17 r B o 泣lvnN t oa Lbrtr} U 七!， . r o a呈 a i . l aoaoy p C1 N . 193 。0e5 1 dsusd z 1= s icse. ・ 0 ! l T e u e o te 工 a乞 s u r s s l n s f r sol~~ng i 1 p s d (u 七- o i e r h s f h ョ s qae pie o 1 - o e ! li c l n a )工 i s o m 七 a c o s n a p o r a e ~じこ，ber o .ds 1主 s h : h 七 hoig prpit fr e) 0 c i εre f p. e ，e 臼 o t o h i f c 七 o s o E d 記ddge o s l n s I c c n r 1te s=oot~~ess o appr~(iai n f o 日回 世o ni trs o sl n fn 七 os n eo f pi e ・ c io . a ，-to七 rsrig七oT 詰lnvs reð~lar1zaw hu e o t n ! . i oo' 七 . : I i a s d m n t ae h teA ak' t s l o e o s r七 dt三 h k.e s b a p i d t sel呈 C 七 t~e a por a e.l:b r e ple o . rpi p . 七!ll e l! E ! o !n s f h 1 : 'e l l t o (is r g e s o ) t o w:c i d u t g 七 d凶七 t き Sc t. s o t e i n rdg e r s i n m h d tih s g s z d oaj :o e f!c. !S 七: d 1 U. t o l ! i l ob ft e odt. e i七 dt aa .' . l 七 0 r t r o a : r : i Ilo =a1 nC i e i ncns~ccessfu1ly o f 君e ~ar~eters i t会 'pi e re さ=ess~onl mdl i N~2Ch te !U b ro nds f r o h sl. l l oes o h l ヱ e f oe ， . l c 七 os o コds ~~d d g e o sl 民 sae v r a 1 ， a e s l l 0 d t 吋也 ct o ain ! ce e r e f pi r aibe b s d o e y 0 a a u u i g a sbetv c i e i. s c a s gi i a c 1v 1 0 tき sai 七 c 1hy? ot~esn ujcie r t r o u h s i : f cユ e き e s1 と! l l . tts i a s s 七 sig 1 etn. S:e白土:!oi; t"::出 土問 Q I ' . es:. :: cと ": J . U 也: : . a:己 C.:::;~:j2C-:! 拭 e . ! ' :: !: S Y 記: : s .:主ご 1:' - .:: .;:=i:u ユ-!1.. :!~i.e!l ees. :" ・ .=a ;: ゴ . :;，s.. s.c :: 1t s = l ニ: :j!.l ce "9 二 e :e --.: .:e!!n 位曹三~ieaヱ 50U::.e S o -:ヒ~勺 予 C ; l f ::o 母国・ rs : b :e . . e p由工曹三3 2..=圭~e=~~t17 ~2-~Q=ι七二 C:'2.':' 1 t ~e国e . h : e : . 吉. =aC~'ferl 0" 田，; ，首 l iL:lO~ C:::.. z哩~et!7~~oéels ~i;~・ ε . : g :! 0 :: a 尽: gl : ' e : . . . e : i eC:. ~.is戸田 edt:::'!~:-.!.=h. ~e Cヱm!.:!ロ C : dI e : 3 ユ:..:エ江 . (.;: u:; 1 e 泊三!:I:l:r:)=.:.i:泊三ロ;~~普乱叫;c山 s ' :沈!':.2.~τ ~c: es 旦白. -量司屯I.!!=~曹 s h. S'!.i 己吋舎目宮計!.r"均 c土 e 宮記 c 2 泊 j ~均F冷量凸 ぬ失 t !=泊=冗 出芯 a ~~e . s s~-:二三~~c:.a=亡き l~vel λl~~o 1.:.ε=. ! ..~:.sτ二回::.aエ勾τcthes:!..s . za . ' :: l ~h.a. ~ s. . . と: -= 3 司己 ! a : . . 国 3 c s s:; : a ! l . 5 := . 自: . ' . l 盟是 . !a -:s !. :u e !: :呈号七 c ~::.e n è.!.ご~(:~! 二.-:f':~e S .a. J -:: :: e t . S~;!=-:. :: e .: .， . :: 署!・ . :: l al~~ou~~ sc=et~es ~he ~~:l童話官昌 c= r:. s!:!.e:::~d = 戸工1 百ご :~==..!l3.U!d. '7o~ed t~ Zl i呈r !! 2 d ・: . c j : l: . l ユ!::-・ !o-::=a!;s :::=::.~l~ltS t:\!:~....a!"'.s !.."e e e sr..a't~- 白幽 ce d a. : d l:!':: e 自-雪! -:r..ョ:: . :: . :: . . !...!-:e~記:e f 己主宰a.o.l s三= = s a ee :c t :! 3土石-'江田ユC ! th~:! o=~ . : . s !. !:: . !l :e . - . 亘 e 呈 5 2こ工j s' '-l da.::~::.s~ご:!.ta-d. ~:...み孟土之皐 '3 : . 書 z ! .主- ::e l ::!: i s :， i ; . ι. s :: 戸s(， ;a 1 i!.~戸e~~~1 i~~;o~e~!~工 '.:!::8 !.::1目~-!:=) 2 : 5 . 品 5~C~ a çat~2~=~~:喜三.!.~!=;;! : s . . .: iユ y . . l . 三よ s ~t 呈ご Cτ e 宮:ニ . ;= . :~;-.!s :l~-:邑背呈 S~Cil ! 2. r l'!ニ:::!:土工!.~1 吾旦 ;: : 1 t s ~Q !白 書 O 1三: ':: S 6 . " =署 主ユ ' ~. t . h 呈! 七三;: C 7: ' :- 主公 5 . 口二: . !:! y .. o ~es-:i.::g. t o t 5 主:J.~7-=es. afと e 'a i - o :→ ::a -:と~ su~j~~:=~~~~9 己:"'c=・ !e. :: -氾 i .d ' !: u: a . : . . ::.:a. -:.!o:::. 記ec=et1~ユ戸己，~ o v a0 ' 二司s =ヒ2 . r f - ' 4 均時 e . .l ' _ . 吾 J:!.:l七=::d~c!'i :)a f !ニ . ~z.e=~::: f土-:-:~ s !:.:: _. . . 己 s 7 :土 . e t..s土:-!-CJ ..~als. ~記~¥S c t~: c l .k a l と~o:­:. . a !e !: l :: .三 s ・.a . 二: !: :: ι: q=-:!~1 c.~色ha asj~~~~~~: theo~1 o l e ・ o 0 . a :- 1 :， f !l 之! . ! e ! a: s-;a.:.二S~!CSI ~~;::;C5~ a sta~!s~~e :. ' ' . o c . : ' 0 =~W c e !! .. . e..~l':.~ A単位句、~~~~~:~~!­ a d : '2 . . l . s l 1- . a ": . l ' e . te~o:'.(A!C)• :..:ロ''， l.!.. e . . i: t ， A :ー -2!.c~_ (:a.也ロ:.a ~c o O~ a =CC!~ 1-!! 也 ca == 豊 . :l =工 田 . 令官:!-~七戸::'":l~ユ土 s ~~e =~G.:! .a.:'二二日!.c:::i" !l!.・ co=~t!::~ e!1 0i =! . 5t ピ 1'' 5.!回， 7記 s と!! 1?. .F '.c !τ= ' : 1 ，ふc ; .h :fc 豊忠七二己主ご!.x a τ~e 喜と~ r: s e .c e!! .s e!' .e : . ! .: i a:: . : . e2 0 1 : . e e. t':r C:~-ロ;-:ad ' :"2:'..!;:~~o!.se. 7 os ・C. 昌二塁: 七日 f :: :: . . 宮 0 ・;be ! e s y2S o!!:'-~~h t 山2 己主15 = l! . エ a .sc 五.::. l S : l l~~!.a:l c ::=!!..~ab !..-.:;a~!o t! 0 t :: :. e e q:こ 1 : h " i ，. 司 ':・a e !=: k:， と1 :. =e' t g:.・r日~2J :': o s:;:〒(三.e ~e~ c f : f~:.e :ode~)t := 0c 書記、J 官:-..!.~!l f，ι ? e . 、 l -，‘ u ， .. . 、， a 、- x •• M &色 s )= も(， a~~~~e ~~æl C~=S~~~ ~~e C~!~~~~ t~君 sa!聖;) C : ..書 . ::l-二 . CS:!! C.:y : ei .. 2:. ::"2.;tc::-~ 3 0 ~l:戸!.:.al s 曇 C e，! !: c 且:S ! 38 8 -7- .. .c .' .l . 三 !:l :!..:ユ士と，~ 3..エ 1 つ:1 ' -!x;-e=!.=e::.~み1 S~!まr.c宮 s '.:h!!=~;.:三 r:. s::且 e: c -¥ e- a!::e 2.s~!d :!:!さ s" i. c ves . i .! .a = a ' ) ...= e..o!!e. -:=之ユ!s: . - e - . ' "2.5河江ë.e~Q:;s ロ~eè. s a~;l!:a ~!o~ 1 ( v乙. ... :< ... . . し阿む 1)・":内-)、J!.， " 、 4) ' 1 γ y_( _ ¥! .ー . t uu 可 河野斗工土戸(.と 6 1 、r ・ u 0 ~~l =:~e=ical 戸~:If:e!u::!'s ~O ~h~ x '-) t 弓 ' h ( ee~包r..-: . :.l . -e s ! . :d :: ' . -i~~:.: 3= .量 a f =a g日 c : . . . . O~呈 f午l!~ u:.2. Ail:=::X!.::a~!.~( c e )‘ v 11101:;l Ez o . . D i o l . .. D= 1 「 4(5 1 1・ 1 2 1 2 1 2・1 j 1- 1 2 ・ 1・2 1 ・〉毛ヂル関署員 r ， b E の a耳~. c 1 )) I 欠元号ヂル(=) d 2 n7，) 次元号デル( xi = n n) l 国 d )句 司 ム E Y 司 ，- . E 司 1- 1 2 l l - ，4 z l 1 l ~ 1・ 1 4 2 ~ l 1 l 1 l o= 1 l 1- 1 4 1 ・4 l l 2 l 正 1 l l . L 1-4 l l 1- l 4 l 2 l -4 1 l l l L - ・L z j 1 2 塩梅して，データの中に含まれる客観性を引き出すかにかかってレる.統計的データ解析におけるこのような『方法的主観性J の投創の認識に立脚して，近年統計的毛デ 9-グにおけるベイズそデルの有用性が再評:' . 価されつつある U 35 1 .7. 本稿の目的は，曲面・曲・ . ・ I1J 線のあてはめを例にとり.データ処理のためのこの新しい方法を紹介することにある. 曲線・曲面のあてはめには多項式，三角函教やスプ構造を近似するそデルとしてしばしラ γ函数が f J イば用いられる.しか Lこのような函数族を採用するということは. 構造J に関するかなり大きな主観的判断を下 Lたことになる.なぜならこれらのパラメト p v タな毛デルはそれぞれ国有の傭りをも叩ており，デっともこの最後の点に関しては，赤池の情報量規準 A Cを用いて，妥当な自由度をデータに基づいて， I 決定することができる[l，，J そこで本稿では近似 z l. U I 函教の形状をパラメト!1~タモデルによって予め規定してしまわないで，対象の「構造j と「誤差J を分離しうる程には限定的であるが.同時に対象の構造に柔軟に追随できる可塑的でやわらか b 、モデルの族として「雄散スプライン函数j を用いる方法を述べよう. 2 . ベイズ毛デルと情報量規準 p AI BC r 推定すべき関数 fx を離散点 X 上の値む=(J. () J fx)で表現する.つまり， f (.Z …む・九= 九 f ，，・)・‘ I () 2 ータにあてはめたときに「構造J を反映しない近似函数の“くせ"が出て Lまうからである.実際，多項式や三角函散で矩形設のように急激に変化する構造を表現 Lょうとするとギプメ現象と呼ばれる不必要な振動が生じる.スプライγ函数も節点の位置が適当でなを忠実に再現することができない.またいと「構造J 函数族に含まれる自由パラメターの教が多すぎるときてしまうたにはデータに含まれる誤差に過剰に反応 L め，安定した構造情報を取り出すことができない.も月 刊地 球/o.5 N. 3 1 3 Vl o ，9 8 とf をパラメトライズする(tは転置).以下では関数とベタトル f を同一視する.x は等間隔にとり nは十 J 分大きくとっておく.二次元問題では長方形領域を考 n 2 l ) nxn-) え刊を格子点( Xn 上の点と考える(1 Zn . 一次元問題の場合，図トa のようになる. )今， N 飼のデータÿl(l~i~N)が得られているとする. れ， を "=" ， 1. yt…y ) 9 (1 9 ・ l 9 2 ， N‘と表す() 3 n N より十分大きくとる， f - i X 上は ipn J tot n L i常l ここデータれがある必要はない. 11 布を用いる方法の近似と考えられる[1. データれの誤差ε を l E..i.N ，1 I...d(( ) ...i.O 1 したがって，データれが与えられた時の周辺尤度() 4 L12d は(1，) 訂 f ρ p (仔 山←f ? 川仲 附 d とすればれの分布は， P (I J( 2= I Y f 1) I ，(;詰- t 1 () 5 - ( 1 と定義される. BCI J t 赤池 I ベイズ型情報規準量 A I [ム : A I B C 詔一 xx ep ( (Iーら)2)一 Y 歩九N :/ ) 20 Lσ汽d 1g ((3 1)となる.ただしわはら上のデータである・このと分 はき yの布 ， pyf( 2=τーァ}(l，) ( 1 、~;rI1. 、る方法を提案しの推定に用 L を最小にするが， dを f B C ている・今， A I を最 小に する が， d をが， d I (最尤推定値)とすると，ベイズの定理により後分布は，() 6 pfy () l )( l，勺~-;:; p y fo π(f12- f の事 I Xep( x - 2~Z U - f : yEU)と表せる.ここでる . 1 I は，ユータ・ 1 Fッドノルムを表め r， pyf (l (4 1)π f) f ( dd I す.また Eは y と f ，の対応、を表す図 lb 行列であ-)つぎに 1)と表されるから，(4 式を最大にする f を最適近似関数 fとして選ぶことにするのである. f のなめらかさをニ陪差分の大きさで表現α d l1と超パラメターの変数変換を行なうと，田 する.各点での二階差分の大きさを次のような量，{一次元モデル)1 -- f+む 1 ，: i n・ f I 2 l + f2S 孟 J 1 ; l L IZa=~ 2~) {， ) 1 I ，1 n ' } ' N 1 -+ -iu 1 1は l Ir . 2 Ile(.ta -/~;) aOdtZ.Z)1 1 () 7 〈二次元モデル) fJ lf-.-f.+lJlf+.I ¥. +llJ4iJf.++llJ ， l' 2 i 川 12;孟 D -， () .:一 ，Sj z l :; s玉; ;: 8 I -， 2lJ む .. f 1 - f.+叫 J I l J 一 ト Z.*2，歩 .fU)日 Z=ふ b] a []= O ()， [ ep x( b ここで.I ーみらドは最小二乗残差でらはそのと I j 1n， S:nー 1 . a2 i l ，; i 謂() 9 (0 1)きの最小二乗解である・つまり最大にする f は会 α盟 1%供 1宜 Ifl • J - I -2む .J+f1 • J + 1 1. 1)のときのらに他ならない.よって，問題は(5式を 02 ' i 1n 2;;D 2 -1 =， ;;五 " :j ;;， ，αを求めることになる. で測り f のなめらかさの程度を UD U で測る . D df 2 は構造のある(宇野行列)スパースな行列である.各行 ies の願はどのように取ってもかまわないが Gvn 変換 E \a2=~2=O より，刈 コ1 い) 0 ・ 1 法による最小ニ乗計算の効率を上げるために図 1 )-， c d のようにとる( 節参照)) 3 . ここで，超パラメタ- d R をもっ f i p o e E+の mrpr な事前分布πfd (l れ一 L l - J 2 =一- b Z 4 N+l-n 1)これを(5 式に代入して，(6 1) L'(a)=~2~ I >NI l z Y 1 ' {+ -l _ I N l n . +- ¥ p .:α ..t .. }れx(ー)す.:)トす)zl 岬ー DU)(1 ( udφ(が f2 1)盟 Z) 1 dt 1e (Z~ t a ド2 N ' z I- .z和): x 伝 IbZfU)1+'-x' ( a I: 1 / I -(7 1)を導入し f のなめらかさをこの事前分布に含まれるは r DtDの l を得る・したがって aについてその尤度方程式超パラメター dで制御する.一次元モデルの場合 l = n-2 ，二次元モテ・ルの場合 l n-4で， 去 L ()1 =0 'a バ仰 mrpr 非零固有値の積である・ここでは i p o e な事前分 rpr 布を用いているが，これはある種の poe な事前分 1)を解けばよいのであるが，(8 式は非線形方程式で解析的に解くことが困難である.そこでα を数値的に求 11 8 1 3 める.レるいろな値αにし ，対 て A I () (+ -) o ( b zfH) B C α= N l n l g H - ""' -21 を計算し， lga l g d t Z C ， I+C o + o l e ( " Z)， (9 1)この A I 最小になるようなαをめ BC 求， a ) i ' 1 C k i sk i " 1 Qk i= l -k i "k i l ' 1 且このαに対応する九を推定関数にする，(9 式の第 1) 3 項を行列式項，第 1 :買を残差項と呼ぶことにする. 3 G v n 変換法 . ies A I ()を計草するには，次の最小ニ乗問題 BCα:国，，)Gvn 変換行 ics 列 b QR分解符の Z ，) . - a Q ":ー・ー2 ，・・・" " 1 α 2 Q¥- a 、・ 白ー2 a a¥ . 、、 、、 a ・2 O a ナU - " U bZf=() 2 0 Qlkをを解けばよい.いろいろなα に対して最小二乗関教を解く必要があるので解法は高速であることが必要であ oshle る.最小ニ乗問題を解く場合，ふつう Hueodr変換法が用いられるが，;:r..バースな大行列に対しては Gvn i e s変換法の方がより有効な解法である I 川.ここでも Gvn ies変換法を用いることにより，行列 Z "の特殊な構造に着目して fln (零要素が非零要素にな ili ること)をおさえ， Hueodr変換法より計算量を oshle 減らすことができることを示そう. (0 式を解くにはまず Z を Q Rと分解する・ Qは 2) . . 直交行列で， Z の左から作用させると a k 行と i 行のみヵ " ZJ ck k + l x J k = lzJ s k l ，;五孟 n， k j :; Z j - l Z J C k t， l= Skk+lZj () 2 5 と変形される. Z "の構造から flnの起こる場所が ili あらかじめ分り，なるべく fln を押さえるように ili ピポットを選択することができる{このことが Dを図 l)- ，めとした理由であるわ c flnを押えるために U - f ili y E sを U -tfl と E EEl 変形して考える. E 唱は対角要素が O か素がすべて Oとなるような行列になる. D そて し， Dの要素を上から一行ごとに生成し( をマ 1( Y E の要 ' R は(j) rJ とすれば i jの部分がすべ> 冒素にデータがあるかな L 、かに対応する)で，非対角要て需である行列である. U O UQ =1 Q 刈に注意すると，=nb-ZafU2=nQ'b-Rru:=II[~;J-[~IJ[ f ]() 2 1 であるから， b= Rf 1 1 r 記章しておく必要がなレことに注意)， Gvn ies変換によりその非零要素を消去する.このとき Dの非零要素の長さ(待幅)以上には fln は起こらなレ. その ili (2 2) . . ' 理由は Z の非零要素が E Eの対角成分にしかなく. Dを図 l ) d のようにとっているからである.し- ，) c たっ ， QR がて 分解に必要な記憶容量は最終形が R となる図 2b -)の斜線の部分のみである.なお， H u e oshle odr変換法を用いた場合は点線内の部分すべてに flnがおこる. ili f を求めるアルゴリズムは次のようになる. となり，後退代入より f が求まる.そのとき践差は 1) 1) U22となり(9 式の残差項が求まる. また(9 式の bU 行列式演は， lgdt ， 'a lg d R R oI Z Z I oI t ' I e ， e 国=! g r U =Ilgrl () o U u 2 2; olu 2 3 となり求めることができる.よって， A I ()の値 BCαはZ . Q Rと分解することによって求めることがで .をきるわけである.このとき，変換行列 Qとして二次元の回転行列を用いるのが， Gvn ies変換法である. Zk j アルゴ世ズム1. ; yプ 1 αを定める. : r . . テ: ;r.ヲ 2 Za を Gvn :.テプ: ies変換で Q Rと分解する. へステァブ 3 B C最小ならλ テフプ 5 :A I スッ ・ 4:を変更してステップ 2 テフ αへもどる. を零 t こする変換行列 Q 祉を図 2a のように I -) r=Vx1kk Z1 C k Z k r S k Z k r 字 2k l = k / l = l / O 構成する.ここで，， ， (4 2)月 刊地 球/ o .5 N . 3 18 V! o ， 93 1 4 ステップ 5 R b : l ，を計算して f を求める・圃 B C() ただし，実際の計算上では A I αは非線形で凸怯の保証がないので(実験的には，“ほとんど"凸 Y i m BC αである}大波的にいくつかの点を選んで A I () を計算し，ある程度区聞を狭めてから黄金分割による区間靖小詮を用いる・ただしめる必要がないことに注意. E f J1 E+本 j3 +f aは必ずしも厳密に求 f d 与2 J 四・ 2 X_X・ X ]j 2 j 1 j x+X+X +X+ j S j 4j X ・ X _ X j1 j2 j3 j4 図 3 隆敏;r.プラインの信念g 4 離散スプライン . この節では f の持つ性質について述べる.簡単のとIぶとのモデル f を三次の「離散スプライン J l f こに は連続型号デル{三次スプライγ関数)をサする. f 2-0 式はαの値に 1 ン! :グしたものではない. (83)プ J，かかわりな〈成り立つことに注意. ためにまず一次元問題について考える .ζの節では( ipn tot aapit データのある f - i のことを dt-on と書くこξにる . () す) 2 式は 0 n nU u( y-E 2 aUf2 f + DU) I Z () 2 6 f f - i を増やした場合は，データ聞で新しい三次 ipn tot ipn tot 式が生成される. これは f - i を増やす前の三次式とは一致しない. 離散スプラインを用いる時の注意として，両端の影に与える影響響をできるだけ少なしかっデータの f と書ける.したがって，これは次のような連立方程式を解えことと同値である・ aDD= E %tfE f E ‘ マ(7 2) J aapit i t () の各方程式は X が dt-on の場合と f2 7 種頬の方程式に分けることができる pitの場合の 2 on (だ L 両端 2 た . 点ずつは除<). ①(aapitの場合) A句- f-t/ dt-on (JY)α( ( t o tの場合) A句-0 g f-i ) ipn aapit の仕方をすべて同等にするために最左端の dt-on aapit i-on，最右端の dt-on の右の左に 2点の ftpit i t ipn tot に2 点の f - i をつねに取るのがよい. また faapit pit on 聞の内掃が要求される場合には dt-on 聞を三次式とすることが自然であるう. 離散スプラインが三次式になるのは Dとしてニ階差分を用いているからである. D として n階差分を用い ば散 ; . ラン 2 -次式となることはれ 離; . プイ は n1 () 2 8 () 2 9 () 3 0 ここで Aら z ら-- f 1 6 J 4 J I ら+‘ 1 4J + f - f ++ 2 ・@の場合，らにおいて f 4 の固差分が零ということは，む- 月 1f f lJf+が同じ三次式に乗っている 2 - J J J1 . '. +ている.また.tf 0 ' J I Oであれ:J .A f += . ' ことを示 L 田() 2 式より容易にわかる. 7 3 式に対応 0 二次元号デルの場合，一次元モデルの( )す 式， るは ばJ 2 つの三次式は 4 点を共有 L その 4 点で三次式が決定するので，日- から f 3 までが問ーの三次式上 1 J + I aapit の点となる.つまり， f主隣りあう dt-on 聞とそれらの dt-on の外側の f - i までの聞がひ aapit ipn tot とつの三次式にのっていることになる{図 3のむつからむ H までの点ト f.=lzJ2lIJI8llJ2t . I J A'lrf-.+f-.--f-.+f ・I + 8 l ++f +ft • J -章一 8f1 • J - 1 +20f1•J - fJ1 l•J+2 . +f+.--f+.+f +.++t . 2llJI8llJ2l lJlf叫 J (1 3) dt-on f ‘と ら聞 と dt pit ちと ら+ aapit J aa on 3 岬となる. 二次元モデルて・は一次元モデルのときのように隣りの点を中心としたものと同じ曲面にはならない. 聞の 2 つの三次式はち・ l Jf 1 ' ，+ で突わっているが， f J その徴係教は一致していない(ただし，らでのみ二階 aapit i t 徴係教が一致している).dt-on の両端にある faapit はなめらか pitが dt-on に近ければ近い程 f on な問教を表現しうることになる.これらのことからこ ipn tot ずつ f - i ま， 一次元・モデルのとき両端に 2 た ipn tot をとったように二次元モデルでは二重の f - i の枠をとるのがよい. 13 8 ﹁ D 国 4 組依スプラインによるみて t: J. t はゆ{ピール沼の市喝モ2: N l l - i t :0 ， d~13孟 ipn l o ll，- :: pn 致 ot i .L H 1 笥a AP A . 8 ，冨 .l 圏諸i3.綿布 ac n i a a N 圃鉱帥 T 「 b )』 2 現 Np 町四暗 E hDC ・1 R 山、2 4 a 私 . o J 乱世・・・・$ 9 a ・・旬、.. O . 1 3 11¥f 5 0 1 3 日 ¥-o回数 I 9 S x 3，3a I pi t 舗(3 3 ) dtpit量 8(7I)すべて緒 on t291X7. 子J. a モデル関数， b デ点:. )) ータ(デ叩 9のむい格子点よt 孟 0 ，c)" ; . ラン )般 1 プイ 図 7 2 :ヂ -1 D元のゐてはめ. 間 5 f-i 散n ipn lot による a ;{ a " 4 の at )巻 、書〈した場合， b n . )を大暴〈した場合 .r ) x O . 叫 N D 1 . 10 . ，L H -6 .anL12ト eA P A 制9 圃 N 瞳 1 8 1 . b ) x 式 一8 庄 1 晶 " かるように a が最適{直&より大きいと近似関数 f の嗣 O . は直線に近づく. なめらかさを強〈するのであるから f αを十分大きくとれば，線形回婦に近づく(図 6 a )-). o. . o o l S に ;悶 001 ・ 1 3 1 1 1 1 1 )-8 1L N N.H a t9 'L D2 自 A A - I剖 6 lP 6 U 温 ..O E E 、 00l 、、 L &逆にαの値を小さくしていくと，この場合は先程と E ー1 3 ーのなめらかさを弱〈して離散 A プライγはデは逆に f ータの動きに追随するようになってくる・十分にα のはデータ補聞に近づいていく{ c 直小さくしてい〈と f 言{ 63) c d)図 -b ，. )• ) 2 )二次元問題一般に，一次元問題の場合とちがって二次元の問題 M￨ 5 ー 関 6 a ~告書E えた E警の纏舷;1.プラインの挙動に対してのあてはめや補聞は近似関数が取りにくく難しb [. しかし，本稿の号デルでは一次元問題の場合、] 4 にとおなじアルゴ 9ズムを用いることができる.図 7 結果を示す.岡 7a は 2 -)つの山と l つの谷を持って 5 適用例 . 1 )一次元問題 8(3 いる号デル関数である・このそテツレ関数をJ0 9 3 x 3)の 格子 点上 の 3 ftpit であてはめてみる.図 i-on ズ を適用した例をみる・一次元の問題にアルゴ P ム l 国4 はピール籍の市場残存率を示す統計デ}タに離 7 一時はそデル関教に正規誤差を加えたもので，これをデータとする.データは 291x 7の裕子点上に 8(7 1 )ある.このデータをあてはめた結果が図れのである・ B C 次にα の値を変えて A I の値を比稜した結果を図8 に示す. t- o n は前回と同じ格子点上ですべて 1 pit t の ftpit上に誤差を乗せたデータがある.一次元 t-on の場合と同様に aが小さいと握動が激しく，αが大きくなると山や谷が消えて面が平になってしまう. AI B C最小の時が( つの中で)一番号テ・ルに似て 5 . 散スプラインをあてはめた例である.民トp i tは，デ on 0 ータ散の 1 倍取ってある. 図 5 ーのは同じデータに対して 6 - o n の数 nを tpit 変化させてみたものである. A I B Cを用 いる と 6 t pit on の数 nが多くなるに従ってα の値を大きくして fのなめらかさを調整していることが観察される. 国 ふb はαの備を人為的に定めて，αによる離散九) プラインの挙動を調べたものである・(6式からもわ 2)月刊地球/v・0 1 .5 N. 3 18 o ， 93 n h u 図 8 a告 E た時の纏ll'Lスプラインの挙動書 えデ- t 鳳】 【丸 : 主プ ィy :ス， i l l 図 1 デ-~納聞としての耳t f{~プライン{データ数 0 2(X) 55S)レることがわかる .αを小さくするとデータ補間に近づくことを一次元問題でみたが，これを利用して二次元データ補聞に離散スプライγを用いることを試みる. 図 9，国 1 はデータに誤差をのせずに補間した例で 0 199 555 ある.データは格子点 8 ( x )の場合と 2 ( X ) 2 2 マ( J -f2α1 1U村山 中+ U 3 U ロ l yEU+1 Df sDf)() 3 2 となる.このときの A I は B C， AI(， ，， BCα T sr (- ) o(b Z p 九1 ) N 2 lgl- a r 1 I 2 )国 の場合を示した. +lgdtZa r aJ I ole( p Z { T )-(-)oα 2 o T 2rl l - 1 g g -( -+ ) o s+C 2 n 3 r lg () 3 3 ‘ 6 ニ棺問題のあてはめ(一次元問題) . あらかじめ「構造J がある点 Xp で 2つの相に分けとなり，ア J F レゴズム Jを周レてあてはめを行なうこ: とができる. X p られることがわっている問題について考察する(二担 .ここでは 2 つの問題点について考える. 1 つ問題)は分岐点る . X p の位置の推定の問題に対しては f をパラメターの両側をそれぞれ別の穏としてあてはめとして設¥ " ， r 3 をから n 3 まで動かし(端の近く A I 在比較して最適な BC を厳密に求めるのること.もうひとつは匂の位置を推定することであまず 2 前者の問題について考える，求める区間を n 分割し X r を選ぶときは注意が必要)， r を求める・このとき X が分岐点として選ばれるこ r とになる.よってこの方法ではでなく Xp Xp でニ招に分かれてレるとそデリγ グするγはに近い点むを求めることになる・離散スプライ f のなめらかさを事前分布として担あてはめ倒をみよう.例題はポロアグリルニトリル ニトロアユリン。拡散係数 dの Areisプ rhnu 中の m ロv ト図である.この問題はあらかじめ相が変わることがわかってレる.まず，一相問題として離散;;z，プラト ) 1 )・ イγであてはめたものが図 i a である.図 1 b っているが，この事前分布の仮定を次のように変吏すを つの部分(第る. D 3 1 1 すから第 r l 行まで，第- r 行，第 r l行から第 n 2行まで)に分離し，そー -， 、う1IIみを超パラメターとしてれぞれにα，s r とL 対応させる・ 3 節での議論を繰り返すと( 2 町式に対応する式は，は二栂問題として r を衰えて各 r に対して A I 最 BC 小の値を図示したものである.最適の rの時のニ相あ 15 8 E A i 門ミ∞、 S [ . 又-.0 8 5ト-. L 9 -.0 95 -0 1. N ~D =1 7. =5 1. a )につレてより詳しく述べているので参院いただきたレ. ' ¥ x ¥ A P A=256 L H = .34 1 2 31 . B T =1 5& E A 参考文献[1 Aak ， . lklh d l d Dy. poc山町 1 B y i J kie H : iei∞ l ae lcd n 0 ae a . n s S t t白 J M B m r o M 日 DGol D V Loly岨 dA t I i . . e a d ， . . cro ， . . idc as ， . F M Sih c. U i c i P e ， Vlni，San 1 3 1 6 . . mt. d， n v 同 l r " aeca pi. 4 - 6 y (90. 1 8)( ) 1.!!=・ f f 2 f油l次銑ま釣 世諭のパラダイムの変速について，統計 f l 理続究所Z， 2，N .J 5 1 (略 )量 級 7 o ，- 2 J。. () 赤池弘次:モデル I 3 C.よ唱てデータを測る，数獲向学. 28 7 1 1，- 0 (91. 18) i 阻 onai f o c Chd f n r r l[ J Fak，.: ct c : rpr目 no . m mlos o i c 4 rnc R A ri pr l n o s l c ddl， ov l s 悶 da Sh 1 M n o y O3 i r c t n aa N> a ' l uc c∞， o l n . o lto l og : 1 7) Clfm3 NS5-9 3(99. .ioi ，P-37. h () I iuo M ，lak. H :四 n 目 tm in wt m 昌 ig 5 s gr. . Atic . T d i副 o ih i n osv i . An.lt 5 l抗 . M> h， 2 Pr B 4 1 4 8 1 0. bca o ， n n. 1 i n s a t. 3， at . 8 - 8 (鈍) [ J 石原爽木失 z 6 ベイズ型季節調態モデル，歓迎科学， 2 . 5 - 1 1 8 76 (91. 1 8)ベイズ型スプライン問1:&，統計数望書研[ J 石鳳爽木夫，駕畑恵美子 z 7 0 o 1 8)究所袋線， 3，N .1(92. [) 鏑木1:久 z 臨窃訟~IC.於 It :s地力の推定，統計数型車研究所会報， 8 3， o ， 1 1 (92. 0 N_1 - 0 18) o 1， 2 () 北川濠悶!!s:異校健解続ベイズ号デル，歎寮科学， N.28 6 9 6 (91. 6 1 8) us as. p 同 c o [O Klsw，G ，A a k ，H :A Q.i Byin A p 3h t IJ iaaa . k i c . 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")鴎 1 a 緩徴兵プラインによるあてはめ〈向111!をー穏として)， b 1 )) nC 化) でこ担 i 己分けた場舎の rを変えた窃合のの A1 変， c 震適の r あてはめてはめの結果を図! c に示す. !)スプライγ関数で節点の多重度を上げて不連続点を表現できるように，本務の離散スプライγでも，第 r 行，第 r l行を 2 +つ続けて D として( ): 3 式の第 2 2 項とすれば，その点で不連続な関数を表現できる・よ 離散スプラインの利点は相の分岐点を ABIC にって，評価できることである.をた相に分けられるかどうかもを ABIC を比較することに行なうことができそうである. 本務は田中・田辺【口】に基づくものであり，原論文では，非負性，単調性，凸性などの構造情報を数理計のより良い推定を得る方法など画問題に定式化して f 月 刊地 球/ o .5 N. 3 18 V! o ， 93 1 8 Saitcl r c d r fr eovltn eprmna dt ttsia p o e u e o dcnouig xeietl aa Y z r Hrg a d ioh U a a a u u u iai n Hrsi r k w Isiueo Ceia Rsac Koo n/ei G 知 s ， IK o ntttf1 hmcl eerh yc U i ri o h 巧， y 叫ん 61 a a ' . Js 肌 . o 1 Jpn KnoT n b ui a a e l t u oSairclahmtc M n m - z b，iaol o y 1 6J p n n i t fttsiaMteais i a i A a uMntkιT k o 0，a a ste ， Ieevd 6 o e b r18; cetd o pbiain1 Fbur 18) Rcie 2 N v m e 94 acpe f ulcto 2 eray 95 r 1 A gnrl rcdr ote eovlto oniy xeiet dt ipooe. h eea poeue fh dcnouin fos eprmna aas rpsd T e dcnoue slto irpeet i trs f cbc p n fnto[x wt vral kos eovltd ouins ersn吋 n em o a ui s i ucin() ih aibe nt. le T eau oprmtr a d h lcto oko pit itepie r dtrie b slig h h vle faaees n te oain fnt onsn h slnae eemnd y ovn te nnier es-qae polm f t ng ) f( ls' ]1 o h dt w e e xeietl olna latsurs rbe o i i {= K' [ 1 d t te aa h r eprmna ftg x 1 (刈 ' f ， x [( ，] ' ) 1x dtg ) ersn te ovlto o [ 1x wt a aprts egtn fnto k1ad(， aa{ rpeet h cnouinf s ') ih n paau wihig ucin ( n s') ia ucin e t t te ofgrto o te x剖 mna sse. h p f e f h ft s fnto r a d o h cniuain f h ep etl ytm T e r i o te ie le ol td slto v i wdl wt d f e cocs fh n m e a d oiin fnt ite p n T ouin a e iey ih i e n hie ote u b r n psto okosn h s i . o rs frt le oti a o d ouinte p i u n m e okoss eennd ae o te aa y plig ban g o slto，h o t m m u b r fnt idtnie bsd n h dt b apyn m n m m a e Ifrain rtro poeue Patcl plcto o te aibeko i i u Aki ' nomto Ciein rcdr. rcia apiain f h vral-nt ks s i ignrly osdrdo e ahrn i t H w v rb tkn avnaeoa avne p n s eeal cniee tb rte i r a . o e e ，y aig datg'f n daed le tce 配 nqef qaiNwo m t o ， n i r e t q r polm e o e t c b a d h n e a-ue aae t hiuoa us-etn e h dte olna l s s a s rbe bcms r t l，n 町田 l I n sotig n h dcnoue s u o cn e c e d e mohn i te eovltd o t n a b ah v . t li ie 1 NRDCIN . TOUTO I F r 姐 y hscl n ceia eprmnsdt ae o m pyia a d hmcl xeiet，aa r otn v l l ecuiey s h cnouin f ntuefe a i b xlsvl a te ovlto o isrmn aae t fntos rsrbd y h eprmna sse wt a a ucin pecie b te xeietl ytm ih n l e as. i a cre wih eurs n y s F r xml:asrd 1 uv，hc rqie a l i o eape bop e t nseta e ie a te ovlto o a i a cre i pcr 紅 gvn s h cnouin f n d 1 uv o aen wt s wdh;xry a d eto salage c t i 3 ihl it l -a2 n nurn ml-nl s t r g i t cre wt p f eo tepiayb m a dwvlnt; uvs ih r t f h rmr 開 ol n aeegh 伽 oぉcne 民 a curves4~ wt t tm s u u o t r ec d y ih h ie t c r f h e rte e e i t n e t n atrs fe crmtgah wt te x t i ; l i pten o g hoaorpy ih h cao uo l p f e f oeua wih d t b i ;a dha cpct r i o mlclr egt i r u o n et aaiy ol sitn maueetcre wt temta cnouino te esrmn uvs ih h uul ovlto f h mlitp r s i s7 9 utse t n t n aio. M n mtos ae en rpsd o t dcnou a y ehd hv be pooe f h eovlr e t n f aa hc a s i vros rnhs fc n f r i o dt wih r e n aiu bace o s e i c e o i iti ay l s r . ahmtc1，h polm eue t oe fo e c Mteai 1 te rbe rdcs o n o s v ah i te rdomtp i e a euto oteit n ， n h Fehl-ye n g l qain fh fs悩 d g tr r 仲) K' 附= {i 1f [) T aod h l t s u i ， sbiir cntan i (. o vi te a e i a o a usday osrits x tr t t n uuly nrdcda d h crepnig arne utsal itoue n te orsodn L gag mli p eAiu d ooto temohesf() H w v rte l r s 総 tcnrl hsotnso[x. o e e ， i . h co回 o t vle i ， m s 四 s ， prcl n otn hi f h au λ s i o t e e iia a d fe e n s m h irn r jte s j t e T u ， e r e o f o e i dtniain f u e i . h st c t i o b c v eennto o bcv 阻 a r r t sot官邸sn h s u o h b p o i e mol ppa i te o t n ぉ個 suh. li ogt r tI t sppr w pooea atmtcm t o f d e n h ae， e rps n uoai e h d o e r i mnn sotns ite 配 ovltd o t n yplig iig mohesn h d noue s u o bapyn li ' irn A C Aak s nomto C t i )o hoe n p i u I (kie Ifrain r e o tcos a o t m m n m e o ko pit i tecbcs i apoiain u b r f nt ons n h ui p n prxmto le wt vral kos Ane l ratmtw sm d o te ih aibe nt. a i tep a a e n h re s m l e3o rsac.T e r eueo fop∞ i te a e i 2 f eerh h p， dr f olr f n h n ∞ sne ht mohes nte ouinidtrie ojc es ta sotns i h slto s eemnd bet e bsdol o te aawtotrqiig n jde i l ae ny n h dt ihu eurn ay ugvy m n b i e i t s F t g a b i ote ui s i i e t y n s g o . i i c a l y fh cbc p n s vtar tn pit le m c ehne b itouig h v i l (出1os A u h nacd y nrdcn t a a e 仕 k t.l e rb n ・ tog ter u i n叫i伺 rl s s a spolmr huh h e l n o n stg e t q r rbe e a-ue qr 凶 e sarte epniecmuigeo ， efudi ahr xesv optn lr w on t ft wrh h c t ot te o . s f . 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A Lat q a e m t o a am x m m Ielod . es s u r s e h d s a l u Iklho m t o 1r h dt cnann te ros lh o m l e h d 0 te aa otllg h err wt n r a dsrbto ltluln F r s o N dt pit (x =Y，1 i 1.... o ae f aa onsy)( x)= ， .， t ， 1， 2 N te t dt Y( 1n s o t v u Y~ a d ro e h ih aaix c s t fr a e n err /{ ois 田 l ， Y =? e I Y +l ' ( 2 ) weejiidpnetya w l i n c l itiue hr e s neednl s e 値 d t a ydsrbtd l eil wt m a 0 n vrac 0ad?nσ;r k o n G n ih e n a d aine7 n y d ae n w . e . a e l ， h dsrbto o eprmna err e saee r1 te itiuin f xeietl ros / r x ay ' 1 pesd r e apoiae itrs f nra (asin rse o w l prxmtdn em oa oml gusa) d t b i .H n ete est fntoo ej gvn y i r u o e c，h dniy ucinf j s ie b sitn ( m I 1 2e ( e 0 ， 2 -/ x -7 7 p 1 ) 2 ， ， r ( 3 1 a d h lklho fnto oy~ i t s s i n te ieiod ucin f n h 回 es i Itu 1 h i ste y c @ 9 5 m ぬnnit0P s s 1 8 A制 5 5 J p.Ps 5 ( 1u 1 5 . p h. 81 Jy 9 A l y ) l 8 . 02-9981305 7 0 .0 0187/5100・$ 2 0 4 1 9 Lt =(10)12 x[-(;-y 227 ， v 21 7-/ ep y ? / 0) ? 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F I 2 Fl 2 FIM F 訓 w e e =(l" .N a d 'd.e te r s: oy h r y y" jI n y e o s h t p f. i' n t 卸 c 蹴 T e a i u lklho etmt y f Os ie b mxh m x m m ieiod siae o y igvn y ai .) s . mzn te ieiod ucinE ( T iiahee b iig h lklho fnto，q 5 h s civd y t yhne b s ig l mnmzn - o L y y w t r脚 to. ec. yovn iiiig l g ( l ) i h e te e t qae polm h l s surs rbe. a GMJ LJl1 F wt mti eeet. ih arx lmns Fl2 J FMM G z s J N v =，(l-; 2 → m n u . v I y y )f ' c i加 m N : i ( 6 )回 す h 合品 肋リ ， ，，m x d N 町 k T e es-qaemto i uvJn tte a i u l e h latsursehds iaet o h m x m mi I o d e h d ne te supii ta err a e o mJ i o m t o udr h asmtol ht ro冒 r n r a h I dsrbtd y itiue F・=玄咋恥}吟(//. . o x o )7 C n伺 unl，Jigvn y os etyQ s ie b a F I =-G . 1 te nes mti o Fi ， F i h ivre arx f ，c -s . . a ( ' ψ- ψ w，= ψW)1'y wee hr il l y 1 2 y =1 r 1 ψ 2 ψ 1 1 (3) 1a B E p e s o o te 0uln y m d l ucln . x r s l n f h 8lto b a o e fnto L t sn w xrs te iae vle b m e e u o epes h 制 mtd au ya 叫 l fnto g ) n h floig a ， ucin( i te olwn w y x ム 創 ) a b ov白川y叩 rsn dy h i e lrnfr x c n: ne t . c r ee!b ten 伊 taso. e t e .) xs !ain f()s E ()w e e( ia 吋 efnto. e "to ofx [eq 1 ，h r f ) m l ucin L t fx b te l e cmiain o M cnttet b崎() e h i a obnto f nr osiun a 中=( lt '・，M 'wt Q 舗は)c恒c n， t ，・ t ) ih J p p ・ p 2 ・ it e y= x . ，創/ )(3) 1b ( 7 ) 12 "1 " M 1 砂2 2 Ix =() IJp悼 .tJ Q M M 1=， 中 " 2 M O M N ad n 内=略() x ;( 8 ) Sbtttn E ( it ( w b v usiuig q 8 no1 e ae .)) ， 8 )乏め)( =句い， x wee hr ( 9 ) jN iJ LN "N1 II / t a d h wih mti igvn s n te egt arxs ie a σ12 .2 . . . ー-1 内{←州 削除 j () 1 0 W= wz st zp N N 1r G n r l め i xrse i trso afnto o .' e ea y sepesd n em f ucin fq， J 'x l) w i h 句 e d o tc x rmn cniin[ e. 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ICSIN A a ueia e a p e f h dcnouin w as nmrcl x m 1 o te eovlto， e p J p e or e h dt te o o i g qain l d u m t o o h fl w n euto. i g (仲介(ド， f t)( u E () iuae te ipiid ae f salagec t q 1 smlts h smlfe cs o a ml-nl s t r .1 ae ig uv b a iesae piayx y e m r i ， 2 n cre y ln-hpd rmr 刊 b a p f e 56 o12 . w e e h satrn c r e () fihl cliain ytm h r te cteig u v f x opnoe olmto sse 1 “ mae 5 serd b te b a p f e Kt) H r y h e m ri o l (，. e e u KtU = W () w u ，/h a rpzi fr ，(，) / t W ()W 回 taeod om 吋 ere f reo o te o e 1 l 5 t gvn aa +Dge o fedm f h m d . () o ie dt F o te icsin ie i S . I w hv r m h dsuso gvn n e I A， e ae c r t f -A t A o r <<欧州){ t(-A1 B/B =士 /B +( -A) fr-Bζt -Aa d >> o < nBtA l O f r <- a d > ot B n t B ad n W w u = 2 σ一1 e ( u2~/2)，( )( 1)/ x _ 7 ， 2 p wt Aa d big oiie e n m e百.F r tt ucin ih n B en pstv rl u b r o ae fnto a s o te cteig uv ( u cre， e dpe teLoren~ f h satrn cre t e uv) w aotd h r za tp 描 f() in ye ox: f x =ア一一~ o)( () 1 8 ;- a(- b ‘=1 ;x ;+C;) whereαf ，，)( . ， 2) f ムc d = 1 0 j; . βお . 5 ，0 0 o r i 1 =， =4.1602.. fri 2a d =6 ，..... fr (0 . ， 50) o . . 4 n ( 0 40 0) o .2 4 4 i 3 "osls 白 t"o tu vle ox =[ox) wr = . Niees a r re au Y() Y( j ee ]) . otie b te ovlto of() ih(， itrs fq band y h cnouin fox wt KtU n em o E ()“ iuae eeietl aa yx w s eeae b te 1. 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A E J E 25 9 cniuu e o s i atmtn t m p t otnos f r n tepig o a h ft e el cal apeia s u u m r c a yada u l y shrcl t c r o e 1 r n c r e . rte s l t 18・ icesn qaiyadqatt o n h 90 ，nraig ult n uniy f e goa dt s a dl g cmue pwr hv lbl aa e n a e optr oes ae t r oee a fl o simlg c l "esi pnd id f esooy a e Simc e ld T m g a h ' T m g a h ivrino s f e o o r p y ¥ o o r p y neso f u a rc wvshsrvae t s e lpreto Swv ae a eeld h e r ecn f -ae e va v o t prubtosi t uprmn) o a e c y etrain n h pe ate n li e goa s l ( aaih ad Adro. 18; lbl c e Nknsj n nesn 94 a W o h u ea dDiwnk， 94 Ntfe a o d o s n zeosi 18; aa t l 1 6 Teehv be a or i a s l srae 9 ) hr ae en l e o l c e ufc 8. s gn a w v s d st ta itne t ices a p i a e t i h r nedd o nrae s t l ue a e aa r o t na t epneo r t c n t r~gion e l i t h xes f e r t g h suo e sii e o a l i t apr o t shr (otge， f n y s o at f h pee Mnanr as e 18;Sesg a dNknsi 18;H n aad 96 utuu n aaih. 97 o d n Tnmt‘1 7 Teehsa obe a e o t aioo 9 ) hr a l en n f r o 8. s ft m pa epr at f h mnl (aioo 1 8 a dee pr o t ate Tnmt. 9 ) e 8. F : e de i e o o t Erh hv be U t r ep n r r f h at ae en Ih tis e m p e uigf eo i ainseta(iriie a p d sn r s lto pcr Gadn t e c1 ， 9) . 8. J a 17 B d w v t v tm tmgah，n h ohr o y a e r e ie oorpyo t te aI e h n ，i s nomto idpnet f h s f e a dg e ifrain needn o t u a v e rc w v ad f eo i a o s d s Sneal g a e n r s l t n t i . ic e cli ue ae r n m e o r sps truhde mnl， hy u b r f a as hog ep ate te y cn poie iae o hg feuny P ad a rvd mgs f ih rqec - n S e c yprubtoswt hg s t lr o - l i etrain ih ih p i e l vot aa s u tn T epoer ok o t t v tm tmg i. h ine wrs f h r e ie ooo e al rpya Aie a (97 f ar i a sa ， ah r k t l 17) o e . r eol ce gn 1 a dDiwnk e a (97 f t g b s1 n zeosi t 1 17) o h J a c e . r e o 1 a. T e ll otie te lwr mnl ド wv h ae band h oe ate tr ae v o t htrgniyuigt v ta o n o e c y eeoeet sn h a m u l f li e s t v 1m dt cmie b Itrainl r e ie aa opld y nentoa al Simlg Cne ( C. hi w r w s olwd esooy etr I ) Ter o k a floe S b t. olwd s t naoaysuyo Diy h wrdie t i nml td f ze e ao wnk adAdro (93 ad出e yDiosi n nesn 18) n nb ze wnk (94 w ocntutd alwrmnl osi 18) h osrce oe ate P e c y m d l o hroi epnin u 1 - l i o e f amnc xaso p 0 vot s dge adodr6 T e，n a oMrliad ere n re . h y ad l oel n e Diwnk (97， dpe l apoc o e zeosi 1 8) aotd h prah f x pesn t E r s u u b a anoi epn rsig h at t c r y hitnc xae h rte s nadotie lwrmnl v o t prub・ i n band oe ate e c y etra o li l n o u t :1 完 CatnadC m r 18) i s f p o f. . lyo n o e (93 o :5 a dHgradCatn(99， n b ohr a d n ae n Jyo 18)o t te h n ， e e peet t 3 m d l o t lwr mnl rsne h ・ d e D o e f h oe ate e 1 epne b a u b r f lcsuig b sma xadd y n m e o bok，sn t iir l~rge dt s c m id y S. h r e l sos aa e o pe b IC T e r u hw t 1 i st 土1 prubtosa e sotig Bt Di% etrain f r mohn. oh ze t ・ wnk (94 a dHgradCatn(99 r osi 1 8) n ae n lyo 18) e 門 cntutdt lwrmnl s u u b rdc osrce h oe ate t c r y eue rte igt upr ate nmle t t suc ad n h pe mnl aoais o h ore n e e s t naoais t i nmle. ao Atog t r a an m e o l a tl1 ・ lhuh h e r e e u b r f ol 0 0 c 1 gahcs d so t uprfwhnrdklmrpi t i f h pe e ude ioe ue e tso t mnl fo Ptm d a w hv nt e f h ate rm ie a . e ae o r e t y be gvna iaeo t 3Dhtrgniy e en ie n mg f h - eeoeet t e o t woemnl.T etmgahcivrin f h hl ate h oorpi neso e peeld i ts ppri t fs atmt t rsne n h ae s h it tep o i e r oti sc a iaewt hg r o t n ad ban uh n mg ih ih e l i n suo l hg acrc.uig ohsa0 ad ep vns ih cuay sn bt h1 w n de eet adbt na a dd t tPpae， oehr ih n oh er n i a sn hss tgte wt m p i gi riit T emi proeo ts a p n t ealy h an ups f h s lbi. l ppri t dsrb ormto o ivrina d ae s o ecie u ehd f neso n s o h w e iwrsi apiaint rldt h w o w lt ok n plcto o e aa l a s. e t 2 Mto . ehd F s w smaie u mto o tmgahc i t e umrz or ehd f oorpi r i e i .T edt s i o wrdiePwv n r o h aa e s f olwd -ae vsn t t v tms f a n m e o salw t de r e ie o al r u b r f hlo o ep e lt eet rpre b IC T eeet a s e e vns eotd y S. h vns r e c d c e l 5 a t b d t b e a uiomya a f l 0 s o e i r u d 5 nfrl s ruy sit p s l T e d a e s e i shm i d o i e h e i d e c o cee s e sb. tl ltn srbdle T etredmninlsons p cie ar h he-iesoa lwes e t. r trainimdldb an m e o b c .割問 ubto s oee y u b r f l k os ivrini promdi t floigi r i neso s efre n h olwn t a v e ete a oih. 1 rtm g ( S r fo a itamdl 1 t t rm n ni oe;) a i1 ( rpa u i cnegne ( r o t n 2 eet n l ovrec: a e c i ) t ) Jao o e n ;( bcpoeto t t 3 f v t b akrjcin o h ・ es ) e D sons prubto;( rfnmn o lwes etrain c eieet f ) t s e c 1 smerc oe; h p r ay ymti mdl e h i1 ( c1 l i o t r o t nad a a e 3 a utn fh eli n vic ) c ao e suo rn. T e n n w p aeest b dtrie a h u k o n 訂 mtr o e eemnd r e l li t shrc1 smerc v o t mdl 3D h peiay ymti e c y oe，・ e sons prubtos adhpcnrlprmlwes etrain， n yoeta aae tso a t eet u d N s t naoais e f l h vns s . o t i nmle r l e e ao a d l w h ite es te a adesd( r e t i ; f hy xt hy r drse 0 e a t i e t prubtosi t uprots u u .1 h etrain n h pems t c r n e e rte t floig uscin， e ecie ah a o h olwn sbetosw d5rb ec p t f e r t i e i poess nd al h n r n rcse i e i e vtg t. 2. M d l . oe 1 T ePwv v o t d t b i i t m n e h -ae e c y i r u o n h a t li sitn e 1 u f h p r a y vrgd e hil iepesd笛 as mo t s e c l aeae s xrse 円 L 円i 26 9 H J O E AL . N U ET vlct-et fnto adte D prubto eoiydph ucin n h 子 etrain o i Diwnl (94 ad Mrli a dDin t zeosd 18) n oel n ze . e wnk (97 rpeetdt 3 Dsrcue Lh osi 1 8) ersne h - tutr o te Erh wt t s e c hroi epnin at ih h p r a amnc xaso， e hil rte ta wt bok a ue b Catna d ahr hn ih lcs s sd y lyo n C m r (93 ad Hgr ad Catn ( 8 . o e 18) n ae n lyo 1 8 9) T e raoigo t ueo s e c hrois hi esnn f h s f p r a amnc r e hil aea f1w:( t bokprmtrzto r r s o os 1 h lc aaeeiain e l ) e qie m r prmtr t epest m d l o urs o e aaees o xrs h o e f e te s m le o sotns r l e wt h a e el f mohes e i d ih v az hroi epnin ( iiipatcl t ei amnc xaso; 2 t s mrcia o s) l m t t r o t na dvrac o t m d lf a e h e l i n aine f h o e o e suo e r sc l g nmes o prmtr; ad ( t uh a e ubr f aaees n 3 h r ) e hroi mdlcn b cmae d e l wt amnc oe a e oprd i c y ih rt ohrgohsclm p sc a gaiya dm g te epyia a s uh s rvt n a n i fl.Wehwvrpilott floig e c id t es ，oee，on u h olwn. e ( Cpblt o rpeetn ad t b i b 1 aaiiy f ersnig ) iruo y sitn bok i e e i l t s m a rpeetn o e lcs s s n a y h a e s ersnig n stl e b hrnnc.] oewudlet aodsap y arois f n ol i o vi hr k egs ft bokm d i t f a peetto、 de o h lc o e n h i J rsnain e 1 e n h ra snoh u t egs sn a aporae e ny rot ot h de uig n prpit e ft ，o m y aot a epnin wt hge ie r a dp n xaso ih ihr lr i s. ) odr sI e b i ( Etmts o rsltos re p n a s 2 siae f eouin e a d vracs a n 1 ipatcl i t bok n aine r o mrcia n h lc e . m d lwt sc a a en m e o prmtr a o e ih uh l g u b r f aaees s r ue i t s ae.( Cntuto o a peia sd n h ppr 3 osrcin f shrcl i ) hroi m d lfo t bokmdlie y amnc o e rm h lc oe s a . e s l or ve，t d t b i i t E r' n u iw h i r u o n h ats e sitn e h i e o m s b dsrbdwt asse o l a n r r u t e ecie ih ytm f o l ti c b i，uha bok o hge odrs i s Ti a s sc s lcs r ihr re p n . hs s le ry e li i bcue f s ，t s u o i awy bae s eas， i u h o t n s las isd d e t a uee d t b i o t d a O u o n nvn i r u o f h a . f sitn e t cus te tuctd epnin o t E r ' ore h rnae xaso f h at s e h l e l eeoeet b e h hnois r lcs a r htrgniy y i e annc o bok ta tr ioI a apoiain T e i ascae wt s n n prxmto. h b s soitd ih y a tel a b i i hwvr slsalrta t h o l a s s oee，i mle hn h c s ， l l e hrnnc. A l a b i apoc i m r aarois o l a s prah s o e p c s porae bcue scnl，i hs a getr rpit eas， eody t a rae nmrclavnaeoe a lblai apoc ueia datg vr goabss prah f a polm wt a J g n m e o m d l o r rbe ih a e u b r f oe r prmtr.I t r t apoc t ntr o aaees n h a e prah h aue f e tr e fl c f c n mti o t bscosra o a u o f i t arx f h ai bev1 nJ 1 eie e I euto m k st ivrinf r d l F rt qain a e h neso o n a e o h e rib. e e aoe t o raos w aotd t m d l e bv w esn， e dpe h o e x p n e b bokb i a d d y lc a s s. T e cniuain o t bok i or i h ofgrto f h lcs n u n e vis vrini s o ni F .1weeted i o i eso s h w n i ，hr h i s n n g l i d， ogtd a ddphae3， 4 ad1， a t e lniue n et r 2 6， n 6 tu 3 x6 x 1 2 4 6 3 7 8b o k 2 6 lcs ngao e d p . rc e F 1 Bokcfutnfhm e‘ U e sfe I; i . Ic oiri ol o l p r ua Vw g . le vlacs sln lg hear or eilrs ei an l ql. w. rc o co o e uo = 出 eil c v y h ol u b r f lcss 2 6 t 7. r p t e .T eta n m e o bok i3， 8 T e u a cl i i565 x5.625 0 • T e et h s f e e s es .2 0 rc l z h dph d i o v i wt dph t tikeso t i s n a e ih et: h hcns f h vi rs e e se i salr i t salwr dph ( g 1 hl s mle n h hJ oe et F . 1 e i l e .T edphndsh a dtrie fo o r h et oe j r eemnd rm w) e t qartcfrua h udai oml e h =;+ i i 響 2 脊 i 0. =.1 .6 ， ，、 .‘、. i 噌 J ， fo t s f e (=) t t cr mnl rm h u a i 0 o h oe ate e rc e budr ( M )(=1 a 20 kn T et c onay C B i 6 t 90 r h h k ) . ins o t s l a 2. knj t blw t es f h h l r 89 r u eo h e es e s e srae 11km u aoetedpho 80k ufc，7 j t bv h et f 0 : s m ， ad34k j taoeteC B Sc nnui n 3 r u bv h M . uh o-nn s fr d i o i m d t m d lt g a rc m om i s n s a e o o e h r t o vi e ee p x ya salwrdph， eas w k o a l i t hloe ets bcue e n w et tr e p o t t t v o t vi i i e h t rr h h e c y a 却 o n i e h ii a e l i r n s e c l aeae mdlo i l ea _ r r p r a y vrgd oe r t a r p t b hil s t J eua t ni g a ri t salwrdph.T ery i s r t n h hloe ets h a o ee e 可 /︼ 口 δ WHOLEMANTLEP WAVE ・ TRAVEL TIME TOMOGRAPHY 27 9 ptsaec m u e i teshrclysmerc ah r o p t d n h peial ymti m d la dapt sgeti aboki a s m d oe n ah emn n lc s s u e t b as gtle o e t h i. 凶 n 2. Rlclo . eoain 2 AIteeet ae eoae oeb o euiga l h vns r rlctd n y n sn sadr agrtm F s w cntuttet v tnad loih. i t e osrc h r e r al r e tm tbe ( h f t shrclyaeae V ie al T ム) o h peial vrgd p m d lgvni te rcdn i r i ，h r s i o e ie n h peeig t a o w e e s etn teeieta dsac ad h i t hpcnrl h pcnrI itne n s h yoeta e r dph Lnaie rlcto eロ tosf a oet. ierzd eoain qain o n b sre a i ltm tb i evd r v ie o s s ra 0_ 1 _ d_ t d t : 8 : 0 ' _ a-+一δφ+一S + t o aφahh S o -. S m eet， uha toeaogmdoenc o e vns sc s hs ln i-cni I c r g ， r p o yl a巴dbcueo ataeof i e ae o r o t eas f rd-f ds btenf a dpha do g t e T e et o ewe o l et n r i i . h dph f c in m sc a eet i iie t araoal rne uh n vn s1 td o esnbe ng m acrigt t tcoi poic.T ernei codn o h etnc rvne h ag s e 3 2 km a mdoenc r g . 0 7 0 km a -0 t i-cai i e - 0 ds t t otnns n sbuto zns 0 1 0 km a cniet ad udcin oe，- 0 3 5 kma oen.A srcue na einhvn -0 t cas tutr i rgo aig sc usal eet m yntb wl r o e uh ntbe vns a u e el e l d sv. T ee e o r s c i .hwvr de o sh f c f n l a o oee osnt i ft iotn g n i n ya e te srcueo t dsatr・ i c t f c h tutr f h itn e f a l ft e gosf ! asuc. in r l ore o1 守 2. B k o c o . apjtl 3 creil T et v tm rsdas a e rlcto a h r e ie eiul f r eoain r al t e bcpoetdi ot mnl.T eeuto f akrjce n h ate h qain o t e r t bcpoeto o ar i a t i h akrjcin f e d l ; s e su t=; =tb -( 0+ lO+3 ) t 10 / os ( 2 ) w e e0 φ h 1 a l i d， ogtd.dph h r ，， ， 0 r a t e lniue et ， e tu a doii tm o t eet r p t e . 1 i n rgn ie f h vn， e e i l 1 s e scvy 0 c e b ) tet v tm c1 ltdfo t t l T ム h h r e ie a uae rm h a e ( al o teshrclyaeae m d . 10 i apr f h peial vrgd o e 3 s el lwes n m l ie y traind et 子 D sons a o a ygvnb ubto u o 1 = 3D "I ';[j υ j J ( 5 ) T est fen ( i witni amti fr . h 巴 o q. 5 s rte n arx oma ) s d= Gm ( 6 ) '1j LS j ( 3 ) w e el i teInt o t 町 s g e t nte h r j s h egh f h e emn i h e jt boka dS i t sons prubto o -h lc n j s h Iwes etrain f e teJhbokdtrnndi t peeigbch ぺ lc eerie n h rcdn ak t poeto i tei r i p c s A s o en. rjcin n h t a v r e . e f qs ete o s ( f a eetaesle b t l s surs 2 o n vn r ovd y h e t qae ) r e a mto.Wea s m t tt sadr dvain ehd s u e h h tnad eitos a e 1 o r o teosrainle o a 0 0. 1sf f h bevtoa r r r . . rs e ， 3 e raig i，P a d e i t IC s ntto edns P ， n P n h S' oain rsetvl. Sne t dt smtms cnan epciey ic h aa oeie oti e I e siIreerr nt fl wn t gusa d t b ag ros o ooig h asin i r u to‘ w aotdarbs etmt b apyn in e dpe out siae y plig su wih w a afnto o r i a r s eg t s ucin f e d l a ，‘ ，・ . - 2 、， . 噌、，/ ‘、 . ‘ n ，、 一 f .E， A ・s ・ r f ，・ A .‘一 r<0 ‘，‘ Il 1 s 、 r ・ w U U ( 4 ) .、 1 I 1s rみ 0 w e e i t r i a vco¥ it dt kre h r ds h e d l etrGs h aa en. e su e l a dm i t u k o nm d (lwesprub・ n s h n n w o e sons etra e 1 t n v t .T esse o en ( i nral i ) e o h ytm f q. 6 s omly o cr ) . bt icnitn a d udreemnn s w oh nosset n nedtriat o e sleib t l s sursm t o itouig ov t y h e t qae e h d nrdcn e a c t n p o ifrain n te ouin ahr e a a r r nomto i o h slto rte ri ii t ta ted a hn h a . t e ) Teea m n tpso ivrino en (. hr r a y ye f neso f q. 6 e a T e ot ou訂 o est d m e l s surs h ms ppI n i h a p d e t qae‘ wih a fs apidi t v tm ivrinb hc w s it ple n r e ie neso y r al . A ie a (97 a dfloe b m n atos k t 1 17) n olwd y a y uhr. T eslto o t d m e ls sur i ie h ouin f h a p d et qa回 sgvn e a b sligt nra euto y ovn h oml qain e T ( T +0 I m= G d G G 2)( 7 ) weet tr ( 1i itoue t sai ete hr h em 1 s nrdcd o tb z h e 2 I i slto (rnln 17; Jcsn 1 9 0i a ouin Faki， 90 ako. 9 ) 7. s d m i g osat eemnd p o. h a r r a p n cntn dtrie a r r T e p o ii ii koldei t ttem d lm iagusa nie nweg s h h o e a s asin os o zr m a ，hc rqie t slto t b a f eo e n wih eurs h ouin o e s e c s t t s r n m d la psil iii nt 1 e o h t t g o e s osbe ft s o 0 . e ai I e t ) poe ycntandb t d a Euto ( i rpr osrie y h a . qain 7 s uuly sle uig te Coek' dcmoi sal ovd sn h hlsys eopst n wihia i c e r n i m t o sial i ， hc s d e l n a o e h d utbe o rt iitn f a ytm f qain wt a ymti mti. o sse o eutos ih smerc arx r l 唱 E A E E ﹄ Ti wihigshm ia oapid nte ak hs egtn cees l ple i h bcs poeto proces~ wihwI b epandle rjcin hc i e xlie ar 1 t. n rp Sneterlcto i anrl e rcs， e ic h eoain s oト i a oes w ieae te l s sur c clto tn tms trtd h e t qa回 a uain e ie a I itouigadmig T ecluaino 1 i nrdcn apn. h aclto f 3D s m d o1 a tefs i r i bcuei ivr a e n t h it t a o eas t s ey y r etn t e osmg 1 cnum. m ムn q y 28 9 . I O EET L 1 N U . A 1 lssuy w d ntuetsm t o b n h td， e o o s h e h d e i i cue f h floigtoraos F s， oht as o l olwn w esn. i t bt h e r e cntulo o t nra euto adsligt osrcin f h oml qain n ovn i e uigad e eiiainm t o a ipatcl sn i C lmnto e h d r mrcia rl e sne te n m e o m d l prmtr i e ic h u b r f o e aaees s x lee l g i orpolm Rcn s d so rm y a e n u rbe. eet t i f 1 r ue lre c e oorpi i e i i o o aott ag s l tmgahc n r o d nt dp h a vsr e d m e l s s a si tssne H m h e se a p d e t q r .n h es ( u p r y t a-ue l a 18;Nknsi 18;Gad 18;Sesg ， 94 aaih，95 rn. 97 utuu . 1 a dNknsl 18; H g ra dCatn 18; n aaih，97 a e n lyo，99 9 e a d u p r y adCatn18) Scn，h a n H m h e s n lyo， 8. eod t p o kolde f = s r n m d l gusa r r nweg o m t t g o e + asin ii ai errde ntse t b acretoe Atra ro os o em o e orc n. lent e ，fs w aot te cnuae gain i l it e dp h ojgt rdet v y r， m l o t sle h nra euto a d scn， e h d o ov t oml qain n，eod e itouet fs odrsotns p o nrdc h it re mohes r r er i. 2 . Sotns pir . 1 mohes ro 3. d ・ 1t od r 5 o t n 5 5 l e moheS " ・ - 2 d odr s o t n 5 n re m o h e 5 Anitouto o sotns t a rbe o nrdcin f mohes o polm f mdln wt i u i e dt hs be rae oeig ih n f c n aa a en nd sfit feunl. h sm1t xml it l e rp. rqety T e ip seapes h i gah e e n T e cbc s i f出1 s as wdl k o L h ui p n i 9i lo iey n明 le t wih eurs h mnml uvlr o t mdl hc rqie t iia craue f h oe e e i te l s s a s s s F s w epan t n h e t q r e e i l e xli h a - u e n. r e snohesp o t t 1dmninlpitdt rotns r r o h -iesoa on aa i e ftg ii. tn a e t oe Spoet tw a rqie t f amdl ups h e r eurd o i ) fnto y f x t osre dt pit ( j，f ucin =( ) o bevd aa ons x Y i 1. N T es u o wihw w u dl et = .. . h o t n hc e ol i o li k oti i sc t tm f sl s t t dt a d ban s uh h i i e t o h aa n a st a e ta i sot 面白el tsu 白 s s T e ht s moh e 前 q紅 ee h n. slto cnb gvnb amnriaino t ouin a e ie y iinzto f h e floig1 n r olwn 2 o m F 2R efhc icn oe os o n s noc i . o oIc d rl rr fm l c irud g . l r C e ds o h s lde C opn ug o p . da a s i 1 olfi pbe.U e oir dme lt n ・ i in rlm p r rny apd e i e dc d s oc pe s1r md. rr d l i出i ar qa; il oc a p dn s p. I= I 互 fX)2+入[k()2 い(;]ん j )X]一 < N 枇 ( 8 ) T efs a dt scn trso t r h h n h it n h eod em f h i t a d r e e g sd ( H p回 et enf t t dt a d h ie R 幼児 r n 血 rst o h aa n t ii e e k ruheso t. oe，epciey weef 】 ogns f h mdl rsetvl， hr ( e dntst kt re.eiaieo f 5 i t eoe h ・hodrdrvtv f ，1 s h e e ne osdrto， n s d m i o X udrcnieain ad 入 i 組 oan f abtawih 1 f t o t ruhesn ロ孔 rirηeg白 9 a o n h ogns o cr e T es∞ dlr m yb as m a i no ruh h e n em a e u m t o f ogns n r swt d f e o e .T eetmt f es o m ih i e n r r h siae frt ds w l h riiie r i t bs f a d t h c nnmzs s h et i n h e t e sotetfnto i tea n s l fntoa mohs ucin n h d i i e ucinl rsb s c T eap o ifrainue hr i t t pe h a. r r nomto sd ees h ii a t kt odrd i t e ft fnto fszr h -h re e v i o h ucin i eo e rav e eeyhr pu gusa n s T e r e o wt vrwee ls asin o e h c t i ih i. irn k 0itesadr d m e l s s a s = s h tnad a p d e t q r . a-ue l tt e l e er Fgr 2iu r e t r e ft zr， h fs iue 1 s a s h o o h eo t it a dt scn odr mohess n i i pon h eod re sotnse i f t g rb e tn Jm T eslto w出 te eoodrsotns e. h ouin i h zr re mohes s i dpnso t itlslto wie由 oew血 eed n h ni ouin hl e ia t fs adhge odr mohes d o A h it n lhr re sotns回 on . er t pyia mdlt f t fs o t scn odr hscl oe o i h it r h eod re t e r e sotns i as i udrtnino a e s c mohess l n ne eso r n l t rg ai scvy e brf efo tnin r p t e .Dti o t a r rm eso，e e i l eal f h e ftgpolmi oeo todmnin i d ii rbe n n r w iesos s e tn srbdi Ioe( 8 . cie n nu 1 6 9) Weaotdt fs odrsnohest or dpe h it re rotns o u e r e 1 polmo tmgah， eas o t m n m rbe f oorpy bcue f h i i a o i a r ntr o t slto a di idpn s l t y aue f h ouin n t nee・ clo e s dne o t itl s u o T efre i a ec f h ni o t n h omr s n e ia l i . iprat poet f sprsig aicl motn rpry o upesn rfi r tia futain o teslto， i ew smtms lcuto f h ouin s c e oeie n p ya e i t t cag o tepyia poa t n o o h hne f h hscl rp ltn e e yo t Erhsi e o a w la t t vle r f h at' n r r s e s o h au t e ti I e ie.T e1 n r t b mnmzdi orgoa tl h 2 o m o e iiie n u lb sf 1 - 0 3 - WHOLEM N L P W V T A E T M T M Q A H A T E .AE R V L IE O O R P Y 29 9 tmgah f a otnasons prubto oorpy o cniu lwes etrain r 1 sr 9 φ iwitna (，，)s rte s weeC it cvrac mti o t dt ad hr d s h oaine arx f h aa n e e ~ it cvrac mti o t sotns，f s h oaine arx f h mohes o e e ( 9 ) lmnsa e n n l f l wihda∞剖 eeet r O~ ad ada o hc ig t ofdaoasa z o T e mohes e e h f-ignl r e s h sotns k n e e r. rl T efs a dt scn trse r st m f h it n h eod em x e h i i r e p s e st e eies r e r D i ∞ p s d o t c f c n f l fs s m o e f h o f i t o h it scvy; e adl fs odr ogn se e i l σ it n h it re ruh白 r p t e . s h er cr . . . d i t e， hs r wv t i (. C， c.) e v i s woe o e o s . I ー， . rav n v sadr e o o t osraint adOha dσ tnad r r f h bevto j n r e τ ec f c n cf t t e d e i so t h ofit eies o h he ico f h r e r rtn e aeteap o sadr e o o t hrzna r h r r tnad r r f h oiotl ii rs e codnt ，φ r a詑μ SIJ/l~r d ，{， oriae ) s( . d 8 . s a dt v t a sotnse r p t e ， hc n h e i l mohess e e i l wih e rc scvy 1 A 山 81 2 n 3φ r }/ ad S/ 6 ，e e i l r!. r p t e . / r scvy wl b dtrie b t c s v i t n d i e eemnd y h r s a d i e l e o lao 1 ec s p i t i r i poes o t n ah t n h t a v rcs f h e e ete e f n v srbdle l ts ae， er e t Oh adσ cie ar n h pprw e r o t. i r o t nadt bcpoeto，q.(1) ut e c i n h akrjcinen la ms lao e a t ruhesprmtr.T ei e a i t s h ogns aaees h n g l n h e tr e b mdfe t e oiid o a e fs tr i aog t r f ad t ti t it em s ln h a ; n h n h r e y ，‘ ， G一， & i、 s a E 一、・ scn tr i oe e i vlm o t m n e eod em s vr n t oue f h a t te e 1 ' . -e m a -・ E E E 、- D Eo -E D m nE () 1 2 ・ i z cr V ・T edipn f t screpnigt λ n ・E l M h anig a o orsodn o i a v' ' ' 3 i en ( ae1 σzadl3;，hr l ia n q. 8 r ; f n Jσ2 wee u s u t ) l wee oit s r n m d .T e omleuhr m s h t t g o e h nra qa e ai lnt itoue t m k t d i t en r egh nrdcd o a e h e v i o m e rav t nf e .()igvnb i o q 1 s ie y o r n 2 r dmnines wihiol f cneinead iesols， hc s ny o ovnec n (TiG O C l ) m GCl + T ; D o hsn e e i maig T e n r e t no 1 a o s n a enn. h i e r a o f u stl tpti 、今， 、‘ . ，・a 、 i gvni Ioe(96 i d alT ehrzna s ie n nu 18) n e i h oiotl t. A = T io -D C I m G C 1d T ; D O e a p ad v t a sotnse a d l wt s n e i 1 mohess r e t ih e rc T es u o o t nra euto cnb oh o t n f h oml qain a e b li e a t y snet Erhi i r s a yv t a y r e ，ic h at s n i i l e i l al e tncl r c l t n b a i r i mto wtotc s u a e y n t a v ehd ihu o t c id ete nrt htrgnos eeoeeu. i e .()eliy n q 1 xit. g n 3 pcl Rwiige .( t a i r e o ， w hv ertn q 9 o d c t m d e ae n ) se 1 e 噌， 、2 T eap o cvrac mti C o gusa h r r oaine arx m f asin ii t ewih a pooe b Trnoa n Vlte y ， c ws rpsd y aatl ad aet p h I =I I Iij T : t-:j I ー-¥ j /sI ミ; t;σ ~ i r ( 8 ， smtmsue f poiiga moh 1 2 . oeie sd o rvdn sot9) s n s f h s u o Hwvr i b i poet i e o t o t n oee.t a c rprys s e li. s s 1. 1( S . . . . . . 1 61 .1 6d λ . S ーラ，1=--:-~ 6.s~+ 一一一一~ 6 ; t s m a t sadr d m e ] s surs h a e s h tnad a p d e t qae e e a - 1r 9 ・• r s eη=¥ d - . .1 s l乍 O~: I J 的 i n p sa o e o mvn aeaefti.I t i l p t i i oig vrg ien n h r u srr lrg e faeok orsotns i fral gvnb rmwr， u mohes s omly ie y 1企S ー . ￨+ー~-~ 6 I . I (0 1) hc s h e t ap o cvrac ( T ) 1 wih i t h e r r oaine D D ー ii O2 6 v . r cvrac fnto o t i e eo l scn oaine ucin f h n r f h eod e vs e wee6 ，d a d 6 a t s pwdh ad hr . . n . r h t its n eφ r e e e . . 1 2 1.， . . odrd f e i oeao (，- ，‘ -，) re i e n a prtr . frtl 6 o d 4 a d 6 r a t cnat aes o . ， . > n . r h otc ra f S S S e e 由 a s t scn o e i e a o o r o ti h eod r r n g t n p a r ，e d tri et. nihorn bok aogt codnts wih egbuig lcs ln h oriae， hc e ae ie b rφ r n， d. adr. 6 s n( r gvn y d 6s 8 r9 r n 2 9 φ i ， .. i . 6 6. ) 2. Cnuae r i lmro .2 ojgt g d n ehd 3. ae r p t e .d o 6 o釦 d6r a t d f e e eeil . ， s scvy s . . r h iens s e e frc Rcn wrso l g s l t v tm tmg eel ok n a e c e r e ie oor a al o t nihorn mdlprmtr aogt f h egbuig oe aaees ln h e e rpy dp i r i agrtm t s v t euah aot t a v loihs o o e h qa ete l e codnts oriae. e ete t nsse‘ bcuet i r i shm i vr i ytm eas h t a v cee s ey o T e ytm f qaintb s v i t ls h sse o euto o e o e n h et ld e a s t l f s v gasse Q eutoswt uae o o i ib r l n ytm f qain ih sursm t o i qae e h ds l g ad sas c f c n m r .Tee hv a e n pre o f i t a i hr ae r eie tx be m n t o t a adeprmna wrso en a y h r i l n xeietl ok n eec (a 日) o' ¥J r O t cmaio o bcpoeto tcnqe h oprsn f akrjcin ehius e H 寺吋;d)+払示告 z ( Sf2 ，[ p {(+( f( fV ;者 l主} 古+ d 寺 r wl t cvrac mti i t fr ih h oaine arx n h om e e (~d 二) 0 ;、 ‘s ，・ 唱 官 E A A .、 E h S ' u ぷ 〆 噌 d I 吟 s ;， / _ W (mg g=))(円 ぺυ WHOLEM N L P W V T .V L I E A T E . A E RA E T M TOMOO.IHY R ' A 29 9 tmgah f a otnasons prubto oorpy o cniu lwes etrain r 1 sr 9 φ iwitna (，，)s rte s 口=訪封 卜い 寸df 写寺 (ん叫s r 州計 t戸汀 d wt t cvrac mti i t fr ih h oaine arx n h om e e 4 々か イ炉 +( f寺 fV ;ま l主} 古+ d ((~d 二) 0 ;、，‘ s z 宅 唱 E E E & a h u . E a ' 、 ( 9 ) T efs a dt scn t m e r st m f h it n h eod e s x e h i i r e l ' p s e st adt fs odr ogns r p t e . it n h it re ruhes e e i l σ s h er scvyI e sadr e o o t osraintado a dOy tnad r r f h bevto j n h n r e aeteap o sadr e o o t hrzna r h r r tnad r r f h oiotl ii rs e a dt v t a sotnse r p t e ， hc n h e i l mohess e e i l wih e rc scvy wl b dtrie b t c s v i t n d i e eemnd y h r s a d i e l e o lao f srbdle l tspprw r e t o adOy cie ar n h ae， e e r o h n t. i a t ruhesprmtr.T ei e a i t s h ogns aaees h n g l n h e tr e a e fs tr i aogt ry f ad t ti t it em s ln h a j n h n h r e scn tr i oe e i vlm o t mnl eod em s vr n t oue f h ate te e 匂 h anig a o orsodn o i cr F.T edipn f t screpnigt λ n ; 3 i en ( ae1 σ 2 n l3;，hr ia n q. 8 r ; 5 a d Jσ2 wee s u t ) lnt itoue t m k t d i t en r egh nrdcd o a e h e v i o m e rav r dmnines wuhiol f cneinead iesols， rc s ny o ovnec n hsn e e i maig T e n r e t no l a o s n a enn. h i e r a o f u stl tpti i gvni Ioe(96 i d alT ehrzna s ie n nu 18) n e i h oiotl t. ad v t a sotnse a d l wt s n e i l mohess r e t ih e rc e a p e tnc 1 r c l a t y snet Erhi i r s ayv t a y r e ，ic h at s n i i1 e i l al htrgnos eeoeeu. Rwiige .( t a i r e oe ， e ae ertn q 9 o d c t mdl w hv n ) se u ' weeC it cvrac mti o t dl ad hr d s h oaine arx f h aa n e e ~ it ∞ a a e arx f h sotns，f s h vr n mti o t mohes o e ic e e n n 1 f 1 wihdao剖 eeet r o~ ad ada o hc ign lmnsa t o -ignl a z o T e mohes e e h f daoas r e s h sotns k n e f e r. rl oi cmoe o tec f c n f l fs s opsd f h o f i t o h it eies r e r c r . ，，・ . ・. d i t e. hs r wv t i (， c ーc・) e v i s woe o e o s . rav ，τ ec f c n cf t t e d e i so t h ofit eies o h he ico f h r e r rtn e codnts 8 φ r a詑μ S(J/I~rA8 ，{ S/ oriae . 企や 2 n / S/石 r p t e . 1rφi 81 ad t r耳 1asn }/ 1 ， eeil scvy 1 ec s p i t i r i poes o t n ah t n h t a v rcs f h e e ete e 1 r o t nadt bcpoeto，q.( a ms e c i n h akrjcinen l ) ut lao e b mdfe t ‘ e oiid o ，， ‘， ， G 1 ‘ a m 一・ 一・& i ・I・、 ‘‘ 、 D mn ・ D AM () 1 2 a Z E E E E f ' ' ' E EE E v E a J l wee oit s r n m d .T e omleuhr m s h t t g o e h nra qa e ai t nf e .()igvnb i o q 1 s ie y o r n 2 (TiG O C l ) m GCl + T ; O 8 T; 8 -O C I m =G C 1 d T ; O o ， 、z ，，、噌 ‘ J ・， E 今 E 日 工 l -川= 会 tp t l 乍 on M j r 1 /S •)r . 2 噌 ，、2 +1.>.I~( t1ら a 一A L A C . ' ー l-Ad+一- Ad > 1 l I -~(I • r φi tsn 1 。 つ+~~-~ t I ; 0t -~r I ;1 1 r s I () 1 0 weet ，t a d t a t s pwdh ad hr 1 1 n 1 r h t its n 8 φ r e e e t o /S a d 企S a t cnat aes o 1 ，)4 n S . > r r h o c r e e t a f nihorn bok aogt codnts wih egbuig lcs ln h oriae， hc e t1 ae ie b rφ r n，1t adr1 t s n8 r gvn y/ ts 9 r8 r n 2 8 φ i ，) 1 i t1 . r p t e ./s，)o釦 dムr a t d f e e e e i l )o /s scvy . . S r h iens e e frc o t nihorn mdlprmtr aogt f h egbuig oe aaees ln h e e codnts oriae. T e ytm f qaintb s v i t ls h sse o eulo o e o e n h et ld e a sursm t o i qae e h ds T es u o o t nra euto cnb oh o t n f h oml qain a e b li e t n b a i r i mto wtotcntut a e y n t a v ehd ihu osrcid ete i e .()eliy n q 1 xit. g n 3 pcl T eap o cvrac mti C o gusa h r r oaine arx m f asin ii t ewih apooe bTrnoa n Vlte y ， c wsrpsd yaatl ad aet p h i r ( 8 ， smtmsue f poiiga moh 1 2 . oeie sd o rvdn sot9) s n s f h s u o Hwvr i b i poet i e o t o t n oee.t a c rprys s e li. s s t s m a t sadr d m e ls surs h a e s h tnad a p d et qae e e a p sa o e o mvn aeaefti.I t i l p t i i oig vrg ien n h r u srr lrg e faeok orsotns i fral gvnb rmwr， u mohes s omly ie y hc s h e t ap o cvrac ( T ) 1wih i t h e r r oaine O D ー ii cvrac fnto o t i e eo t scn oaine ucin f h n r f h eod e vs e odrd f e i oeao (，- ，，-，) re i e n a prtr . frtl . . 1 2 1. .， . 由a s t scn odr n g t n p a r ti h eod re i e a o o r o ，e tri et. 2. Cnuae r i lmro .2 ojgt g d n ehd 3. ae Rcn wrso l g s l t v tm tmg eet ok n a e c e r e ie oor a al rpy dp i r i agrtm t s v t euah aot t a v loihs o o e h qa ete l e e ete t nsse‘ bcuet i r i shm i vr i ytm eas h t a v cee s ey o s t l f s v gasse Q eutoswt uae o o i ib r l n ytm f qain ih l g ad sas c f c n m r .Teehv a e n pre o f i t a i hr ae r eie tx be m n t o t a adeprmna wrso en a y h r i l n xeietl ok n eec t cmaio o bcpoeto tcnqe h oprsn f akrjcin ehius e (mg g=O )) o.( r ¥J (a l) 1 - 2 3 - WHOLEM N L P W V T A E T M T M O A t y A T E .AE R V L J E OORPl 3 0 1 gvnb t icmlt Coek dcmoiin ie y h nopee hlsy eopsto. e I t cnuae rdetagrtms o n bv， n h ojgt gain loih h w aoe e iint eurdt c c a L Txit.Sne ts o rqie o a u t - eliy ic lle pcl sse ()s e e cniind hnsse (4， ytm 1 ib t odtoe ta ytm 1) 8 lr t s u o cnegs ae H w v rt icm h o t n ovre ft. o e e， e noe li sr h p t Coek dcmoiin r u e r h l c hlsy eopsto e i s a e e qr tr a e cmlctd agrtm s t t w aotd t opiae loih， o h e dpe h i . e smls vrino t peodtoig . ， h ipet eso f h rcniinn， e t e daoa s l g l t daoa s l g a ignl c i . n h ignl c i 1 an e an grtmL- iol a ignlmti gvn y oih， Ts ny daoa arx ie b L T [igAA] 1 da(T)- パ需 () 2 0 wihiapid泊 e s 1 a d()eliy hc s ple q .() n 1 xit. n 8 9 pcl T es l gde nta e t r a v wih o h c i os o f c h e t e egt n an ft e l i 伺 c eao hqtn ui. weeg i t ;hr wv t o t dt kml hr j s h - o e o f h aa ee e t cr e G T egnrlzdc s v i t ngvnaoe . h eeaie r s a d i ie bv o lao (rvna dW h a 17)r u e l g c m u Cae n a b ，99 e i s a e o p ・ qr r t i aeos H w v riw hv a a a o n a o 1 fr. o e e， e ae v t m u t t n ft f s o dt， h c s v i t ns r cnb sm f aa t r s a d i c e a e ie o lao o p f da rlw. l i s oos ie 1 Ised o e r t geeys g d t m w nta f x a i vr i l a u， e tcn ne lae u，a， dt s d wihsaf c o o ev ot sy a aa e 1 hc i r t n f t ai t ta dt s dtruh t r n o smln. h ol aa e hog i a d m apig e t l s τ e w p d td b t mdlm" wihi ' n e r i 1 y h oe i hc s h ec e l e i a dfo t rto t dt d} uiga s r t rm h e f h aa - sn tne e s e 凶 a λ h prxmt c s v i t ns r i l T eapoiae r s a d i c es o lao o gvna le s f 入=I - Gm 112 () I1 d :; 1 () 2 2 2 . Cos a d i .3 rs u i t n 3. /ao T esadr e o o t sotns 9 0 i teI C ultnw r oitd Fgr 5 5 n h S blei e e mte. iue s o st h cutm p w i hposten m e h w h i on a ， h c lt h u b r e t o ry psig truh ec bok Ti gvs ( as asn hog ah lc. hs ie iCraino ter i i yo teslto a nomto n h e a1 f h ouin s lb t i wl a terslto a dvrac m p s o n el s h eouin n aine a s h w le ar t. BCr poedn t tenx sbeto， e eoe rceig o h et uscin w bin dsrb a cmuainl apc o or rey ecie opttoa set f u ivrinpoes T e acltosh v b e pr neso rcs. h cluain a e e n ef r e o te m i fae c m u e FACOM o m d n h a n rm o p t r M 8 (0M L P m x A l h cluain o 7 0 2 F O S a ふ l te acltos f slto，rs vldto，hcebadrslto ouin cos aiain cekror eouin 1 a dvrac IVlebcpoettpoes T e n aine i ov akrjcimrcs. h apoiaes eo tedt kre G fr2 0 prxmt i f h aa enl z o 00 z eet i 1 0mgbts am x m ms eo te vns s 0 eaye， a i u i f h m m r o orcmue.I tks5n ni CPU e o y n u optr t ae 語 n tm t rpa 6 i r i si CGm t o fra ie o eet 4 t a o n etn ehd o bcpoeto.T ecntuto o adt kre akrjcin h osrcin f aa enl G i cmaal i C Utm.T ebcpoes oprbe n P ie h akrjc tos aepromdkeigG o tem m η， in r efre epn n h eo bcue edn if o a ik i tks o e a eas raigt r m ds fe ae m r 出 n l tntmso teCPUt e e ie f h i. m ' c コ宝 、 目前 b > Q . 1 E 0 1 0 :: t j コ O " ， . . 0 〉 ' ωす O .4 1 0 - 13 0 - 2 びσ 1 Hrzna R u h e s Ch s m) oiotl o g n s 1 ( k2 / F.6C n u m p f h cs v i u sr f t d a i . ot r a o t rs a d o ceo h a g o e o lan o r e t s siro o 9 'er i i eo a maue al e iJ lN.. h p d l n rr r esrdl h l ma τ e c o rs e e i pn iit b aes. h olm ma oprmt隠 ol nce y srk T e pIu prf aaee iS d a d lis O ad0 a p di t i e i isonb lg ps h n . d l n h n r o s hw y ae J. oe e vsn r u Dse c v iil t lU a n h pdlneo ahd u e nee h r 悼 l gt rii rr r das e O o e eco r m i . ot r nrl f hp d u eo O 5 i m C n u iea o l r i o rr . s na o tv e e c n rs . 3 . Cosv i t n . rs a d i 2 lao Pirt ivriga tedt， edtrie ro o netn l h aa w eemnd l teo t m mvle o teruhespr ntr h p i u aus f h ogns a釘 ees ∞ - 9 3 - 38 0 HIOE T . N U E AL FS -. ス^T 20 ・ ・- E 軍国量量三富軍軍遺言議言語 l +2~Ø 1 SO . l “ F S -. 父 A T 20 FB7 Hrzna S t n o ttptEn f t cekror rSlto-1tatmt ptEn o 士2 aonl i sons I-e oiotl E i s f e atrs o h hcebad EOuinT3 lEae atrs f Co s r E % nray n lwes etn bt hrznal a dv t a y xed oh oiotly n e i l . rcl fffm ff m iR f i 一一ififg 寸 +. 1SO 2O. lW 4 0 WIL M N L I-^ERVL I E I O E ^ T I ' W V T A H T M TOMOi A H CR P Y ， 39 0 FS -. 1 AT 2O. " 園 田富 田富 量量 富話 器冒謡滋盗塁翠 r. 1SOW + O. l 2 7 - H8k 8 m FS - 0 ^T 2 χ . ・ ・ E圃圏 直面 -量 盟国 長 率翠 選蓬 leOSO +.χLH F .. h kror eouin a s t or ieet ets acltdI Ie aa e No9C mlt rsJto soJ rpoue i 8C 民 ebadrslto m p a Iu dC rn dph cluae o h dt s g f r t ・ opee eouin hud erdc . t p t m s o n nF .7 h ae s hw i i . e ¥ g - 1 4 3 1 0 H I O FE AL . N U T . 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Iε S O .:... .:..: . ::: . ::: .: . +. 一... .:0メ lW 4 4 WHOLEMANTLEP W V T A E T M TOMOGRAPIW - A E R V L I E 33 1 fo 1 do 2913raig.T e ee egts rm h e f 5， 4 edns h svn ihh o l dt d a ivre 1 o1i ta sltos f h aa 2 r neld 0 ban rl ouin e e i w1 vros ruhes prmtr. T e bcih niu ogns aaees h ak poeto w spromdwt t CGm t o a rjcin a efre ih h e ehd s etn dsrbdi telts t n T ei r i swr ecie n h a e i . h t a o ee s co sopda 1 t sv C Utn w i hi s f tpe t 6 o ae P ie h c s u i r fc n t cneg f tebok wl cvrdwt i t o ovre o h lcs el oee ih e r t pts Wepromd斜 rte hn1 ，t a h ah. e efre 、 ahrta 6 i r et n i tef a ivrindsrbdi Scin i s n h i I neso ecie n eto o n 3. . 4 Fgr 6soster u o cosvldto. iue hw h e l f rs aiain st T u sltosaecluae f t r d f e r l ouin r acltd o h t i e n i r iy f r t pis o σ a d σ wih a s o n b sal ar f h n y hc r h w y ml e smos T ecrepnigr . peito e ybl_ h orsodn . s rdcin r m. r s f 1 sltosaete i e oae n o o h ouin r hn n 中 ltda d r r e t i 1 nrl h tvs s o nb cnorl e a 005si e a .T e h w y otu i s t .0 hrzna ruhes a b wl cniandfo oiotl ogns cn e el osrie rm ts otu m pa oe iigt l s peito h cnor a s n gvn h e t rdcin i e a . rc err Fr tev t a ruhes o te ohr ro o h e i l ogns， n h te hn.ol telwrb u dcnb s f o ts ad ny h oe o n a e e r m h t i m p pei1o e o de n1ices ee it a : rdcin r r os o nrae vnf h r e v t a d m i go so1ns i rlxd Ti e i l a p n f mohes s eae. hs rc udrd1rie vlesge1 1 ttev 1 a ne eemnd au ugss h h e i l a rc dvso it t 6 ndsmgthv be to iiin no h 4 oe ih ae en o e cas t fl wtet ev t a htrgniyo ore o o o h r e i l eeoeet f 1 u rc i e 1 mnl. Weue i tsppr t sals h ate e s，n h ae， h mlet v t a ruhesa o gtoeyedn mnml e i l ogns m n hs ilig iia rc peito e o .T eaotdvle o teo i rdcin r r h dpe aus f h p rs t mumprmtr a e h 2 1 - a d (v 2X aaees r σ= X 0 3 n J = e g 1 -( km 2 a s o nb t lre rs i F . 0 2 s -) s h w y h ag cos n i 司 6 . 3. R o t l . elil 3 suo Pirt ivriga t d t w xmn t ro o netn l h aa eeaie h l e 、 e cekror r o t n Fgr 7s o sah i hcebad e l i . iue suo hw or zna scino t ttp t n T os e o t otl eto f h e a e . w i s f h e s tr z e pten r t t i odr o e te eouin i atr ae e e n re t s h rsltos n sd e lc r ht ra d f e wvlnts A bak o a wie ae i e n ae巴 gh. frt X X ivle 2 2 1 bok ( p，a d 8 8 4 novs X X lcs t ) n o bok (otm i l i d Xlniue dph lcs bto) n a t e ogtd X et. tu T ettpten cnit f lwes etrain h e atrs oss o sons prubtos s o 土2 ， hc aepasbevle f t t e f % wih r luil aus o h r r e u prubto i te ate etrain n h mnl. T e ytei t v tms r cluae f te h snhtc r e ie a acltd o h al e r rypts i dt s N .9ad te a bca ah n au e o t n hy r ak e poetdi ot mnl.T eruhesprmrjce n h a1e h ogns nne t e ts t u b ro i r i s n d1 wih o e 、 h m e f t n o . n h egt n r en etn e ec d t m sda t s m vle a i t rl ah n u ue r h n e aus s n h e e e e a dt ivrins o nle Atog t r o aa neso h w ar lhuh h e l t. e su t nsol b cluae f a t t dt sS i hud e acltd o l h e na e ， o r1 e n l w hv cluae ifr nyt dt s N . t e ae ac!td to ol h au e o 9 o e t e sv C U t e Teeoe t rslto o or ae P i . hrfr，h eouin f u m f a m d lsol b s m w a bte ta t t i 1 o e hud e o e h t etr hn h n a cluae h e ucltd e _ r Fgr 8(-)s o st rcntutdiae iue ad h w h eosrce mg e o t ttpten. 1 t dphrne7-4 f h e atrs n h et ag 818 e s e km 出e ml sae eouin t )s o d ny t ， sal cl rslto ( p ig o ol a o e ci t lmtdaes aon t P i c SuhAi h iie ra， rud h a f 、 ot sa e ad Erp. T e aes aog t m d oenc n uoe h ra ln h i cai e r g aent rsle a a tog tee a i e r o eovd t l huh hr r ds . l e s m ry psig hog t e ( g 5 T e a e o e as asn truh h m F . ) h l g i . r 1 t r i1 1 sa rslto (otm i b t tl tes a c e eouin bto) s e e hl h m 1 s l Hwvr teoen ad teihl i d c e oee. h ca n hhg a t e a. tu ae ae sl nt rsle. l t dph rne ra r t o eovd n h et ag i l e ， h eouin n e e h a e cas r 4869km terslto i r s _T el g 7-2 s l pteni wl rcntutdecp f t c e atr s el eosrce xet o h a r e r doenca dplrr i s l t dphrne n cai n oa e o . n h et ag i gn e 10-45k .t o g a l g s l pteni 2313 m h r i l a e c e atr s e in r a . s e rcntutd qie wl J t aoe t CMB eosrce ut el u bv h e na ci e na (5620 k ) t c t lP i c n t c t l 26-90 m ， h e r a f a d h e r Alni a wl r o e T erslto o t tatc r el e l d h eouin n h e sv. e ， i 1 a aeaei hwvr sg t poe ta t ti vrg s oee， 1h y orr hn h n t l e .bv i (2326 k) Psil r h a r aoe t 25-56 m. osbe e e y a t 1 h ubr f a ) e y 5n f ts ae 出 a ( t n m e o r s 0s o h r r i a ) dcess( eF .5， n t t( teoiotl erae s i ) ad h 2 hhrzna e g ss sotns o t slto e e i l i r s ， mohes f h ouin f c v y n 回 e a e fte c te e i lsotns irlxda t C M. h v t a mohess eae t h rc e B Rslto i plrrgosi po i a t eouin n oa ein s or n l h 1 e dph.Tl id et tefeto sotig n ets hss u o hefc f mohn a d so cnegne bcue lc s e i lniue lw ovrec，巴 as bok i s n ogtd z aevr sali plrr i s r ey ml n oa e o . gn 3. Ivs I 0 t dt . leil 1 h aa 4 lrO e T eivrin i promd b teagrtm h neso s efre y h loih dsrbda t bgnigo t ltscin . ‘ ecie t h einn f h a eto，e e e s i . terlcto，akrjcinadterfnmn h eoain bcpoeto n h eieet o t shrclysmercmdl a rpae f h peial ymti oe r eetd e e ut1h slto cnegs T eo t m mrul nite ouin ovre. h p i u ogト . ns p r m t r σ= X 0 3 a dσ= X 0 2 es a a e e s h 2 1 - n v 2 1 dtrie b tecosvldto a ue ol eemnd y h rs aiain r sd ny e a t fa bcpoeto.Drn t peeig t h il akrjcin uig h rcdn e n e i r i poessw aotdt salrvle t a o rcse e dpe h mle aus etn e X 03 n y X 0 2 o upes O 1 1- a d O =1 1- l sprs h ruhesm r e e i J 1 g en t l s r n ogns o e f c v y 0 i s b t t g fte v ae ai 語斗 A A U に 34 1 m d lfrtefnlieain I e c ieain we o e o h ia trlo. n a h trto ， h v 1nSlloso s o n s prubto cre a e e ouin f l w e s etrain ors o d n 1 1etn d l st s o ni T b e1 p n i g 0 h e a a es h w n a l . T et nsltosaea e a e w t w i h sp o h e ouin r v r g d i h e g t r ・ prinlt tcn m e o osrain cltic otoa o h u b r f bcvtos Oland i e c d t s .T e leshrclys m e r c n a h a a e h n h peial y m t i t m d li rvsdb aeaigprubtosi te o e s eie y vrgn etrain n h 1 s e s w e e lecnrbtosfo b o k o h l， h r h otiuin r加 l c sc n tiig n ry ae ecue. A tOlh te r y ann o a r xldd lhlg h a c v r g saen t n f r a o gtetnd t st o e a e r o u i o m m n h e a a es dl t tedfeec i sain dsrbto， h le o h ifrne n tto itiuin te a o a ypten a dtera p i u e o t eln n m l atrs n hi m l t d s f h e ir idvda sltosaeqies m a niiul ouin r ut i 1 . H I U Jr. . N f r ^. Oi 1 3 . j D川 oe .1 4. dl T esatn a dtefnlm d l o te pei h trig n h ia o e s f h shrclys m e r cVpsrcueael l i T b e2 al y m l i tulr r i e n a l . Sd T e aepotdi Fg 9 a wl a teoiia h y r lte n i. . s el s b rgnl J oc o H r i c :(9 ) A lc r u 1 dl f c r n l 1 1 6 . s h l 1 . 8 cl o sl f ivrin te cul a d u p r o l m n l n e neso h rs n p c m s a l e r c a g d b t t e l w r m n l i lt c a g d h n e l h o e a t e s il h n e . l te ，h F o te srae t a d p h o 1 0 km te r m h ufc o et f 0 vlct icess b a o t 00 km s . T e eoiy nrae y b u .5 叶 h lret c a g o 00 km SI ocre a te ags h n e f .7 - curd t h d p ho 5 - 0kma d iliunl， lwvlc el f 0 7 n ，nrgigy a o-eoi lyr ( V ) e e g d drcl b l w i T e t ae L L m r e iety e o l h y . L VLs e i F g 9i sal A m r dsic L e n n i ・ s ml. o e itnt VL T B E A L 2 T esaug n I fas e c l s r l c pmdl h lrn ad h i . p r a y y n r V oe e nJ h i l m e i Nd oe N. o Dph el (m k) 00 .0 0 52 .4 3 19 11 .4 1 . 9 m 。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 3 0 3 1 3 2 Srn llg ai V mdl p oe (m -) k5 1 6 o . 65 .3 0 65 .7 1 69 .3 3 63 .4 9 75 .2 6 8 5 . 師 87 .9 0 89 .4 0 81 .0 1 83 .0 1 85 .8 1 89 .5 1 84 .2 2 89 .9 2 86 .6 3 8 4 . 斜 83 .4 5 83 .7 6 85 .2 7 88 .0 8 92 .2 0 97 .7 1 94 .5 3 92 .6 5 92 .0 7 92 .4 9 11 03 .7 13 05 .8 1.8 052 18 0 . 19 07 .8 10 17 .7 Fa il n V mdl p oe (m 1 k 5-) 65 .1 0 60 .4 1 61 .1 2 65 .1 4 69 .3 9 71 .5 7 83 .3 1 84 .9 1 83 .7 1 82 .6 1 84 .6 1 87 .4 1 89 .4 1 82 .2 2 87 .8 2 84 .5 3 81 .1 4 88 .8 4 89 .1 5 80 .5 7 85 ;2 8 91 .7 0 97 .2 1 93 .9 3 91 .3 5 99 .7 6 90 .1 9 11 01 .4 13 04 .5 15 08 .1 18 0 . 19 07 .7 1 01 17 . Nd oe N. o 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 3 9 4 0 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 4 7 4 8 4 9 5 0 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 5 7 5 8 5 9 6 0 6 1 6 2 6 3 6 4 Dph el (m k) 8599 4.4 8314 9.6 9162 4.5 91 0 9. 6 4 4 14. 4 02 3 19.2 0477 14.9 1823 10.2 2315 15.3 2920 11.0 3662 17.4 3526 13.5 4516 19.4 4630 15.8 5879 12.1 6252 18.0 6750 15.6 7372 12.8 8129 19.9 80 0 0 16.5 9016 23.9 0146 20.0 1412 27 90 17 8 . 25.2 2315 22.4 3951 20.2 4727 28.8 4612 26.0 5646 24.0 6790 23.6 7064 21.9 8467 2 9 S rn l lg aI Vmdl poe (m 1 k 5-) Fa il n Vmdl poe (m 1 k 5-) 11 16 .5 1 22 15 . 13 14 .1 12 . 1 45 15 11 .0 15 19 .3 16 17 .8 17 16 .2 18 14 .4 19 12 .7 10 21 .0 1 03 29 . 11 27 .6 1 28 25 . 13 23 .6 1. 8 21 4 15 20 .2 1 58 27 . 16 25 .5 17 23 .7 1.2 280 1.0 294 1 97 28 . 10 27 .2 1.7 35 1 12 34 .8 1 36 34 . 14 34 .5 15 33 .8 16 30 .9 16 34 .5 16 36 .0 ∞ 29 80 .6 33 90 .9 59 07 .7 69 31 .8 7.5 82 1 96 30 .5 1032 1.5 1.1 23 87 1766 4.5 1825 6.1 1009 9.3 2317 1.3 2. 35 7 2317 6.3 拘 0 3 2 .9 3825 1.1 3766 4.5 3.1 73 87 4032 1.5 4365 4.0 4815 7.2 5398 1.1 5.7 59 07 5.9 83 90 6. 6 2拘 8 6977 6.7 7194 1.1 7534 5.2 8. 叩0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞Q . 以) 1.6 115 12 15 .2 13 14 .1 4 1. 7 12 1 52 11 . 1.9 156 16 18 .1 1.6 178 1 83 15 . 1.3 196 1.1 209 1 11 20 . 1 14 28 . 26 . 1 26 13 24 .4 1. 0 22 4 1.9 246 1 52 27 . 1 69 24 . 1 73 23 . 1.1 288 1.0 293 1 96 28 . 1.7 304 1.6 313 1.5 324 1 32 35 . 14 35 .3 1.4 358 1.1 369 1.5 365 1.7 360 -46- WHOLEM N L P W V T A E T M T M G A H A T E -AE R V L I E O O R P Y 35 1 V (ms p kJ) 7 8 9 口 問勺 寸工 0 0 M O O ヨ ) r 。ωo p 、 O O F.9 S c c l s m r mdl i l uprm l . i . p r a y y c i oes n h pe a J g hil m l c c nc Dse c v iil l “mohdH r "mdlu da ahd u e ncc h sote e i oe s s r das e rn e alrn mdli l sd T osi c円 c ncll s lg oe n h ly w od u sii e h : i l i u. s l da e oga mdl f e i ea(98 ad h fa mdJ in riJ oe o H r l . 16) n l il oe gc in rn l en v Cr i lao C eci n - a p j l n t v etn e lao d crei. ae f iriso rotna 3Db k o c o A lw ecY arft r l oe s u b ne o vol le o h i mdl h l e od li y en a od t. sol eith w v r sneteL Lrsle a hud xs o e e ， ic h V eutd t . eey ieain wih w s r m v d a te nx vr lrto， hc a e o e t h et ieain t smlf te cluain o ry p t trto o ipiy h aclto f a a h a d t v tm t l T e eaen sgsfrte n r e ie a e h r r o in o h al b. eilneo te4 0kma d6 0kmdsotni xsec f h 0 n 5 icniulsa i epce f t f a e o ko orivr i s s xetd o h r m w r f u nee r e sn l. 0 Fgr 1 s o stepo o t v tm rsdiue 0 h w h lt f r e ie eiu al a frtedt s N _9 τ ersdasatrt巴 l o h aa e o _ b eiul fe h s t fs rlcto uigtei t lsmercErh it eoain sn h n i ymti at r ia t m d l i s o n a te tp a d toe a e te o e s h w t h o， n hs f r h f a 3 Divrin a tebto.T esadr i J - neso t h otm h tnad n dvain o te raig P (xldn toe i eito f h edns ecuig hs P a d e) t w i hw asg asadr raig n P， o h c e sin tnad edn s 4 tp o . 2 erro 03sirdcdfo 1 35(o)t 1 55 ro f . ， eue rm . (otm. bto) 3 . 3 Dmdl .2 - oe 4. T ef a slto o 3D sons prubto h i l ouin f ・ lwes etrain n . i s o ni Fg 1 T efu dphrne cre s h w n i. 1 h or et ags ors o dt toeo terslto m p( g 8 We p n o hs f h eouin a F _ ) i . s m a i e te faue ta e e g d f o ts u m r z h etrs ht m r e r m h i fu. ir ge l ted p hrneo 7 - 4 km tesons n h e t ag f 8 1 8 ， h lwes dsrbto i srnl creae t lesrae itiuin s togy orltd o h ufc tcois ( g la. T ebc-r bsn i te etnc F . l) h akac ais n h i wsenP i c f o teBrn Saa tenrh elr a f . r m h eig e t h otci ened t teT s a Saa t巴 suhr n ， r n ， o h a m n e t h otene d ic dn toeb h n leS n aac a erbt n uig hs e i d h u d r， l xui 1 I 5 l g so aoais o aot 1 -.% T e a e Jw nmle f bu . 25. h r CrbenSai as so，u teSoi Sai aiba e s lo lw bt h cta e s i ntrsle_T ePaeoocooei bls . o eovd h hnrzi rgnc et，e t wsenpr o teN r hA e i a Es Ai ， h etr at f h o t m r c ，at sa e Zgo m u t i s a d Suh E r p ae as ars o n a n n ot u o ， r lo 巴 so.T eA d sa dteH m l y sh v n so lw h n e n h i a a a a e o lw aoaisi t sdphrne A tedphrne nmle n h et ag_ t h et ag i ，o e e ，hr x t ag lw n m i 2 - 8km h w v r teee s lreso a o a 97 lsa o l .x2 0 bnahtoemutis i b¥ 1 e . J 5 _ % eet hs onan. T e rgos aog te rde hv b e eh ein ln h igs ae e n x pce t h v so aoaisf o sraew v etd o a e lw nmle r m ufc a e suis ( o d o s a d D i w n k ， 18: lde W o h u e n z e o s i 94 Nknsi a d A d r o ，18; Sesg a d aaih n n e s n 94 utuu n st Nknsi 18) H w v r o rr u s o ste aaih ， 97. o e e ¥ u e l h w h so aoaisol i aiie ae;i nrhrト lw nmle ny n lmtd ra n oter m s Alni a o n te Iead ht so， h o t tatc r u d h cJn o pt te t e nrhrms E s PcfcRs teN r h r I otenot a aii i . h o t e n n da O e n leR dSa a dteGetArcn in c a ‘ h e e ， n h ra fia Rf Vle，l o w i h aec s t tecni i aly.l f h c r I e o h ott a o nns T e epce so aoais a te m d et. h xetd lw nmle t h i 1 oenc igsf f o te otnnsae1tse cai rde a r m h cniet r 1 el r 0 d et salrsligp w r( eF .8 . u o ml eovn o e s i a e g ) Onteohrh n ， eakbyf taoais h te a d rmral a nmle s e s bnahtesal cniet:teC n d a x t eet h tb巴 otnns h a a i n i s e ， G e n a d te Fnocnin sil， hl i d r e l n ， h ensada hed Sbra sil，lda Pnnua te Arcn iein hed nin eisl， h fia s s e ， n Asrla T ef taoaisi tee h l a d utai. h a nmle n hs id aesaea o t1 2 .Nod t c f taoais ra r b u -% i i t a nmle sn s aese bnahBai a dAtrtc d em s r en eet rzl n nacia u o t poal t l w rslto_ Ohr rmral rbby o o eouin te eakbe aoaise s a teoensd o s m m j r nmle X t t h ca ie f o e a o I e tece;teK r l J p ntec，h T n a K r rnhs h u i - a a rnh l o g - e m d c tec a d le Jv tec_ T e f t a e rnh n h aa rnh h a s aoais i tee aes rah aot 2 . T e nmle n hs ra ec bu % h rsligp w ra teeaesi nts bd eovn o e t hs ra s o o a. T eaoaiss o na o eaegnrlyse h nmle h w b v r eeal en i teu p rm n l a ledph d w t a o t n h p e a t e t h ets o n o b u 30 m te tutrlptencagsa o n t s 5 k ; h srcua atr hne r u d h i dph T e lyr 4 8 6 9 km i te tasto et. h ae 7 - 2 n h rniin zn i s o ni F .1b M s o teb c ac oe s h w n i 1. o t f h a k r g bsn w i herbtso aoaisa tedph ais h c xui lw nmle t h et 7 - 4 kmc a g t ftaoais Ti c a g 818 h n e o a nmle. hs h n e s m yb d ei pr 1 teeitneo hg vlc a e u n at 0 h xsec C ih eoi s b S c c a g i as se i teS w v t l s u h h n e s lo en n h - a e y a. 円斗 A 門 A i 36 1 A01BS鎗SlDT 455.R f.RA 0 - HI O E T L . N U E A ∞ {コ ロ日 匡} . 4 Z ω O 5円 N E O G I: CCEJ r ∞ ︹コ ロ円 ∞} J E U E 0 5 円N E O G 1T C(E) F.1 Pto tv leria aitectldtc f l d as N 9 Upr l ii ria ac 山 ei i 0 l r re i edl gn per iae o h a c o . pc，h na edl rr fl g . o al r sus as ina sn r e l l . n c il sus l t r s a t r o u ;l e，hf l cdl ae t fh tan c c o o rl i ria fr h i iro l a n w e n sus t e f eu. srcue0 Sesg a dNknsi(97;h w tutr 1 utuu n aaih 18) o ee， h tasto dphi 1 0 1 0kmi t i vr t rniin et s 2 - 8 e n hr e . l a ， m d lT eooei b t 0 W s e A e i o e h rgnc e s 1 e t m m rc Es Ai， n E r p a o cag t te[ t at sa a d u o e l hne o h a s s rgosτ' rmral srcueaon tsdein. h eakbe tutr rud r e e u 1s phi tewdl dsrbtdso a o ae [ o t s h iey itiue lw n mi r m te n r h m Ida O e n truh Fnoh o t e nin c a ， hog ens cc h ml cl e l su c l a t tea t a回 . T esalsaer o a d ，o h r i r ii to aon teeaesi nts g o ，u l g in rud hs ra s o o o d bt a e r 1l s s l aoaiss e t b rib . h r ia oa c e nmle e m o e e a e T e es l a so a o a y e f o te otesenP i c o lw n m l b t r m h nrhatr a f t l ci Atrtc，lhuhteaoaisudrte i nacia atog h nmle ne h m d PcfcO e nael sr i l ( eF . 8 ， o・ aii c a r e e a e s i b bt s lb e g tm.Wetu f dte a e cl aoais nt o) hs i h l g sae nmle i h n r e 4 0 0 WHOLEM N L P W V T A E T M T M G A H A T E -AE R V L I E O O R P Y 37 1 • .dts仰か .o /a/l dt 色~...... 7 B 1~8 k m ? 令+ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ 十 1 III1 命+ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++1 1 川 I r~n("\"l' 日比山・・・・~... . . <令 φ+令令 +- ++ +、. 俳+ 令+ i ++ + ..... .ゃ .. .. ..+ .... .. . + ー . . . ， . + . ， φ++~+. 令令令令守令令令令・・・・・・・... 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NU I T . / t l h- d .由 l # 5.t s 5' a 1O 23 回 l3 k l5 m t Fs ・ . at 29 ・. 1 9 -. 95 95 . 十 ++ ./ t l55 . t .， l が h- d .ぬ s ' a 000 1 . 9 295側 . 1 α 〉 2 6 -2O k' 56 9O m e . . . 命令+令命令令令+令噌て......令司，..，砂++++令令令"'++"'+++'1伊....・・・・・-・・・・・・令守令守今令令令+令令令' F t-. -. - . o 29 19 95 s + + 95 . + 0 0 19 . ' 0 29S側 . l c ，: ) Fg1 ( t u ) i.1 ∞n泊 e . d - 0 5 WHOLEM N L P W V T A E T M TOMOGRAPHY A T E .AE R V L / E 3 1 9 p t e i gnrlcicdst tem d lgvnb a t m n eea onie o h o e ie y Mrli a d D i w n k (96 s o n i Dioel n z e o s i 18) h w n ze te w n k a d W o h u e (97， h r r ¥吋 a o s i n o d o s 18) w o e i i h r o i epnin o l e l htrgniy o a m n c xaso f a r eeoeet f ta . ntc P w v vlcte f o teI Cdt stWe oie . a e eoiis r m h S aa e hr ta teeaef taoaisaogteetn ee ht hr r a nmle ln h xes so o te get sbuto sas sc a te in f h ra udcin lb uh s h eia n T n a K r n d c Jv， Suh Amrc， a d o g - e r a e ， aa ot eia JpnIuS b O ebnahteSuhA mrc aa-z l s n eet h ot a. sa i as pitd ot b H g r a d Catn lb s lo one u y a e n lyo (99. T e e aoais ae osre f o te 18) h s nmle r bevd r m h tasto z n d w t tsdph sgetn te rniin o e o n o h et ，ugsig h i x tne f h oe a t lb eertos I 1 e sec o telwr m n esa pntain (rae a dJ r a ‘ 18) T esalsaersCegr n o d n 94. h ml cl eo s ra s eea y o d se 1 lto bnah出 eeaesi gnrl g o (e uin eet Fg 8. i， c ) Fgr 1 ds o stelyr2 6 - 9 0km ut iue 1 h w h ae 5 6 2 0 js a o eIeC B T r em j rso aoaisae b v h M . h e a o lw nmle r dsicie bnahteEs PcfcRs， h sb itntv， eet h at aii ie te udcinrgo i suhelPcfc a df o te uto ein n otws aii， n r m h suhr lda O e n 1 suhetr Arc. o1en nin c a 0 otwsen fia T e a t ae icuig te Brn Sa a d h r i ra nJ dn h eig e n cc s Aak i as so.T el g fta o a ybl lsa s lo lw h a 巴 a n m l et r e s f o nrhr E r p t teUie Sae、 x t r m oten u o e o h ntd tts is truh te nrhr P i c Atrtc i as hog h oten a f . nacia s lo ci f t T e efaue aei g o arenn wt a. h s etrs r n o d geiet ih s tem d lo Dz w n k (94 a dtem d lo h o e f . o s i 1 8) n h o e f i e l z e o s i 1 8) rsne n M r 1 a d D i w n k (96 peetd i o ei n Gadn e a (97. irii t . 18) l tasto lyr i ，lwa teS u hPcfca d rniin ae，e so t h o t aii n . . s W s e Ersa a df ta S u hA e i aa d e t m uai‘ n a t o t m r c n i atpdlrgo o lew s e P i c Ti t nioa ein f h e t m a f . hs s ci n m l ie r m ptencicdst te1 2a o a ygvnf o atr onie o h = e 1 a . t巴 f e si to seta y atr e a (92， h r ocl in pcr b Mses t l 18) a d tesraew v ssuissc a Nknsi n h ufc a e tde uh s aaih a dA d r o (94， o d o s a d D i w n n n e s n 18) W o h u e n z e o s (94 a d T n m t (98. 1 sol b k 18) n a i o o 18) t hud e i nldla o ra p o c "ok a teee a d oe ht u p r a h los t h vn n " o d dge aoais i a eul wih， hl d ere nmle n n qa egt wie lewih lsetrl o haiyo teee-e h egt i niey r evl n h vnde ge aoaisfrlef eoclaino srae re nmle o h r silto r ufc e nml ut e w v apoc. T e 1 2 a o a y m s b a a e prah h = m r dsic a o a yla teajcn o ddo e itnt n m l hn h daet d e ge a o a i s T e a a o a y eet te at re n m l e . h f t n m l bnah h Es s i PcfcRs o orm d li nt rlal a t s aii ie f u o e s o eibe t h d p h(e Fg 8) bttesraew v suyo e t se i. b，u h ufc a e td f Sesg a dNknsi 18)as idctssc utuu n aaih (97 lo niae uh s af taoay Ti f ta o a yetnst te a nml. hs a n m l xed o h s lwr m n l a dph u t 13 km w i h oe a t e t ets p o 45 ， hc s e s t b ribeacrigt telresae e m o e e al codn o h ag cl 1 0 m rslto m pa dph >8 0k . eouin a t ets F . 1) i A tedphrne1 0 - 4 5 km( g lc， t h et ag 2 3 1 3 trelresaeso aoaise s bnahte he ag cl lw nmle x t eet h i m d l o tePcfcPae leI d -Asrla i d e f h aii lt， h n o utai Pae a d te Arcn P t T e lwr m n l lt n h fia l e h oe a t e a. I . bnah te Es Pcfc Rs i gnrl fs eet h at aii ie s eea y at Hwvr o e e ，出巴 rgo eet ohr n d oenc einbnah te u cai rde h v n sseai aoais T egoa igs a e o ytmtc nmle. h lbl T B E A L 3 S w s p t b i sne h arToe o l ft tao a ge ip e h e l n s e u a o i a 1e hs f h i iri r inn a n e s o e rrtn c y. r e r etn e v s rts Le ar y ie nx d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 Dph els r g (r a e1n n t) 0 2 - 9 2- 7 9 8 7-1 8 4 8 18 3 4-2 8 28 4 3-3 8 38 7 4-4 & 48 2 7-6 9 69 0 2-8 0 8 -9 0 9 0 1 9110 9-23 10-45 2313 13-68 4518 18-90 6816 16-23 9025 25-56 2326 26-90 5620 S w s plr t n % l n se 臼 b i () o e r ao M. i n - .1( 1 7 ) 38 ー .0 7 4 ~4 .1 38 ( 1 9)ー .5 5 - . 6 - .9 4 5 ( 21 2 0) 4 - .1 -~2) 2 6 ( l.3 一12 ( 1 1 .8 -. 2 6 0)- .0 ( 07 1 6 一 .5 9 7)- .卯( . 9 16 - 7 ) 02 - .5 ( . 3 14 - 8 ) 2 00 ー . 3 ( 05 1 76 -.7 9)- .2 ( 01 1 5 ー .1 1 9) 5)-.8 ( 08 083ー .7 5)- 9 ( 09 0 7 ー .3 .1 6)-.8 ( 07 085ー .7 4)-.1 ( 0 0 077ー . 0 -. 6 - . 9 0 8 ( 00 6 5) 0.99~( 03 - .3 6) Mx a. 27 ( 2 ) .91 1 9 .9 3 4 ( 36 . 01 2 5 . ) 38 ( 9 ) . 91 2 2 .0 26 ( 2 ) .51 1 0 .5 1 8(0) . 31 0 7 .3 1 0 (9) . 5 04 8 .4 1 1 (9) . 3 01 7 .4 1 8 (6) . 9 09 1 .4 1 5 (6) . 9 06 1 .8 1 5 (8) . 9 05 1 .1 1 3 (6) . 1 08 2 .6 1 2 (5) . 4 06 0 .8 04 (45 .1 0 2 8 .) 0 8 (43 . 70 9 7 . ) 05 (5) .7 05 9 .4 01 (5) .7 09 9 .4 r. .s m. 08 (2) .1 07 5 .8 0 8 (3) . 000 6 .8 0 0 (3) . 5 02 7 .5 05 (∞) . 50 5 . 3 .8 04 4 .8 0 1(2) 06 (1) .5 09 3 .6 08 (24 .00 1 3 .) 02 (1) .1 08 3 .1 01 (1) .3 08 3 .3 0 6 (1) . 5 06 2 .7 0 4 (1) . 3 04 2 .7 0 2 (1) . 5 04 2 .0 0 0 (1) . 603 2 .3 00 (1) .2 03 2 .1 1 04( 6 . 90 3 2 .) 08 (1) .3 09 2 .1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 U に 3 2 0 1IOH T I 1 NU n A . . GCPl ..oe 5. N 20 S< 121 L. . . : x 1 FS -. . ^T 12/ " Sl 2 1 Ul . . 0 FS -. . ^T 20/ " Fg 1 V t a c s s t no t sons prubto (pe)ad出ecekror r o t n( wr aogt g a c c i 2 e i l r s e i C h lwes etrain upr n . . rc o co e hcebad e l i l e) ln h r t i l suo o e e re mnevls i n t h e. oe oiin ( v ef lruh aa ad ot Arc d a n nt m p nt c t .D p h c e ih hog Jpn n suh fia r w o h a i h c e e t s l wt 5 kitra ig c n t lt Pl psto o e e nr a l g a c c igvna t tplt h r t i l s ie t h o e. e e re e f ∞ 5 2 WI I OLE A T E . VE M N L pW TRA E T M TOMO R P Y V L I E C A H i ^ 3 2 1 S以 1 1 L C .. 2 F T- 21 A 1.. S . a.α~ 2 . .1 0 F T“20. ^ .r S f.1 Vla cs slna n I G Uo Mxc adI TnaNwH r e tn.S F.1 f oe e l a o . i 3 eil rs ei l g h u f eio n h og-e e i s rc e i 2 o lr x a t n g . rc o co o e e b d eh e g r h pnis - 3 5 - 32 2 H.INOUEET^し T e m n m m t m x m m ad l r ふ h iiu. h a i u n h . e e m vle o t prubtosi ec l e a lt aus f h etrain n ah a r r ie e y e sd i Tbe3 T er . prubto il g i t n al . h . s elrains a e n h m. r e upr atea dt erae wt dphd w t pe mnl， n idcess ih et o n o 16-23k .ad aanicesstwrst 9025 m n gi nrae oad h e CM.Ti ted are w l wt t r u o B hs rn ges e ih h e l f l e sl 4 rs Diwnk (9 ) T e a e rm prubto zeosi 18 . h l g t .ふ etrain o 075 ii t uprmnl l e 7-4 k f .0%s n h pe ate a r 818 m e y s o n n i 1 . h s a e vl巴 022 si h w i F . 1 T e m ls au .0%i n g a 1t t l e o 16-23 h a r f 9025 kmi telwrmnl. e y n h oe ate T em x m m aslt vle o t prubh a i u boue aus f h etra e t n i t dphrne 6980k .16-23 i s n h et ags 2-0 m 9025 o e km ad 26-90 km ae 1 5 ，07% ad n 5620 r . % .9 n 4 09忠 r p t e .l tem d lo Diwnk .9 e e i l n h o e f zeosi scvy e m. (94， h m n m mr . prubto apa18) t i i u . s etrain per ig tt dph f 00 itre ie a s a n a h et o 20 kms he tms s m1 e 1 a toe t 7 km n C B H w v ror oe s hs a 60 ad M . o e e ，u mdl r de nts o sc al g d f e e T el g os o h w uh a e i e n . h a e r frc apiue i t mdlo Diwnk (94 a mltds n h oe f zeosi 18) t e 60 km a d CMB sol b d e prl t a 7 n hud e u aty o budr e e o t epnin wt t onay f c f h xaso ih h ft e e Lgnr p y r a . eede o n n l lois Fgrs1 a d1 s o tev t a c s s ・ iue 2 n 3 h w h e i l r s e rc o c t n o te a t T etpf u s( g 1aad i s f h m n e h o i r F. 2 n o 1 . ge i 1a dslyt sons prubtosfo t 3) ipa h lwes etrain rm h e e ne h r t i l wuh e e re sraet t巴 CMBudrt g a c c ， lc ufc o h iidctdb tet c c c i t m pgvni s niae y h h k i l n h a ie n i re e t prin f1 c e Prubtosgetrta h oto o h o . etrain rae hn e e r 土 . %a c p d T ebto f u s( g 1b 1 2 r l p . h o1m i r F . 2 e ie ge i a d1b a t cekror rslto m p f n 3) r h hcebad eouin a s o e e r Jc r ht ra prubtoso 土2 abako awieae etrain f 鬼 os e . z ivle 4 4 2b c ;wihst mdl s e novs X X l k hc i h idei o t ptenbtentetpa dt bto o f h atr ewe h o n h otm f e e F .8 i . g s l t tp pr o F . 1a adpig f t n h o a1 f i 2， ipn a e g 5 n h pe ate x aoayo u t 1 %i teuprmnl e nml f p o . tnig o n a d rm h Jpn rnhs l r edn d w w r fo te aa tec ic a y el e s n Ietnst a et o 10 km eet t e .t xed o dph f 00 bnah h e e tcato Cua T ea o a yia o t20 a os f rn. h n m l s b u 00 s kmln fo t Jpnt n ;t dpagei og rm h aa r c h i nl s e eh e e 2 - 0 fo t srae i g o areetwt 5 3 0 rm h ufc，n o d gemn ih o tedp ageo t Wdt-eif .n.T e h i nl f h aaiBnofz e h e rslto i tsp tapast b qiego eouin n h a per o e ut od i r s acrig t F . 1 . T ef t aoay tu， codn o i 2 g b h a nml， hs srn y sget t sbutn P i c P t tog ugss h udcig a f l e 1 e ci a 5 pntaigi ot lwrmnl， hc i a 0 eertn n h oe ate wih 5 1 t e pitdot nt Plm tmgah bnah h one u i h -ie oorpy eel t e e JpnIlnsb Kriae a ( 8 .百1 eia aa sad y any t 1 1 8 . 9) e 5 r 酬 1 J g， so a o a y aoe ls dpig f l a e )w n m l bv h ipn a r i S e a o a y afauec m o l se i t bcac n m l 、 etr o m n y en n h akr bsn o teWsen P i c T esalw ft ais f h etr a f . h hlo a ci s e eh a o a yna t Jpnt n iudranb a n m l er h aa r c s neli y n ecpinlso aoay xetoa lw nml. Fgr 1 sosaohrs t n cosn t iue 3 hw nte e i rsig h co e T n atec，ufo Mxc， n Arc.M s o g rnh Gl f eio a d fia o t rmral i t srcue bnah te T n a eakbe s h tutr eet h o g e t n .H r a oe s t dpigf ta o a y r c e e 1 x t h ipn a n m l eh s is e s o u t 2 etnigd w w r fo teT n a f p o % xedn o n a d rm h o g a t n . h dpages osset iht to 出巴 r c T 巴 i nl icnitn wt h f eh Wdt-eif .n.Ir ce adpho aot aaiBnof oe t e ls et f bu z aJ 10 kmo m r bnaht N wHbie.As 00 r o e eet h e erds lo e rmral i a etnie so a o a yaoe eakbe s n xesv， lw n m l bv tedpigf taoay Teei alt so h ipn a nml. hr s il lw s le 1 a o a y vran y h ft n m yt h tec， n m l oeli b t a a o a a te rnh es afauea ose a t Jpnt n .Frhr etr l en t h aa r c ute s e eh oenadteei a ecpinlso a o a y cawr hr s n xetoa lw n m l de i temnl a dph 10-00kmbep n h ate 1 ets 0020 e nah h c s r f cai i a s uh s oi1 et t l t o oenc s n sc a Scey e ue ld Ilnsa dte uuiI a s Aite rmra sad n h Tba s n . rohr eakld b srcuei tss t nlsbnahFoia l lutr n r e i i eet lrd， e u co e w e 巴 a v t a y etnig ft a o a y o hr e i l xedn a n m l f rcl s . is o 23 051 % e s a dph fo 69km t 25 .- 0 x t t ets rm 2 k .Tu a o a yj t cicds t t Swv m rs n m l u onie o h -ae s e v o t a o a y fud b G a d ( 8 . Hs e c y n m l on y r n 1 7 i li 9) a r u s o s l f1 bde o aot 1 t 1 e l h w h a ois f bu 鬼 h st e s etn f o t dpho 70kmt t dee xed r m h el f 0 e o h epr e m upr i s l i i h a l i， 70. . We spot h i t n i n y s 10 k m s as r u a dhv fudt 1teaoayetns e l n ae on h. h nml xed st a dee.A lre so aoayetnigd w t epr ag，lw nml xedn o n o t 80kmbnaht GetArcnRf Vle i 0 eet h ra fia i aly s e a ose i tss t n Atog terslig l en n r e i . lhuh h eovn s u co e m p w ri w a aon t rgo， h dphl i o e s e k rud h ein t et i t e ivr c a s ey l r e. 3. Vrac mpig . aine apn 5 l adto t t cekror rslto，h n diin o h hcebad eouin t e e 1 r i i t o t slto i t t b c cltn e a l y f h ouin s e e y a uaig lbi e sd . i t apo m t vracs T nidpnet s s o prx a e aine. e needn e f gusa nieipthv be ivre a dte asin os nu ae en netd n h vrac o t slto ietmtdacrigt aine f h ouins siae codn o e en () T e sadr dvain o te ipt q. 3 . h tnad eito f h nu 3 niei s t b tes m a i t er ldt os s e o e h a e s n h e aa t a i 1 3 . . 0 r ivrin . ，， 0 ad1 s o i，， n e neso， e 0 . n . f P P a d P raig， e e i l T esadr dvain o edns r p t e . h tnad eito f scvy t r u a f a r i a sol b coet t t h e l n i l e d l hud e ls o h e stl n sus a E U 4 A WHO EM N L I W V T A E T M T M G A H l A T E' A E R V L 1 E O O R P Y . . 3 2 3 0 国 防担 一山 O F .1 Vrac m p r l dl s N.9gvnfo gusa n s i u T e orsodn r ouinm p adsons i 4 aine a s o h aa e o g . r e l ie rm asin o e n l h crepnig elto a s n lwes i p. S a o a y a sa soni F s 8 n 1， s c v y S e rl ccsi i t l sadr dvaino prubtos n m l m p r hw n i . ad 1 r p l e . i o h il n c e h lnad eito f etrain e g eeil z e re d a s e 陶- 5 5 - 34 2 H I O E Tし .NUEA s 門ポ51 d f 10 -1 k 23 ~35 m 。 s 門、# f d 51 o 2邸-20 k 5 90 m 。 F.1 ( n n d i 4 ctu) g oie. 。 5 6 WIL M N L PWVT A E T M T M G A H IOE A T E .AE R V L I E O O R P Y 35 2 o teraige o ，form d lprmtrz f h edn r r i u o e aaeeia rs . t ns opeet rpeett t e a h H w i icmlt， ersn h r E t o o o e u r. e n sus g ee，t fa r i a potdi F .1bhv vr h il e d l lte n i 0 ae l g sadr dvaino 1 5s o Praig， a e tnad eito f. rr 2 f r edns wih i 4 ( 1 503 tms a l g a l hc s . = . /.) ie s a e s h 2 2 r e asmdv u T edsrpnyi depoal sue a e h iceac s u rbby l. t bt t icmlt prmtrzto a dt o oh h nopee aaeeiain n h e e w o gasmto o t raige o .Tkn r n supin n h edn r r aig e rs 1e t i t t s topsiitsi oa∞n tevrac h e w osb i n c u . h aine e gvnfo te asin os iptirsae b ie rm h gusa nie nu s ecld y e af t o 4 ，o血aiio t s m mgiue a o f . s tts f h a e antd cr 2 a te aineo t fa r i a . s h vrac f h il e d l e n sus 1 n T d c st vrac m p ， o eCO1 l t o i u h aine a s s m l Qe s ss e a dsre.O f ils u o hs en hand r eevd u fa o t n a be otie e n li b sakn t t sltosτevrac m p y tcig h e ouin.b aine a s e n s o nhr a ， nt o e a d bsdo a h w ee r o h 血 rh n ，ae n e e ， e slto f oedt s.Teeoe t potd ouin o n aa e hrfr h lte r t vle o t sadt dvain nt m p ms aus f h tnad eito o h a s ut e e o e h u ， . b sae b a a o o aot /i i ， e r e cld y f t f bu 1 { . t t e cr vrac sol b m c s ae . g e1 sos aine hud e u h m lr F u 4 hw 1 .ir t apoiaesadr dvain o t s u h prxmt tnad eitos f h o e e l t ncluae f t dt s o N.9a t i acltd o h aa e f o o r e t th e s m dphrne a t s i F s 8 n 1 T e a e et ags s h e n i . ad 1 h o g . gospteni t s m a t to t rslto rs atr s h a e s h f h eouin e a e m p ，e aes f ml sadr dvainc r a s i ，ra o sal tnad eito o e . . r1 . sodt toersle w lT e ouinsacpn o hs eovd e h slto i cu r e i t upr mnl bnah t cru a n h pe ate eet h icm t e e P i c SuhAi adErp.adiacrt a f ， ot sa n uoe n ncuae ci bnaht oen.l t rgoso i e s，. eet h caS n h ein I n r t i e e te e t a a rsle wl t sadr dvain h r s eovd e. h tnad eitos e e l e gvn o t m p a aot 0205. T u ， ie n h a s r bu .-.% h s e e toeo tef a s u o cnb etmtd t hs f h i I o t n a e siae o n li 1 aot00-.% wihi s a eog a c m bu .502，hc s m 1 nuh s o i si h il ouin e n prdwt t pru a o nt fa slto ae ih h et巾 t n e s o ni F .1 hw n i 1 g . Aohr a o m p i gt vrac d t b nte w y f a p n h aine i r u e sit ni t c c a t vracso t t s u i s o a u t h aine f h e o o lle e e n l t n gvnfo tet r1dt s sd e l a i s ie rm h e e aa e i c y n o n a t rt; eapei s o ni F .1 Ti poie，na xml s h w n i 5 hs rvds i g . 1t sne am r rascetmt bcuetigvn es， o e ei i siae eas i s ie ntfo aicl os ht rmle e nie n o rm rfi nie u fo h r l os o tia a t d a H w v r ii ufruaet ttei h a . o e e， s nolnt h h n e t t a touto o t fs odrsotns cue rdcin f h it re mohes ass e r 1t 1 1 e urasc 1 s a vracst t prino neiia y m 1 ainea h oto f 吋 J 8j 7 69k 2 m 01 . 。 02 . 0 000 F 1 V i c mpge f mt l suo oae f ml t das iT l 1Sef h ccsiit l i 5 a a e a in r h e o ln bid r h e a e n a e.i ot il nce h g . rn . v o e n lI s tn o e n t t s b e re das e s n r dii optbis l d d eao fcuao. a a vln rrtn ， 円 r i D 36 2 H I O E A. . N U ET L sas d a sc a t uprmnl bnaht pre a . uh s h pe ate eet h t e e e oen.Teeoe t vrac cno b cm cas hrfr， h aine ant e oprdfo rgo t rgo i tsmp Ol t ae rm ein o ein n h a. ny h i e vrac a t prino audn dt isni aine t h oto f bnat aas iie gf cn，印d t f c o o aot 1 行 o h at h r t n f bu /百 ft e ai e sadr dvain g e t t o. h etmtd tnad eito i s h f t siae v a e sons prubto.T el t crepnst lwes etrain h a e orsod o tr t sadr dvain etmtd fo t t h tnad eito siae rm h e e e n dt ss ih asinnie nu l f tw s aa e wt gusa os ipt n a ， e e t . c e afrareeti toevle btenF s 1 a gemn n hs aus ewe i . 4 i g a d1 f t aesw lr o e n 5 o h ra e e l d r e l sv. 4 Dsuso adcnlso . icsin n ocuin T e l a Ptm tmgahc nesos o h g b -ie oorpi ivrin c m ol prbet tssuy r toegvnb Diwn aal o h td a hs ie y zeoi e s (94 ad Hgr ad Catn ( 8 . T e k 18) n ae n lyo 1 9 h i 9) l g td f e ebtent s ador i or a e i e n ewe h e n us s u rs frc e rcntuto o bt t uprad t lwr eosrcin f oh h pe n h oe ' e e mnl uigbt salwadde eet ad ate sn oh hlo n ep vns n bt na a d i a pae. oh er n d t t hss We o t fs tm sn f h it ie r er hv rvae 出 e pe fw ude klmtr o ae eeld upr e hnrd ioees f ter n euigPwvso ag b sl A h n t sn -ae n l a ce s al o l a. e pitdotb t peiu atos t ueo one u y h rvos uhr， h s f e sot dsac pae i sreh1 dbos b hr itne hss s onwa uiu e cue o psil pae m i n f a o . T e as f osbe hs i d 1 i l n seicis h r u o orivrin mgt b bae i ts e l f u neso ih e isd n h st i s s O t ohrhn ，h rm t o ， wih e e n h te ad t i e h d i hc n. e e n 1e upr mnl a r l s ae d l wt a h pe ate n n i r e t ih s oae a saina dsuc 佃 oai i l dbos1 tto n ore ml民 sa o uiu 0 s tes m e1n F r o iid f u t etmt h a e xet o n wts i i l o siae . fct e h e e q n t i l Cnitny o or i e f c u t a v y ossec f u t r f1 a i t e . r u wt toefo idpnetdt ssf e l ih hs rm needn aa e o st t r teuprmnl (g， otge， 96 G a d h pe ate e. Mnanr 18; r n ， . 18;Sesg adNknsi 18)i p e t 97 utuu n aaih，97 mIs h i e aporaeeso orapoc. prpitns f u prah Diwnk (94 prreeie t lwr zeos 18) aantrzd h oe . i e mnl wt t lw re hrois T rpeet ate ih h o odr amnc. o ersn e sc af e s l htrgniya 泊 orsuy uh i r c e eeoeet s n a u td， hwvr ehroi epninwudb Is oee，由 amnc xaso ol e e s aeut ta t ueo l a b i，sf a w dqae hn h s f o l a s a a s e e c s r i e t b d w v dlyt e A polmo n r h o y a e ea i s vt e m. rbe f Oiwnk (94 it asneo m p i g e zeosi 18)s h bec f a p n r ト e l a l y tog t vracso t hroi e b i ，huh h aine f h amnc x it e e pninc f c n a tbltdaddsusd aso o f i t r auae n icse eies e q a til T e rbeso H g r n Catn u Iavy h polm f a e a d lyo i te. (99 m ya ob pitdo .( Noi r i 1 8) a l e one u 1 s t ) tao etn 崎 o rlcto adbcpoeto hsbe dn. f eoain n akrjcin a en oe ( Teei n vrac mp ( T erslto 2 hr s o aine a. 3 h eouin )) aayi i i u i e .HgradCatn(99 nlsss n f c n ae n lyo 18) sfit aotd t hrzna bok cniuain o dpe h oiotl lc ofgrto f e nal eulae d i o wihwudb b t ery qa ra i s n hc ol e e e vi tr ta o s bcueor oe cue a eteey hn u . eas u mdl asd n xrml r so cnegnea plrrgosi t bcpo lw ovrec t oa ein n h akre j t n T e ifrne f akrjcintcnqe e i . h dfeec o bcpoeto ehiu co a w la t lu b ro i r i spoal de s e s h 1 m e f t a o rbby os l e etn nta e t gospoet o t s u o T e o f c h rs rpry f h o t n h ft e e li. l g t rbe i t s d s f zeosi 18) a e polm n h t i o Diwnk (94 rs e ue ad H g r ad Catl (99 i t lc o n a e n lyo 18) s h ak f 1 e itnie a l i o t riit o t s u nesv n y s f h ealy f h o as e lbi e l t n， hc io piayiprac i ayfl i s wihs f rmr motne n n id o e o ivrepolm. f nes rbes Atog a tres d s tu ivles m lhuh 1 he t i hs nov o e 1 ue e n st d f u i 、or o c ms nt fa r u s T e i i l e u c n e io h il e l . h fcts t e r u so ivrinf t lwrmnl a h e e l f neso o h oe ate r r st r e e s i ri t lws o e . H w v r t r r i l n h oet r r o e e h ea ma e ds e e a om n dsrpnis A dsusdb H g r I a y iceace. s icse y a e s a dCatn(99， intc a a peetw y n lyo 1 8) i s o 1 r t rsn h t e t dsrpnisa s adwiht tet t h iceace r e n hc e h r h e i l l u. Weh p ta orr u it b t o e ht u e l s h e . st e s We on othr to rben o t v t a pit u ee w polrs n h e i l e rc s u u .F s， o esseai tedi t p t t c r i t s m ytmtc rn n h l rle r e o o r i a aantdsac hs t rmie f f e d 1 gis itne a s l eand o su s i l r ec eeti t f a r u ， huhiihde ah vn n h i 1 e l tog t s idn e n st i t sproe p t gvni F .1 Scn ， n h uepsd l s ie n i 0 eod e o g . tev t a ruhesprmtrUv hsntbe h e i l ogns aaee rc a o en uiul cntand b t c s v1ain A nqey osrie y h r s a dto. e o i salrv t a sotns ta oew aotd mle e i l mohes hn n e dpe rc poie nihr e e nr os r u s Ti m y rvds ete b t o wre e l . hs a tr st ipyt tt v t a htrgniy f h mnl ml h h e i l eeoeet o t ate a e rc e r a v t orsote 1 Dmdlv i m r e t e o u mohd - oe a e o e li rs rpdy hn loe b or aaeeiain sg ail ta alwd y u prmtrzto. ugsig h ptnil o e o t I CPtm dt etn te oeta p w r f h S e ie aa s t rsle f e s u u o t mnl. hr e o eov a i r t c r f h ate Tee t n rte e a an m e o eet i t sbuto zns r e u b r f vns n h udcin oe e ntue i tss d Sn沼 t l g ta o ae o sd n h t y ic h a e n m i i u. e rs 1s a epce aon t upr fw hnrd r xetd rud h pe e ude e e klmtr bnah t sbuto zns t s ioe巴s eet h udcin oe， h e e e aeshv t b rcntutdwt m r f e ra ae o e eosrce ih o e i l ny smld a s I trs f optto， e s o ape b i n em o cmuain t ue f s. h f e bok a d l g n m e o dt i nt i r lcs n a e u b r f aa s o n rr ipatc o rcn l g sproptr. A・ mrcia n eet a e uecmues I 1 r tog t sedo cnegnei t bcpo huh h pe f ovrec n h akre e j t nsol b so f a i l srpe m d . e i hud e lw o f e anld o e co r ny l t r a s m tcnqe t oecm i sc a h e r o e ehius o vroet uh s e e ，也 司 に 口 U δ WHOlEM N L P W V T A E T M T M G A H A T E .AE R V l 1 E O O R P Y 37 2 L ・ n i . . 1 4 apn h oe a l . ec s. 8 e ne Di帆 o k A M ， 9 .Mpigt lwrm t .J Go p s R . 8 52-9乙 h . e . 9 9955 y s : Diwnk.A M adG b t F，1 6 T eee o sal zeosi . . n i e . . 9 . h fc f ml lr 7 ft a h i lpr r t n ntv tn adar-xmns e c 巳 t b i so rc ie n pra uao al rs eeaia R lno I c r t n f eiil Gohs J . srn i f h o e i s o Jpcy cpy. . Ato. o c r c o r l li. S . 4 71. o ，4 -6 c : . . L 8 : m l Diwnk.A恥 adAdro.D . 1 3 Tac t e ad zcosi .1 n nesn . . 9 . rv i s n s l nc r l n f Pwvs1 l e i i d t c .J li o e i s o a o r c o r ae o e s s c i a e . 1 lem sns Gohs R . 8 39-34 epy. e . 8 2531. s : H 8 D ピwnk.A M adW o h u eJ . 1 7 Goa iae z osi . . n o d o s，. ， 9 . lbl mgs i ic 6 O t E t sI e o，c n .2 :3-8 f h a h n r rS e e 3 74. c r ' ti J 7 Diwnk. AM. Hgr BH ad OCne. R. 1 1 zcosi .. ae， . . n 'onl .. 9 . L g s l h c g e i i t lwr ate JGohs a e c e e r c i e n h oe mnl.. epy. r-a tonts e R. 8 2925 e. 2 3-5. s : l oai 1 F n i J . 1 0 W J psds c s celnin o i r k n . ， 9 . e -oe t h t Xesos f l al. N 7 psdl e polm.JMt.A a A p 3 6276 oe i a rbcs . ah n. p l 1 8-1. nr l . : . ， 8 G r n，. L X adWohuc JH 1 7 T redmn i d i D.i . n odos. . 9 . hc-ieai s n s u u o I E r fo s i i i fesli a l c r f h at rm p l n n r-cl ol r t e e h llg eoia le 5 tns c a トa r， 2 4541 i p l . l u 3 : 0-1. o er G b t P . 1 2 I r i mtosf trcdmninJ i e . . C 9 . t a v ehd o he-iesoa l r F. 7 e t e ， r rcntuloso ado e fo p j t n J Ter eosTcIn f n b c rm r e i s . ho. jl oco. ，: . Do 3 1517 il 6 0-1. Gad 5P 1 7 Tmgahci e i f s a v o l rn. .・9 . oorpi n r o o h r e c Y .8 vsn r e li bnaht N n Aeia Pt J Gohs R . 9 eel h o h mrcn le . epy. e ， 2 e a. s : 105100 46-49. 8 e Hgr BH a d Catn RW. 1 9 Cntans 0 t ae， .. n lyo. .. 9 . osrit 0 h s u u o mnl cneto u n s s co e a o . t c r f ate ovcin s g e m b r t n rte i ii svis f w mdl. ad I g i I W R P t r( i r， 1 0 oes n h e d n .. ei E t ) e o. : le d o Mnl Cneto.G r o ad Bec，N w Yr ( ate ovcin o d n n rah e ok i n ps. rs e) H r a， . 18.IaeRcntuto fo P j t n e m o G T 90 mg eosrcin rm r e i s oco: T e Fnaell o Cmueie T m g a h . h udmnas r optrzd o o r p y . Aaei P s， e Yr， 1 p cdmc r s N w ok 36 p e H r a ， . Ln， . ad Rwad SW， 9 . A T e m n G T et A n oln， .. 1 3 R : 7 pt e Mteaisada l a o ， r o o t mteai ahmtc n p i t n a e r n h ahmtpcis c fudtos n o l a l a l yt rldt o t a onain ad n h p i b i o e aa f h l e pcit a e r o 2 AgbacRcntuto Tcnqe.J T e.B l 4， Ieri eosrcin ehius . ho i 13. -2 Hri，. uhrW ，agr，，odn D W adLbel ern E Tce， .TgatJ Gro. . . n odl. . . J 1 8 Etmlo o s f ef u Ptv tn.B l . 9 . siaIn f u a o s re ie u . L 6 . ， rc c al rs l Si o S .A . 5 17-9 es l o m ，8 232 1 m. c : . Hsee.M R adSel E， 9 . Mtoso cnuae etns . . n lf. . 1 2 ehd f ojgt ie 5 sm s l r gains f s v g iers t s J R . Nt B . rdel o o i I a y e . . e a. u r ln n : Sad，9 4946 tn. 4 0-3. H n a S adTnml，. 1 7 Rgoa 3Dhtrgni o d ， n aioo T 9 . einl - eeoee・ . . 8 tsb wvfr i e i - p c i t t A a i a a i y aeom n r o a l a o o h l n c r . e vsnpitn e lt e Gohs J .Alo.S . 9 7773 epy. . Srn o ，1 3-5. R c : H 8 Hmhes E，Caln . .ad Hgr B . 1 4 A upry， . lyo、R W n ae. . . 9 . tmgahciaeo mnl s u u bnahsuhr oorpi mg f ate t c r eet oten rte Ci af lo 町 scesv bsCin a g r l m a o t d i I o e ucsie ielo l o i h d p e n n u (96 o te u eo a irglryszd d吋 so 1 8) r h s f n reual ie i in w t d n egisa tes b u t o zns i h e s rd t h u d c i n oe. W e r s n e i t sp p rIem l o o w o e peetd n h a e h e h d f h l i m n l tae l m ivrinw i hweh v dvl a t e rvl i e neso h c a e eeo e . a d t epril rsl fi apiain t pd l 1 h ata 巴 uto t plcto o s t e vs a o n o I Cdl. T e rsl fr te h at m u l f S aa h eut o h l w rm n l i s lrt tep e i u suisi o e a t e s i a o h r v o s lde n 凶 t e lnet w v l n t s W e h w v r rsle h ogs a e e g h . ， o e e . eovd t efnrsrcueo b t teu p ra dtel w r h ie tutr f o h h p e n h o e m n l w i hs o l p o i e a p e i f r a i n a l e h c h u d rvd m l nomto f r u d r t n i g t e Erhs goa tcois o n e s a d n h al' lbl etnc， s c a sa pntain il te l w r m n l . u h s lb eerto no h o e a l e T erslto a dv r a c m p o t i e wi b h eouin n a i n e a s b a n d 1 e 1 ueu fr te itrrtto o te rsl. FJ sfl o h nepeain f h eut uJ dsrpino lersl a di itrrtto wi ecito f h eut n t nepeain 1 s l b g v neswee e i e lehr. Akoldmns cnwegct W e w s t t a k D . K n S d o ltra ih o hn r e u o f nentoa Isiueo S i m l g a dE r h u k E inl nttt f e s o o y n a t q a e n g n e i gwho p o i e u w t f i t s o I C iern rvdd s i h a l i f S cie d l s tT i w r w ss p o t db agatfr a a e h s o k a u p r e y rn o . t ec o e a i ersac w t teIs I t o Sah o p r t v eerh i h h nt u e f tt l itcl M t e a i s te M n s r o E u a i n sia a h m t c ， h i i t y f d c t o ， S i n ea dC l u eo J p n c e c n utr f a a . 叫 句 Rfrne eeccs 8 ¥: Aak，. 1 0 LkiodadByspoeue I JM kie日. 9 . ieho n ae rcdr. n .. Brad， ..D GotDV Lnly n AFM Sih enro M H e ro，.. ide ad ... mt asc e lc. ( i r ， aein Stts Uiest P s， a n a E t s Bysa tii. nvriy r s V e i do) San p.1316 pi，p 4-6. . i oe S 7 Ai K C s Crsn A ad Hsbe E . 1 7 Dk ， . r l f so， . n uey， . ， 9 . e truaino t tredmninls s cs u u o ennto r h he-iesoa e m t c r r e i i rte I ihshr.JGohs R . 8 2726 h I opee . epy. c ，2 7-9. el s : 8 Ai K adRcad， .. 1 0 Qalttv SimJg: k ， . n ihrs PG，9 . uniaic esooy . Ter adMto.W H FemnN wYr，3 p hoy n ehd . . rea， e ok 92 p Bcu， . adGlet F 1 8 百1 e l n pwro aks G E n ibr，. 9 . er o i oe r ， 6 svg g s E r d a Gohs JR Ato. o.1 1925 r s at a . epy.. . srn S. 6 6-0. o h t c : Catn RW adC m rR . 1 3 A tmgarca l i 1yo， .. n o e ，. ，9 . oorpu n y s P 8 as o mnl h e g e i fo b d wv tv tm dt f ate e r e i e rm o y ae re ie aa tonts al ( s a ) E STas AGU 6 1 . a t c . O rn. brl ，4 7 : 6 9 .Sotig o y aa ih 7 i Cae，.adWha G 1 9 mohn n s dt wt rvn P n ab. : s i r c o .Nmr Mt. 3 3743 p n u t n ue. ah，1 7-0. le nis 8 t Cegr KC adJra， A.1 4 Sa pntaini o rae， .. n odn T. 9 . lb eerto n t lwrm t ..G p s e ，9 33-09 h oe a l J 回 h .R . 8 0134. e ne y s : t 9 .Cmueie epyia 7 Dns KA adL l， J 1 9 optrzdgohscl ie， .. n y e R lmgah.P c I E 6 16-03 oorpy r . E E 7 0517. o . :句 吋叫 En Uy 38 2 Jcsn 00， 9 .T eueo a p o dt t r o e ako， .. 1 9 h s r r r aa o e l 7 ii sv nnnqeesi l e i c i .Gohs J R Ato. ouiuns n i a n r o epy. . . srn nr v s n Sc，:1717 o. 5 3-5. 7 e K m e e，..adNse，.. 17.O t cnegne a m r rWJ n ahd MZ‘ 92 n h ovrec o t cnuaeg d n mlo f s g a l e oe{ h ojgt r i t ehd o i u r i a pr e ae r n l nr ao eutos S A ( c I . Ap. Mt. J N m tr qain. I M S . n pl ah) . u . o d : . Aa. 9 1511 nl， 6-8 K m y ，. Mytk，.adHrhr.K， 9 .H wde a i a 5 iaae T n iaaa . 1 8 o ep ， 8 cnw s t hg v o t aoaisbnaht Jpn a e e h ih e c y nmle eet h aa e e li e t 5 . I a s Gohs Rs Lt，:3881 s n ? epy. e. e. 1 2-3 ld M M c a . GA， 93 Simc tmgah i b e l . c e h n .. 18. esi oorpy n o h e ros 2 Gohs J R Ato.S . 7 61 6 . epy.. . srn o ，: 0 1 c 4 Mses G，odn TH，i e， ..adG b t F 1 2 atr. . Jra， .. S v PG n i e ， lr lr . 9. ， 8 r rte hoa Apeia E t s u u fo fnaetls e i l shrcl a h t c r rm udmna p r d 8 m d d aNtr，9 6963 o e a . aue 2 : 0-1. t Mnanr J. 1 6 3 iesoa l c r o t Ida otga，. ，9 . ・ mninls u u f h nin P 8 d rte e O e ni e e fo ln pro s f ewvs Gohs c a n r d rm og eid u a ae. epy. rr rc Rs l t，3 3538 e. e . 1 1-1. t : l . i Ds u u e M rJ A adD eosi A M，96 3 t c r o t o ei . n z wnk， . . 18. ・ r t e r h E r' ∞ei e e fo tv tm r i a .E S 6 a h r n r d rm re ie e d l O ，7 ts fr al sus : 31 1. l i ， i 8 M r J A adD eosiAM.1 7 T e amnc xa・ o e . n z wnk，.. 9 . h hroi epn s napoc t I rrv o de Er s u u .I i prah o h eia f ep a h t c r n o e tel t rte : G Nlt( i r，esi T m g a h，ihApiain . oe E t ) 5imc o o r p ywt plclos do i Goa Simlg adEp r i Gohsc.O Rn lbl esooy n xl a o epyis . e otn ・ . ilPbihn C， Drrct Hlad p 2124 d ulsig o odeh，oln，p 5-7. e . nesn .. 9 . shrcl e 8 t Nknsu 1 叩 d Adro，Ol，1 4 Apeia h aail， . eoeet o t mnl {o paev o t so mnl rgniy f h ate rm hs e c i r ate e lie ， wvs Ntr 37 1711 ae. aue 0: 1-2. . 8 rte e Nknsu 1 1 5 T redmninls u u bnaht aail，，9 . he-iesoa t c r eet h Hkad T h k rgo a drvd fo atmg昌pi okio o o u ein s eie rm oor hc t : h ivrino P r v t e J P s Er 3 2126 neso r . r a i s . h . a， 3 4-5. ail m. y NtrHC，aail， ad nesnDl，9 . esr. aa，..Nknsu 1 n Adro，..1 6 Maue . 8 m n o mnl w v v o t sadi e i f lel e t f ate a e e c i n n r o o ar lie v s n r ta iei. s htrgnii 卸 d nstoy . v s n JGohs R . eeoeet e s aiorp 3 n r o . epy. e . 9 76-37 1 2170. : N u a nD n a， . ad Bhes J 1制. Ivrin o e m n ・ e z u G n ern. . 9 ， neso f pc simc aa i g o 句 r h a eosrcin ehius esi dt ω n t m a i lrcntuto tcnqe f i e i t n o l e l ihmgnosmda G c o n s g i s f a r l nooeeu ei. eト r vtao tay py..R Ato.S . 7 3535 hs J . srn o . 9 0-1. c : Nlt G 1 5 Sligo r o i iaeut ad niy oe， . 9 . ovn r e l n ndqae n os . 8 svg tmg苗pu sses JCmu.P s 6 4342 oor lc ytm.. opt h . 1 6-8. y. :喧 HI O E TL . N U E A. Pie CC adSudr.MA， 9 .L Q :A agrtm ag， .. n ancs .. 1 2 S R n loih 8 f sas iereutosads r ls s a s ACM o preI a qain n p s et q r . r n ae a ue : Tas Mt.Sfw， 4-1 rn. ah ot. 8 37. Sas JA 18.Tmgahci :s nv t cnua: cl. . 97 oorpi nc i i h ojgt e vr o a e c gain mto.Gohsc.5 19 1 . rdct ehd epyis 2 7 8 : 5 Si A vndradVrl H A vmd.18.Nmrcl ls . a e n os， . : e 97 ueia u. . r nr g r c in s u o o l g，prel e a e a ssesa s g o t n f a e sas i a l b i ylm r i li r fo tmgalc rbes I G Nlt( i r，esi rm oorpu polm. n . oc E t ) Simc : do Tmgah.wt Apiain i Goa 5iπooyn oorpy ih plctos n lbl esllgad Epoain Gohsc. O Rie Pbihn C . xlrto epyis . edl ulsig o . . . Drr h Hlad p. 9 8 od民 t oln，p 4 4 S n M. 17.Cosvldlr coc adassmn o l e . 94 rs-aiaoy hie n seset f o. stta peilos( i d c s n J R 5! 5 . B tiil rdcin w h i u i ) . . 1. o ，. asc i sso. a c 3 1117 6 1-4. : Sesg，.adNknsi ' 18.Tmgahci e i utuu O n aaih. - 95 oorpi n r o . vsn adr o t n f Ryeg wv paev o t si t n e l i o alih ae hs c c i n h suo r lie e t : P i c ca.JPy.Er.3 3538 a f Oen . hs a h 3 4-6. ci Sesg.O a d aaih. 18.ne-iesoa vo・ uluu . n Nknsi し 97τredmninl ec l. i m po t uprmnl bnaht P i cOena t a f h pe ate eet h a f ca s y e e ci h dtrie fo Ryeg wv d p s n P s Er eemnd rm alih ae i e i . h . at sro y P n .I e ，7 2529 l e n r 4: 0-2. a t t. T n b K， 91 P j t nmt叫 f ovn as g a a ae . 17 r e i eh o lig i u r ， . oco rs nl sse o l e eutosad i a l a o .Nmr ytm f i a qain n t p i t n ue. nr s pcis Ml. 1 2321 ah. 7 0-4. :， n r a o r eTnb K， 94 Caatrzto o ie s t n yir aae . 17. hrceiain fI a l i a ta n lepoessf s v g s g a sse o iereui rcse o o i a i u r ytm fI a qa v r ln nl 2 9 tn N m r Mt. 2 39 3 . is u e . ah，: 4 5 o. ， . 7 o optn r Tnb K 1 7 Cnuaegain mt df cmuig aae . 9 . ojgt.rdet c加出 e or-ers i e e n rn o a a i JOtm MoePnoe n r ad ak f mt x . pi. vs r. Ter，2 12. hoy 2 -3 : T 詞mt.T 18. T e 3 ser wv s u u i t 副 oo . 9 . 8 h ・ ha ae t c r n h o rte e mnl b oetn wv(r i e i -. I e i o ate y vroe aeom n r o l n r o r vsnI vsn Xwvs RwvsadGwvs Gohs J R Ato. .ae， .ae n -ae. epy. . . srn S . 9 3134 o . 3 2-3. c : Trnoa A ad V e e B 1 2 Gnrlzd nnier aall. . n a l . . 9 . eeaie olna lt . 8 i e epoJm sle u n t Js sursc t o n r rbes ovd s g h el qae r e n vs i e a in. Rv Gohs SaeP s，0 2922 e. epy. pc h .2 1-3. y : e W o h u e JH a dDiwnk.A M，94 M p i gt o d o s，.. n zeosi . . 18. a p n h e r ruprmnl: 'r ・ iesoa oeigo e l s u pe ateτ he Omninlmdln f a h t c t e yivrino s s cwvfrs J Gohs R . 町 b neso f e m aeom. . epy. e . ii s 8 55-96 9 9358. : . ・唱 叩 闇 -60 第4 国情報論的学習理論ワークショップ( frainBsd nuto 8ine: B801 l omto-ae Idcin cecs II20 ) n 予稿集 2 0 年 7F 3 日月) 8 J 日水 01 J0(-F 1 () 会場:学術情報センター一ツ橋記念講堂(東京都千代田区)日時主催:電子情報通信学会情報論的学習理論時限研究専門委員会共催:情報理論とその応用学会協賛:電子情報通信学会(情報理論研究専門委員会、人工知能と知識処理研究専門委員会、コンピューテーション研究専門委員会、ニューロコンピューティング研究専門委員会、パターン認識・メディア理解研究専門委員会)、 I E T aa Catr E EI Jpn hpe、情報処理学会、人工知能学会、日本神経回路学会、日本物理学会、計測自動制御学会、システム制御情報学会、応用統計学会、日本ソフトウエア科学会、データマイニング研究会円 h u PnlzdL i i Rgeso Mcie: eaie o s c ersin ahns gt N w e h d f s t t a peito. e m t o s o t i i l rdcin2 r asc K n oT n b ui aae 事 Asrc:SpotVco Mcie(ank 99'5')hv be rcgie 腿 pwr btat upr etr ahnsVpi，7.9， ae en eonzd oe1 9 8 f m t o f lann c t泊 srcue fo dt f p d t n Ter ucs idet u e h d o erig e a tutrs rm aa o r i i . hi scess u o l r r r eco i r s cmiain f h qartcpormig oes ih e e Mto.T e a n i i obnto o te udai rgamn mdl wt K m l ehd h m tnc l cie hwvr de nts e t acmdt vr w lte ae weete ehna o hn，oee，os o e m o cooae ey e h css hr h mcaim f gnrtn dt il g y f tcatc aue B epoig h p nl e l i i r r eeaig aas a e osohsi ntr. y mlyn te eai d o s c e e . rl . z gt g s s n oe，e a e sa scl tep 七 osrc mlils dsrmnto mcie i mdl w m k attt a atmt ocntut utcas iciiain ahns o . . i. . i . . ie isc a e i v wih a hnl m c n s r tcatc aao e opttv wt SVM n uh n n hc cn ade u h o i sohsi dt t b cmeeie ih kio niil tncl rnet Iis o n htb pnlzn tel e h d na pc c 仰ω ωni r s a y omn. ts h w 七 a y eaiig h i l o i se析ω ， e cmiet l i i r 何 sinmdl叫 t h k m lmtos l p t u r an wc s obn .e o s c e so oe h gt g ht e e ehd. I a i l ， e l s e i rca α 0 pnly ucin a dαscae nraie poetv kml ae加 toue ogi a 1 eat fntos n soitd omlzd rjcie ees r rdcdt an v s i idcinp w r0 o rl a飢 9mcie.T e lsdfrua ae ie f te e a l nuto o e 1 u e m rte ahns h coe omls r gvn o h r fs a d eod e v i s f h l pnlzd o s c ersin i l o ，hs Hsin i t n scn d i t e o te o eaie l i i rgeso l e h dwoe esa . r rev g gt kio a xs h w o e o t e e n e n nfrl one. u l l s f l a 官 t r si it . ae ol m. i is o nt b p i v dfi a duiomybudd D a c s so g b l cnegn lann mcie(loihs a gvnf otiig h otmlprmtr ovret erig ahnsagrtm) r ie o bann te pia aaees e r f bt p b i s ca ddtriitcp d t n Aayi o ter eo cnegne o oh r a l t n eemnsi r i i . nlss f h a f ovrec r obii eco t igvnf ec c s o mcie. T et e Io mria)l e h dadGnrlzd s ie o ah l s f ahns h y -(r agnl i l o . eeaie r a pI kio n IfrainC t i ae叫s ie i c s fr f dtriigt otmlvleo nomto r e a r ogvn n l e om o eemnn h pia au f ir od r e hpraaeesi temdls 也前 七h ahnshv adeidcincpct t te yeprmtr n h oe o emcie ae u nuto aaiy o h 8z a d h q l旬 o a 倒 a a et 仰向， dt s. Ie n t u i e a f n ib r l l a g aa e t 1 Mlils Dsrmnto utcas iciiain Polm rbe Ltu cnie tepolmo mlils dsrmn e s osdr h rbe f utcas iciia t n ie a n e u b r fr n昭 dts七{ic i gvn fi n m e ot i o it . a i aae (o. X )} ・.N，hr X i aclm vco o s 己 nw oe 1， . wee ; s oun etr f i ， z h喧 se eeet m yb b色 otnosa dd c t n m lmns a e ohcniuu n i r e u t . e t n …， b sa dc ae a au i tefi s {，， e n . ks vle n h i t e 12 K} r oc s s Wea cnendwt te osrcin f fls. ae r ocre ih h cntuto o e 同 9 ，制 i Tbhrn a d ua19) Bso(95， 6 H e isiai n Bj(94 ，ihp19)) ， . Ceksk a dMle(98，cokp，ugsad hrasy n uir19) Shlof Bre n . w S o a AJ (99 七 a eol af . T eproe m l， . 19) on m ny e h ups v n o t sppri t g eaohrlo a t e r b l f h .e s o i . te ok t h p o e m i a i odrt oti an wc s o c m uai a a か n re o ban e l s f o p tt n l a . ol g も tm o pぽ l t s n a o o nrdc c t i f ihsf r i o a d l t itoue r e a o r cr s ir r ascl dtriigas t t a ydeidcincpct o eemnn . t i i l u nuto aaiy f も ep d t s o ie t i n d a h r i o t gvn r n g a . ecr ai t l ia odtoa mlioil itiuin (* x )) cniinl utnma dsrbto M p () oc ie xE R wee f gvn " hr ， p()iap d t ep b i 七 etrwoekt *x s r i i r a l yvco hs -h ecv obi eeet ;x i i t lmn p ( n c e j) d a s te rbblt o c aig h vlek h poaiiy f tkn te au ， ad l n ao s i peito fnto c=*x ε 12 ， i rdcin ucin ) d(){ ， K}… ， wihcnb ue rsetvl 回 sohsi n d hc a e sd epciey tcatca d e t m i i peito o c ie x e i s c rdcin f gvn . rnt Teehv be etniel t t e f slig hr ae en xesv i r u s o ovn ear r t polm T e icue f eape Mnaain h rbe. h y nld，r xml ，agsra e o (95 16， 99 19) Vpi(99 19，98， 16， 98 17， 94， ank17， 95 19) Hn(92 19) MLcln19) Rpe(94 1 ad18 ，97 ，caha(92 ，ily19，9 . *h Itu oStta Mteais 467Mnma Te nit f tiil ahmtc，- iaiz ste asc a ， I a k，oy 1686，aa T 0・2・5 ，a b Ml t u Tko 0-59 Jpn e 35 18 4 F x u lo l 4 7 3 46 65 e a t ae i. j -i n m p 0 34 19， ml a b @s 蹴 . ・・ T r u h叫 te ae，e i ue e olwn n h o g o h pprw w l s 出 floig か l tt n Lte 三(， 010 O)b h k出 ui .i s e " 0，， ，)tete - nt a o:… ，…， clm vco o s eK，n l teK xN cntn oun etr f i z ad e h t osat i . mti Y b dfe b arx e e nd y eN CI ( 1 ) woe- clm vco 約三 ej i i t w i hl s hs j h oun etr t C n c e hc c s ; das a . ted七 C blnst h aa j eog o Y 三[i ぬ Y l ;一 Y]三[t e;・ N ei " " 2 2 N r a i e Poetv K r e s o m l z d rjcie e n l Floig e da f h SpotVco Mcie olwn 出 ie o te upr etr ahns ( V s ， e nrdc a a S M ) w itoue m p 4xλ三 >，( ) I 2X入¥ t(， f >) l ' . 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N t ta a yp i v aaees d i t mti ~ cnb p i h fr ，eas 出 e e n e arx a e 凶 nt s om bcue fi i mdl pr o E.6 ia mse-rmtr Coek ide at f q()s n -tppeaue hlsy dcmoiino E eopsto f I wlb s o ni Scin 6.d7t. w七 . t i e h w n etos a l n ht iha a p nl e l i i rgeso m d lgvni tenx e.i d o s c ersin o e ie n h et a z gt scin e ol w r d e l wt te enl ucin eto w cud o k i c y ih h kre fnto rt wtotres~rting e l i yt tem. 4x a dte ihu x i t o h a )) n h pcl p ( prmtr宮 tesle. l f t w ol ne 出 e aaee hmevs n a ， e ny ed c N xN cntn mtL osat arx に I odrt sle出 .polmmninde l r w n re o ov e rbe etoe a i ， e re 1 gt .e 、 itouetep n ie l i i rgeso m d l1 nrdc h e a zd o s c ersin o e V asm ta tej n poaiiydsrbto C xy sue h h o t rbblt itiuin (， :七 i ) o (， fo wih h tann dt ismldiuf xy rm hc te riig aas ape s n ) y) k o n n ta te odtoa dsrbto ( l o y n w a d ht h cniinl itiuin ( x f gvn ， l w tem liω i d t u蜘nM(() ie x f o s h 剛¥ t om 1i r 叫t o 1 u悦n凶 a s巾 i 加 o. 釦 ' 必ω o 叩印 吋)似X p叫η s巴c i 匂 tepoaiiy etr 句切i e ' h rbblt vco p 則f db y ω z I2忽 I P( px =I:. 室(()()- ) I長 fX ，) ¥ KX/ P() I lX ¥ P()( 9 )ゅ~lNl~+(一 μ! 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I: I I )¥ PU ¥ Kf/ P() J i:;l Ex I e pi () 1 0 7 2 -63- ad n ，p ， d 一 一一 z / t E B E E ¥ F J 'A Z4 J f L 内む 岡崎 吋 (吋 (: め・ 1 I t t I t /、 一 一一 ω ω十 n U τ V u v v ，、， ‘. 、， A z V 一 W 一一 守 A V 、 ‘， z ( 唱 唱， E ょ-畠、 ・ EB ' Woe c- a 1 s c v y n (x1 aaee vco 1 lVr ' p t e a J n I ee e i l p 1 mtr etr ' e d n (x p 1 mt 1 mti t b etmtd rm 1 n a J m aaee arx o e siae fo ' ' x i . il v1 tegvntann dt，( ，) 1.，国 仇 g e h ie riig aa {;Y } ..N i E.l ， n teK x(+)a g e t dprmn q() a d h m 1 u m n e aae t1 mti すさ 同; ]i itoue f1 nttoa e arx ' W s nrdcd o oainl ' cneec. ovmne 戸 T eprmtiain f h cniinlpoaiiy h aaerzto o te odtoa rbblt mdl y h mti W ia eudn oe n te t oe b te arx s rdnat n a d h s a tta c町 eto ita oe ft r w etrsyte iil o nins ht n o i o vco(a，h sc s Kt oe is t b z o B tw miti te y -h n) s e o e e . u e anan h s m t r mti prmtiaini E.l f bt nmrcl erc aaerzto n q(1 o oh ueia ) r s b i a dmdln iprilt wihwr s o n t i t n oeig mataiy hc ee h w aly i T 凶 b n Sge18，92 19) Tnb(95 n a ea d aa(94 19，99 ，aae18 ， 18) T n b ，aa a dUd(98 f annaa 97，a a e Sge n ea18) o r oprmti Bysa dniy siain erc aein est etmto. 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I x(+ 1 mti trigwt a < n m ) arx W.酔 nrb sq叩neo m.r e { i同 ' e制凶 eu c f a i s 百} 町 a ea 叩 e伺中 tc w ' 戸色 叶ベ ベベ (事事tH~[j 吉@r v +o p 1 K}+ 吉( t⑧( (-K-Ild d @f 事) 1 苔[ ， h irtefrua e む . v oml. ea i 晶 ' 官官i+~v'-'-' 1 = αi ð. ~V'， i 01 2.∞~V'=.... . . す胃....守訴(3 2)( ず⑧ I +o @r 苔) K 吉， () 2 1 m i ht pe sa ongtv weeA ペ B i l sta B -A i.nneaie hr d i t mti， Ki tei n t mtb o seK e n e arx I s h d t y arc f i . fi ei z I =N-I1Nl~ iteotooa poetrot te I= N s h rhgnl rjco no h saes.ndb l ，n ゆ三 V( pc pne y N .d a a pザ)芸 jl(j fPZ) weetem t xiceetム戸 i h uiu s u hr h ar nrmn 宵 ste nqe o .L l t n f h l e mti euto. i o te i a arc qain o nr ， e . 苔+ r .ず吉=(( d ずず od Pず)ー Y 苔+ r 官)tow () 2 4 weees i e ote odgt ed i t m t c hr ie h fh nne.i e n e ar e tr a v f i . is [l I -I-1 1'rI . V. K <1 K ko K p .s cr 1 a o r i tes ae v t sc t. V 主 p町)f j = s h m 1t e o uh ht p (， ， a te nq.tim atlmnws. 田 n a i . 12•... N .d h ieulys en eeetie S [ f 色 erf 1 o h po ] r o. nis o n s Pooiin3 T ef c o .p (す .dp. W rpsto : h u t n 1 唱) a l() (>0 a cne .ds i l cne fntosr o ) r ovxa t c y ovx ucin e e n rt a . n s c v y ih e e t te .aee W T e u p t e wt r p t o h prmtr . h f c eil sc a t nqe i i u on . hc . e t n 1 す)hs h uiu m n m mpitw wih i p( o o sii te∞ d i .旬以下y)= O (m+. wee ase h n t n tfs io */ ， 1 hr OK ， ite x m 1zr m r.Se[ f te m+l s h K (+ ) e o 叫 i e 1o h x ] r po rf o. We l pooe P R . hc h a sprier . o rps a L M wih 阻 . ueln. a s a cneg poet. ovre rpry i . P R -:S r n wt a I x(+1 mti W L M 2 同 t g ih n < m ) arx ' gnrt as 田neo m t e { ' =ι . b te eea . e 岡 c f a山 s W hl. y h . i r i frua t a v oml ete ず l J i α F ，， 2…，+ = . _ A V t=ol ，∞ V ，， () 2 5 a v ecr l .d 1 N w e . g e h p d t s hc wl e a e o w cn i te r i o wih i b c 1 Pnlzd o s cRgeso'rdcosPRs. eaie L i i ersinPeitr(LP) gt P R :、e.otp()三戸(( )= p存() L P ' a p *x f d V j X =( 可 X. *)) 槌 .orp d t epoaiiyv t . ady()三 a u r i i rbblt e o n *x ecv cr α g n f () s u dtriiu p d t l ucin r r p Z z a o r eemnsc r i o fnto， ecr weef件=W*(. hr 事)= 4x )) wee t 'ite nqe ouin f .l e m. i hr . W s h uiu slto o 出 e i a a x . nr t r euto. qain E((j]-pX)(j)) W ((jず(j)(X P )(j印 X d '事X X ) . )) 古 N j 1 =+r o o 宮=(()-Y 苔+oず吉. () . Pず)t r ' 2 6 Fr h cnegne n ys f L M . ad L M o te ovrec a a s o P R ・ 2 n P R .i 1 1 2e[] se1. w ' 5 PnlzdLgsi R g e s o eaie oitc e r s i n h ahns 在 cie 6 D a PnlzdLgsi u l eaie oitc B. d n e m 1 n 2w cn o cntut t a a o L m a a d. e . n w osrc ir s e a e. R g e s o Lklho e r s i n ieiod te loihs ocmuig ¥ h c w1b cld i .grtm f optn W w i h i e . e va r l a l pnlzd osc e問 sin ahn ( L M . wl eaie lii r so mcie P R ) We i gt g l g e h e .h 関 t b coe b u r .crig o i t e m c n o e hsn y s s codn t v r ai e a tea. ai y f h r opttoa r o c . h vib t o t i cmuainl e u e al I i e srs PLRM1 trig i a nI x(+1 mti W ・:Satn w出 . < m ) arx O . gnrt .s unefmtie { h 1 b yte ee. a 問 eco arcs W =ι a e '= h i r i frua o iOl2 ， t a v oml f =.，∞ ete r . ，… 吉 W i l= i α(Pず) Y ず+ r i，+ W ー i((-) d w ) T esceso S 1 il g ydet i r s cm h ucs f VI s a e u o n i i o; s rl tnc i e ari b .o o t i q c a cpormigm d lwt ia l f h r u l t rgamn o e ih nt l tek n mtos 、 e i so ta tepnlzd h e e ehd. ' wl hw ht h eaie rl f l V lii r r s nmdla oy l .c ti d .t osc e e i oe l i d a e . uUy gt g s o s e s ra n a wihl d i r s a y ot kml ehd. hc e s n i i l t h ee mtos a tncl e E.?)i l sta teriiie w o poW q(? m i ht h nnmzr . f l() pe io tefr s f h om W =匂 t一 .v 豆() 2 7 () 2 2 7 4 - 5 6 - w e eV = d 1 -( -(*) Teeoe b i r h r 事=-r 1 y PW). hrfr，y n o tdcn ted l aaee m. i V o s eK xN i uig h u prmtr a x f i a t r z n wy sc . . 坦 uha a W = V t田苔吉(8 2) 7 D a PnlzdLgsi u l eaie oitc Rgeso M c i e ersin a h n s We 8 cntut8 i r i agrtm o c m u i g c n osrc 0 t a v loih f o p t n 0 n ete r V. w i h i b cldda p a z lii 旬 9 s *，h c w l e 8l ul e l e osc 陀 l 0e n i d gt so mcie( P R ) in ahn d L M . a a i . l w ol hv む iiieten gt elgp n ie e ny .e omnmz h e. v o e a zd l i i rgeso lklho o s c ersin ieiod gt p ()山 ()三 p (苔-) l V霊 o W l V官 1 o (9 2) wt 悶 pc t V isedo m. i W Ti tasoih et o nt. f a x . hs r nfr a t r . a o o te a.ees aual ed o h enl t a m.in f h prmtr ntrlylast tekre mtos Sbtt igE.2)i oE.l， w hv ehd. usi凶 n q(8 n q(l e .e t ) a Item0rcに~ i nniglr V =V i te f h 8tb s osnu8 ， o .s h ai tx mnmzrwihi teuiu slto o 出 em.r Iiie hc s h nqe ouin f a e uto， q.in 帥 D()言 V PV Y+ r = OKN. 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T e i cnegne aes e 出回 h nt ovrec rt il s s s 1 ó(( 1I κ~\\+dlllr1D 1 Se[ f tepof lfDl-¥一. e 1 o h ro. ] r R m r : h vco fl dfndb D V 加 nt8 e a k T e etr id eie y () o 0 e gain vco fl Sne h da m c i e P R rdet etrid ic te ul a h n d L M O e. w i h mly t s etr ids uh sml po回 S h c epos h vco fl isc a ipe rc i e 田 t e i ol te vl前 i s f () orq r ny h eau o o .V -Y a d ue n P n rv a dn mti ivrin tepeet8 to cn n t n o arx neso， h rsn o hr 8 n o u o hl seuaigit sda m0hn i 8bte 8p ep pcltn f h ul 8cie s0 etr oi poiaint piilgclr0t o laigpoes rxmto o hsooia ely f ern rcs 8i t 0 te xsigm0hns8 d h ohrm0hns n h n h eitn 8cie 0 te te 8cie i 8 n toue i t sp p . rdcd n h 8 e i o r 噌 poV 三 poV t -) 1() l(苓 E l = E 0 九( wX - 1 9 V (伽 l ¥; N R m r :T ernfre ngtv lg eaie l e e a k h t somd eaie o pnlzd i . a k lho poV ivle ol te . i κ i sc l m iod 1() novs ny h ma x ι t o u n t r vcos{wX)組 dr As te rdco poaiiy etr κ(j} . lo h peitr rbblt vco { X } novs ny e en fnto 九(. etr p j ivle ol 出 kr uci九()叫 X ) T e d nt e e de l i yo φゆ( nrr h y o o dpn x i t n ， X o : pcl ) . 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P o o i i n6 T e e x t a l s amnmzrV* r p s t o : h r e s t e t iiie * is a o te eaie o_eaie lklho fnto p () f h ngtv lgpnlzd ieiod l cin l V 1 o wih a s e VpoV*=O . . hc s i i 'l(*) K N tfs T e r m8 Anacml0igpitV o tes hoe : cuu8tn on ∞ f h e qec gnrtdb d L M1 ih.y hieo iune eeae y P R ・ wt a coc f n n i ra n tlm0rxV i amnmzro poV udrc ti i 8ti O s iiie f i() ne e . a cniinw i h a seiid n aae20) f eodto， c w s pcfe i Tnb(01 ，r x h o a p e向=11κ.~ 1\-1( 1Iκ~II + 5 f - T e i cn ml 11 1 h n む o¥) . ¥ s l ¥¥ -¥ l l 1 vrec rt il sta 1 ó(( 1Iに~II +ofD r 1 egne aes e hn s cond に~)-l. 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F L T N S S TT I ERI. INF'加~IATION A CO~ßIUNICATI(以 N D ENGINEERS 官 印N 札 E < T FIC I R P 双 O EE C I. 4臼 . 2 49(041)- S P -420-2 信学控報 " 1 . C 2 ∞∞ Sekr eonto w h t e u E r t n r e pae Rcgiin i o F t e x a i P c s tu ar tco o s T m k M T U a d u i TANABE o o o A S I n Kno ste T e n i t oSaitcl a h m t c h I t u fttsia M t e a i s 467M n m - zb ‘Mnt-uT k o 1 68 6 Jpn -・ i a i A a u iaok o y ， 0・ 5 9 aa 司 Emi:{mtu.aae@s.cj -al tasitnb}ima. t) pae Asrc B epoig t da Pnlzd Lg t Rgeso Mcie (P R ¥司 i ae epoe a sekr btat y mlyn h ul eaie o s c ersin ahn dL. 4 血 sppr xlrs e ii i n f a o mto wihde ntrqief t ee町a i rcs dpnigo ap o kolde T eidcin d t i t n ehd hc os o eur e u x c o oes eedn n r r nweg. h nuto eici ar t np i mciecndsoe i l i ysekrc r t i i r e n t dsrmnto ol fo as o t i n dt b t ahn a icvr m i t pae h a e s c e v t o iciiain ny rm e f r n g aa y h pcl acrts l a t ai e m c a i m f h kmlr r s n O r etidpnet pae i n f a o eprmns ih r n gdt utrdb 1 e h n s o l ee e e i . u tx-needn sekr d t i t n xeiet wt t i n aa tee y 0 e gso eici ai e frt a e e ml sekr i耐 ' d f e ssin s o t t h pooe mto icmeiie ih h cnetoa Gusa mxue ae paesn e i e n esos h w h t rpsd ehds opttv wt t ovninl asin itr m d l M - a e ehd ih2-iesoa Mlfeuny esrm M C)f t e vn huh u m t o h n e o e 何M ) b s dmto wt 6dmninl e-rqec cptu ( F C e u ee tog or e h d ad ar I d 田 t cas d a f 5・ iesoa o-oe se汀U I sa os o nt t u mto otefrst G M b s d i l ore a o 26dmninllgpwr pc 乱 ti l h w h or ehd uprom h M - a e r y t s a e m t o e e a y s h aon otann dt bcms m l . e h d s c l a t mut friig aa eoe s l r pil e ae e i c in . gso gt K yw r s Sekrr o i o. 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'. = l K= Kx X). .N [(・ j1.. ( 9 ) Dua p PnM c w a 目 m z町 m -l a t m w o ma )車 m. x v -v似 T e o ia e l i t n a r t adcn e eemnd h s r u r a o p a e r n a b dtrie gazi rne b t eprcl ae mto. y h miia Bys ehd e D e o h i r u i o t s c i qartc eat u t t n o c o fh p i c udai pnly e tdtn e ef i (，t mnmzr V o P ()i aslto o t n t n 7 h iiie ・ L V s ouin f h e ) e f e a m t x qaln a n euto. V L P 冨(町内-+ I V K O . ' Y d" )= K N (0 1) v h . ，， h、• k V A F u 2T i n p c u . 国 e. r n g r e r ai ode i T t g a {l= ei d s n 崎 x iL.M Pdt: pω rio ecr w e e PV i a Kx mti w o e- c l m vco h r () s n N arx h s j h o u n e r t t obi i白.p b i t vco p勺妻 (kx) 'T emti Y i s e r a l y etr (} 。 V(j ) h arx s gvn i (. T e mnmzr V . wih gvs t ie n 1 ) h iiie ' hc ie h e p b i s c p d t p( ralt o b i i r i o 'x (.(). i i r i l ecr ) Vkx) s t a v y ete c m u e b t floig loih. o p t d y h olwn agrtm e Agrtm S r n wt a 留 i 釘y x m 釘i VO • w loih: t t g ih n も汀 ai K N a x e gnrt a eune {勺 omtie b eeae sqec ¥ farcs y Vi1 Vi_ iJ i ;0..悼+ α'. ，=..，! : V 一一--1o sekr fr Iralt p d t n f paes o Pbisc r i i obii e c o Ic dtx: p() e h a ; 'x a a i ↓ C c a t smain oe smls ad a u t h umto vr ape n lle e d i ad e i s cp d t no as g ed c e ennt r i i f il tnii e c o ne sa r p k: ee c a g a 工 o(-(i)= r m x lgpk x) M 。 言= ， 、(. 1 1 w e e I I it s u o ote i a mti e凶 t n h r l s h o t n fh l e arx q i ， V e li nr o F u 3T t g r e r i r .e i pcu. g e s n ode - 1 8 7 0 23 Epesvns o te o y o i lkre fnto . xrsiees f h p l n m a enl ucin h t pelu s t n w h v itoue 出e h rVos e l . e a e nrdcd e co c e m p i g Fx ap o f b v y l f t t d L M a p n () r r o r i . n a. h P R ii r e t w si町o u e yTnb [・ 0 sada mcieo te a n d c db aae 81 ]a ul ahn f h pnlzdl i i rgeso mcieP R i w i h () eaie o s c ersin ahn L M n h c Fx gl irpeetd y s ersne b Fx=φx ()W()() 1 3 i P R . weesji ten m e o cmiain o s n L M hr C s h u b r f obntos f lkn a atm a d[;i t ι dge o o i li te ae j t ie n x s h 由 erem n m a n h ] e eeet o x Rn l w coes5a i白 cs ih lmns f e . f e hs = s s aewt t eprmns gvn i Scin 3 t n m e m o h xeiet ie n eto ， h u b r e e f eeet o < x i s hg ぉ 01 吋 Teeoeim y lmns f p ) s o ue ((0 . hrfr t a b e i se t tteepesv p w r f h m pFx i e a l en h h xrsie o e o t a () s sy a e s hg t t te m p cud m m C i ncs釘 y 出 e o ih h h a ol t l . f ees ‘ a oeain idctdi t faueetato poeso te prtos niae n h etr xrcin rcs f h e ( ， w e e < x (IX… ' (ゆ 1 !ψ t ) L * L ψ=0 *( 6 )ここに，L は随伴作用素，Jb札ψ d はゆおよびψにより定義される境界積分である. * r()r ψとして領域内で( 7 )を満足するものを採用すると，これらの式および式( よ， 1 り) かfdO=k州)r b d (( 8 )が得られる.この式は，領域 Q 内の負荷 f に関する情報が，式(?)を満足するように選ばに対して評価される境界積分から得られることを表している. れた種々のψ 物体中の熱源や力の位置と大きさを推定する数値シミュレーションが行われている[1ト[ 0 1 8 1] 2 6 材料特性逆問題とその取扱いの例 61 多層不均質弾性体中の弾性波の到達速度からの伝播速度分布の推定 . 不均質弾性体の内部構造を推定するため，表面上の 2 点聞の弾性波の到達速度を用いるものがある[1 表面上の弾性波の発生源より Z 離れた位置における点までの波の到達時 1] 2 聞を表す走時曲線から深さに伴う伝播速度の変化が推定されている. 62 弾性定数の分布の推定 . 材料特性値の同定に関しては，構造の振動特性の同定に関連して多くの研究がなされて 2 1 2 い[2 このほかにも，複合材料の変位の応答より弾性定数を同定する問題[ 司，弾性る 1]特性分布を推定する問題[ 4 にカルマンフィルタが適用されている.拡張カルマンフィル 1] 2 0 1] 2 タを用いて掘削地盤の弾性特性老推定した結果の例を図 2 に示す[3 カルマンフィルタを適用した場合，解の収束の過程は，比較的安定している. 1] 2 離散系の剛性関係式をもとに，材料特性値を推定する二つの方法が提案されている[ 5 これらの方法を有限要素近似と組み合わせて，連続体の材料特性値分布の推定が行われている.ヤング率およびポアソン比の分布の推定にこれらの方法が適用されている[ 6 1] 2 非均質材の評価は盛んで，インデンテーション法による薄膜弾性定数分布の推定，弾性波による層状材料の非破壊評価，超音波音響信号による膜構造材料の非破壊評価などの検 1 均一 1] 2 討がある[ [9 2 0 つ Q d d qO 51 8z t / z .T x. x ( i m】 . 副~I ¥1 0 3 1 . ~〆~.-茸Z宝窃吉弘2 一一一一一ー f ， . . . . ・ 1. .. I:V~=O ..4 .. .-" u . . ，;-0 ' E :0ぽ畑2 孟;0世 1 ; m :0 3' -園圃・・E ・- 1 f m =1 k a t/2 0 P 2 ・ 圃関 圃園 F・園圃陣園開 l " ・ 圃開 ー園 ー園 園・ ，田 ・ 乙J . 主三 : 1"-- 7 主二一; : I~ 1 8 1 1~2 E= 0 t m 3 1 /2 ? f E = 0 t / 2，，0 3 2 5 o f m -=. . I~IO I~同.J "E._~曲目 1m 2 ¥= . J 02 z 7 1 . :> . ;" :1 7 1 .¥，O 2 J= . 同ー ー園 田- -- --- -園 田ー ( 解析対象 a )阻一一・荒井らの方法 O一一 x - Cvdn らの方法- x iiii qO O oKal血胡 7~ルター有限要素法 05 .0 ~ oq .O ト- E m a03 : .0 O o q 8 00 .0 0 唱 。 B IE自T 目 TR I N IEAIN TRTO ( 推定の過程 b )図 2 弾性定数分布の推定に対するカルマンフィルタの適用 0 : 2 1 -94-材料の構成関係の同定にも逆問題解析が適用されており，粘弾性材料の緩和スペクト 1 ，粘塑性材料の構成式のパラメータ同定 1 1 ，複合材料の弾性定数同定 0 1l 3 ルなどの同定[31 [ 2 がなされている. 1J 3 7 支配方程式逆問題とその取扱いの例支配方程式を推定する逆問題として，現象に観測結果をもとに，これを合理的に説明し 1 -[ J 3 3 うる線形微分方程式を求める方法が提案されている[3J 15 これは，支配方程式の同定が係数の同定に帰着させるものである.すなわち，現象が常微分方程式で表されるとしたときのその階数老η として，非同次項をもたない常微分方程式は， P α，よ 川 1 d 明日 一庁 γ + ゴ 。α 一白 一一 品 ' + + c A 一 判 u 川ア -n u 内斗 ( 9 )のように書ける.観測結果老もとに，微係数が評価できれば，未知係数 C に関する関係 i 式が得られる.このように支配微分方程式を推定する問題が種々の観測結果をもとに得られた微係数より，微分方程式の階数と係数 C の推定問題に置き換えられている. i この推定では，誤差を含む観測値からの微係数の数値的評価が問題となる.誤差の影響を軽減するためモリフィケーション法が適用されている.また，非線形方程式の推定や次式のよう偏微分方程式の推定も行われている. 。 n ゆ一 一+ Cn - 11 一一一一一+・・・+COn~一十・・・+COO ゆ=0 an x δn1 y x-a ~un an y I I δゆ n δゆ n ， /、 ハU . ， a 、 1 ，目 E 1 J 微分方程式の階数の推定には，情報量基準 A C I が用いられている. 8 おわりに以上述べてきたように逆問題には種々のものがある.どのような逆問題を取り上げるかが重要である.次に，逆問題をどう設定するかに問題をうまく解けるか否かがかかっており，ここに研究者の力量が発揮できる余地がある.逆解析に用いる手法にも，ここの問題ごとに先験情報の利用など工夫の余地が大きい.このような重要でありながら，工夫の余地の大きな逆問題に意欲的に取り組む研究者が増えることを祈念する. 参考文献[ AN T k o o a dVY Asnn Sltoso I PsdPolmぺ 17) J h 1 .. i h n v n .. rei ， ouin fl oe rbes (97 o n ] l os W l y&Sn. ie う ' う[ CW Gotc ，T eT e r o T k o o R g aiainf F e h l Eutos 2 . . resh " h h o y f i h n v e 叫 rzto o r d o m qain ] r f h FrtK n ¥ 1 8 ) P t a te is i d ( 9 4 i m n 。 う う [ G M L Gawl ，IvrePolm i Vbain (96 ，atnsN hf P b 3 . . . ldel "nes rbes n irtoぺ 18) Mriu 討 of u ] 2 2 n u y に[ M M Lvete， ..R m n va dS . Siht・si円l-oe rbeso 4 . . arn'v VG o o o n . hsa k うIlPsdPolm f ] P i Mteaia Pyisa dAayiぺ 18) A e .Mt.S c ahmtcl hsc n nlss (96 ，m r ah o [ V G R m n v "nes P o l m o Mteaia Pyis (97 VNUS. 5 . . o a o ， Ivre r b e s f ahmtcl hscぺ 18)] c i Ps rs e. う[ 久保司郎，大路清嗣，うう境界要素法の応用ヘ 1118(97 ，コロナ社. 6 ] 8-9 18)[ 久保司郎，機械の研究， 3 ， 17-1718) 7 ] 9 0107(97. [ S K b ，J M I . う eう 3 う 5-6(98. 8 . u o S E n J Sr 1 171618)] t I . [ 日本機械学会シンポジウム「逆問題のコンビュータ手法とその応用」講演論文集， 9 ] N.9-418) o803(99 [] M B n e a dHD B i 1 . o n t n .. u ぅ境界要素法論文集， 6 191718) 0 ， 7-9(99 []田中正隆，日本機械学会第 6 期通常総会講演会資料集， V l ， 7 2919) 1 1 7 o D 26 7(90. . 伊[]瀬口靖幸，[]の p.8-8. 1 2 1 1 p2528 []山川宏，[]の p.8-9. 1 3 1 1 p2923 []久保司郎，システム/制御/情報， 3 ぅ 3-4(91. 1 4 5 646219)[]日本機械学会(編)， "逆問題のコンビュータアナリシスヘ(91 ，コロナ社 1 5 19)[] M Y m gぅ e a 作d う7守臼~s悶 P o l m i 時 m eigSine打(91 1 . a a 凶 t l (. ?τInver 配 r b e 泊 n e rn cecs οωう 6 . e)目e 削 nE 副臼 g 白う " 19 ぺ吋 ) Srne. pigr 司 19)[]久保司郎，円逆問題ぺ(92 ぅ培風館. 1 7 []武者利光，岡本良夫"逆問題とその解き方ヘ(92 ぅ 1 8 19)オ うム社. [] S K o( .，IvrePolm" (93 Alna ehooyPb Sr時 e 1 . 山 9 e ) "nes rbes ，19) tat Tcnlg u. pi r d . [] M T n k a d HD B i ( .， Ivre Polm i Egneig Mcais 2 . a a a n .. u e ) "nes rbes n niern ehncう 0 d ¥ 5919) Srne 2 (93 ，pigr . [] N Zbrs K A W o b Ta d .R y a d( .，宮 町r Polm i Egne 2 . aaa ， . . o d 町 1 n M a n u e) d s rbes n nier e i :T e r a dPatcぺ 19) E 凶 eigFudto ， S E n h o y n rcie (93 時 i 白rn onain A M . g n田 g 司う []数理科学， 4 3 (97. 2 2 0 ， 19)[]久保司郎う逆に考え，逆に解く"日本機械学会 10 2 3 0 周年記念出版物テクノライフ 19)選 ，(97 ぅオーム社. 書[]久保司郎，応用数理， 7 111519) 2 4 ぅ 8-9 ( 7 . 9 [] D Dlua，.Y r y a dK A W o b r ( .，Po. 2 dI.C n Ivre 2 . eany Y a n n . . o d u y e ) "rc n n o f nes 5 d t . Polm i Egneig T e r a dPatc" (98 EgneigFudto rbes n niern: h o y n rcie ，19) niern onain ぅぅ 2 3 9 6 ロ到 M T 凶[6 . 叩n 泌 2 矧] a 1 lう(9，凹l 吋l‘ C 19 E s e. S ゲぺ 鎚附 )何v r 的 8 e ¥ V [] M T n k a d ..Dlkaih( .，Ivre r b e s n niern Mcais 2 . a a a n GS uirvc e ) "nes P o l m i Egneig ehnc 7 d I ，20) Esve I (00 ，Ieir " . [] M T n k a d ..Dlkaih( .，Ivre r b e s n niern Mcais 2 . a a a n GS uirvc e ) nes P o l m i Egneig ehnc 8 d I I' ( 0 1 Esve I ¥ 2 0 ) leir う ' う[] M T n k ( .，Ivre rbes n nier時 Mcais V (03 ヲleir 2 . a a a e )ヲ nes Polm i Egnei ehnc I， 20) Esve 9 d ' 円[] HRB Olne ( .，IvrePolm i Egneig T e r a dPatcぺ 3 . .. rad e ) "nes rbes n niern: h o y n rcie 0 d (02 ，niern Fudto 20) Egneig onain []登坂宣好，大西和栄，山本昌宏，円逆問題の数理と解法"ぅ(99 ぅ東京大学出版会 3 1 19)[] C W Gotc (大西和栄，田沼一実，山本昌宏訳)，刊はじめての逆問題7 ( 9 9 ， 3 . . resh 2 ¥19)サイエンス社. []久保司郎，桑山真二郎，大路清嗣，日本機械学会論文集( 編 6-8 19 3 3 A)， 151 61619) 7( 5 9 う n 3 3-718)[] T M r ia dY K g w ， t J N m M t o si E g 2 ，54(96. 3 . u a n . a a a I. . u . e h d n n 4 ・ぅ 5 3-4(96. []林員琴，大高，榎本，佐々木，菊地，材料， 3 ，969118) 3 5 6 τ218)[]矢川元基，福田俊彦，機械の研究， 3 ，23(94. 3 6 []三好俊郎，中野伸一，日本機械学会論文集( 編 5-7 ，1910(96. 3 7 A) 246 0τ1218)， T 6 ，3-5(98. [] LF C 血孔 ASTMS P99 252918) 3 .. o 8 []大路清嗣，久保司郎，阪上隆英ヲ 3 9 12(95 8518)日本機械学会論文集( 編 5-6 ，11A) 147 88 ，[]久保司郎，阪上隆英，大路清嗣，橋本，松窒，日本機械学会論文集( 編 5 4 8 4 0 A) 4 9 ，， 282518) 1-2(98. A)， []阪上隆英，久保司郎，橋本健，山脇弘，大路清嗣，日本機械学会論文集( 編 4 1 5-7 ，19-6518) 342 5810(97. []久保司郎，阪上隆英，大路清嗣，橋本健，松室義隆，日本機械学会論文集( 編 4 2 A)， 5-9 ， 282518) 448 1-2 ( 8. 9 []阪上隆英，久保司郎，大路清嗣，山本，中塚，日本機械学会論文集( 編 5-2 ， 4 3 A) 651 ， 23(90. τ219) A)， τ4，[]大路清嗣，久保司郎，鹿児島昌之，今宿匠，日本機械学会論文集( 編 5 5 1 4 4 27-0419 ) 0828(91 2 4 n i y 門[]久保司郎，阪上隆英，塩沢大輝，日本 AEM 会， 1 ，7-120) 4 5 学誌 1 38(03. []久保司郎，阪上隆英，大路清嗣，日本機械学会論文集( 編 5-1 ，214 6 A)， 559 36 21(99 3918) etr oe n ueia n ple nlss 1 8-9(94. [] S K 町 LcueNtsi Nmrcla dApidAayi ， 3 191919) 4 . 山 7 う[]大路清嗣，久保司郎，阪上隆英，安田章二，藤下健一，材料， 3 ，16-1219) 4 8 9 1717(90 [] S K 町 J Srsnia a dK Oj ， a e S.Rsac I 2 2-219) 4 . 山 9 . aaiptk n . hi M t r c eerh n . i t 63(96 うう [] S K b ， .S k g m ， .Ktoaa dK Oj ， nes Polm i Egneig 5 . u o T a a a i H iak n . hi Ivre rbes n niern 0 . Mcais (.T n k e ) 9-0(98 Esve ehnc M a a a d ，11019) leir うう ヲ [] S K b ， . S k g m ，. Srsnia a dK Oj， Eprmna Mcais 5 . u o T a a a i J aaiptk n . hi "xeietl ehnc 1 A v n e i Dsg ， etn & Aayi'I M lio e ， o 2 B l e a 93 d a c s n ein Tsig nlssに. .Alsn d V . a k m ， 3. 1 9819) 3(98 うう [] S K b ，.Kciih T a a a i a d .Ik ItJ Apid lcrmgeis 5 . u o M uhnsi .S k g m ，n S oa n . ple Eetoantc 2 . a dMcais 1 ，6 2720/02. n ehnc 5 21 6(0120)う うう 時 []坂真澄，大内，阿部，日本機械学会論文集( 編 6-9 ，6-719) 5 3 A)， 253 36(96. [] M S k ぅ A o c ia dH A e J Pesr VsesTc. 1 8 182219) 5 . a a .O u h n . b ヲ . rsue esl eh ， 1 ，9-0(96. 4 .K b ぅ .S k g m ， i . . aeil c eerh n ，， 1 i t [] L S Q S u o T a a a i LuZ X MtrasS. Rsac I. 6 45 i 5 4(00 820)司 う う [] S Sizw ， K b a dT S k g m IvrePolm i Egneig T e r 5 . hoaa S u o n . a a a i nes rbes n niern: h o y 6 . a dPatc， niern Fudto ， n rcie Egneig onain ASME 1 313620)， ，1-1(02 ぅう [ 5 内塩沢大輝，久保司郎，阪上隆英，奥野康輔，材料， 5 ，969120) 1 2-3(02. []塩沢大輝，久保司郎，阪上隆英，高木正彰，日本機械学会講演論文集， N.32 ， 5 8 o0-6 656620) 4-4 (03 []塩沢大輝，久保司郎，阪上隆英，岡崎俊介，日本機械学会講演論文集， N.20 ， 5 9 o0-5 4τ9(02 94820)[]小島史男，非破壊検査， 4 ，151319) 6 0 7 0-1(98 []黄蛤宇，福冨広幸，高木敏行，日本機械学会論文集( 編 6 68 22-0119) 6 1 A) 5 3 ， 0423(99. ，司 []小島史男，日本 AEM 会， 1 ，6-220) 6 2 学誌 1 67(03. []田中正隆，山際孝次，日本機械学会論文集( 編 5-0 ，15-0918) 6 3 A)， 451 0415(98. []田中正隆，中村，中野，日本機械学会論文集( 編 5-2，10-9519) 6 4 A)， 658 9010(90. 2 5 9 8 []古口日出男，渡部，矢田，日本機械学会第 6 6 5 回計算力学講演会講演論文集， N. 羽 7， o9田 1 111219) 6-6(93 回計算力学講演会講演論文集， N.3-1 o907 ，[]中村正行，田中，望月，日本機械学会第 6 6 6 131419) 7-7(93 []小島史男，非破壊検査， 4 ，292319) 6 7 5 4-5(96 .. ulih . . . pcr 5 8[]阪上隆英，小倉敬三， DD Breg J W M Sie，非破壊検査， 4 ，78 6 8 7719) 9(96 う 8 5-6(99. []阪上隆英，久保司郎，非破壊検査， 4 ，636019) 6 9 []阪上隆英，久保司郎，三木康弘，非破壊検査， 4 ，686619) 7 0 8 8-9(99. [] Y N w a dS Hrs Po.J p nSc C i E g S u .E ・ jatq n 3 7 . i a n . ioe rc a a o. i l nヲ t c 珂 Erh.E g 1 v ・ rt 27-7s18) 6s25(96 うぅ う . e ) 9-0(93 ， tat ehooy . [] S Hrsぅ IvrePolm" ( K 0， d ， 91819) AlnaTcnlg 7 . ioe "nes rbes S 由 2 Pb u. nes rbes n niern ehnc" M a a a n .. u [] T Fki IvrePolm i EgneigMcais (.T n k a dHD Bi 7 . uu 3 e ) 212219) Srne d 0-1(93 ，pigr . . う円う う[]北原道弘，非破壊検査， 4 ，242719) 7 4 7 3-3(98. 7 3-4 ( 8 9)[]上田光宏，非破壊検査， 4 ，282219 . 7 5 []山脇寿，非破壊検査， 4 ，232819) 7 6 7 4-4(98. A 258 []大石篤哉，山田勝稔，吉村忍，矢川元基，日本機械学会論文集( 編入 6-9 ， 7 7 17-4719) 4918(96. []大石篤哉，山田勝稔，吉村忍，矢川元基，日本機械学会論文集( 編)，6-0 ， 7 8 A 262 25-3719) 3025(96. []星川洋，非破壊検査， 4 ，888319) 7 9 5 4-5(96. t [] K Ksioo H iaaaa dS Ak J M n J，e 3 2618) 8 . ihmt .Mysk n . oi S EI. . Sr 2 5(99 0 うう . う I う[]青木，浦井，材料ぅ 4 ，1(91. 8 1 0 6919)[]青木繁，天谷賢治，富樫潤，日本機械学会論文集( 編 5-6 ， 5216(93 8 2 A) 952 16-5719)， A)， 151 6[]久保司郎，桑山真二郎，大路清嗣，日本機械学会論文集( 編 6-8 ， 19 8 3 1619) 7(95. [] S K b ， .Tkhsi a dK Oj ， nes Polm i EgneigMcais 8 . u o T aaah ， n . hi Ivre rbes n niern ehnc 4 9 (.T n k a dGS Dlkaihe ) 3719) Esve M a a a n .. uirvc d ，3 ( 8 leir . ヲ 2 6 9 9 [] VA K l v VG M z y ぅ n ..F r山 C m .Mts Mt.Py. 3 ， 5 8 .. o o ， .. a ' a a dAV o r， o p ah. ah hs う 1 4 5 r 5(91. 219)[] D Lsiぅ L l o a dDB Iga E Aayi ihB u d r Eeet 2 8 . enc . l t n .. nh瓜略 nlsswt o n a y lmns 0 6 Ei 131319) 2-3(97 ヲヲ う[] S K b a dA F r k w ， nes Polm i Egneig McaisI M 8 . u o n . u u a a Ivre rbes n niern ehnc I . 7 T n k a dGS Dlkaihe ，leir 191820) a a a n .. uirvc d Esve 4-5(00. . ぅヲ う[] S K b a dA F r k w ， nes Polm i EgneigMcaisI M 8 . u o n . u u a a Ivre rbes n niern ehnc I . 8 I T n k a dGS Dlkaihe ，leir 7-620) a a a n .. uirvc d Esve 78(02. . ぅヲ う A)， 3 11(97 []尾田，品田，日本機械学会論文集( 編 5 ， 6418) 8 9 []尾田十八，本悟う日本機械学会論文集( 編 5-2 ぅ 4918 ( 9) 9 0 A) 656 17-441 0. ぅ 9 t [] H K gl， T T m s i aa dT Y d ，n J Pe.Vs Ppn ， 4 4(90. 9 . o 吋I . o i h m n . a a I. . rs e. iig 4 ， 919) 1 [] S K b ， n K Oj ，opttoa M t o sf Slto o IvrePolm i 9 . u o a d . hi Cmuainl e h d o ouin f nes rbes n 2 r Mcais ASME A D V 1 2 ，LG Osna dS Sia e ) 4(98 ehnc M - o 28 (.. lo n . agl d ，119) . . ぅヲ 同司 DS S h [] .. c m 9 3 []Z G oa dT M r ， t J Sld Src. 2 9118) 9 似 . a n . u a I. . ois tut ，5 0(99 叫 4 n う[] S K 町 a d M K w g 9 . 山 5 n . a碍吋 a1 思1 昭 T n k a dGS Dlkaihe ) 3319) E e e a a a n .. uirvc d 5(98 l v r . si. うう [] M T n k M a a u a a dR Oha ，IvrePolm i EgneigM 9 . a a a .N k m r ぅ n . cii "nes rbes n niern e 6 cais (.T n k a dHD B i e ) 3319) Srne hnc" M a a a n .. u ，d ，8(93 pigr . . うう [] W W l m n TG yl a dR Jns C m u e s& Src. 3 ， 5(90. 9 . a d a ぅ ..Ral n . oe ， o p t r 7 tut ， 6 5319)[]村上敬宜，吉村正昭，日本機械学会論文集( 編， 6 ， 28(95. 9 8 A) 1 4219) A) 257 []岸本喜久雄，井上裕嗣，新保英男，渋谷喜一，日本機械学会論文集( 編， 6-9 ， 9 9 10-2119) 2411(96. o9-5 [ 0 早房敬祐，岸本喜久雄，井上裕嗣，渋谷喜一，日本機械学会講演論文集， N.62 ， 1] 0 1919) 0(96. [ 1 SA Lkseiz M tnse a dJA C y Ep eh ， 3 1919) 1 ] .. uaiwc .Sauzk n .. z z x.Mc. 3 ，3(93 0 ヲぅ . l ・[ 2 M A S tn e a Ep M cぅ 3 ， 919) 1 ] . . 凶 o ，t ， x. e h 6 9(96. 0 [ 3 田中 1] 0 博，医用電子と生体工学， 2 ぅ 4-5(95. 3 171818)[ 4 村井忠邦，加川幸雄 7 電子通信学会論文誌， J 4 う 2-3(91 1] 0 6 C 232018 ) 4 ， 0-1(99. [ 5 上回幸雄，福田，谷川，日本造船学会論文集， 1 5 232117) 1] 0 2 7 10 0 [6 J Khr ，.S 1] . iaa G 1 T a a c i H M m r H a i oa dB Lu 官 o n a y 0 阻止 .Y m u h ，. i u a .M k n n . i ぅ udr t . f . Eeet" Po.5hI.C n Hrsia 334518) Srne lmns ， rc t n o， iohm ， 9-0(93 ， pigr ヲ[7 馬暁鵬?木原語二，第 l 1] 0 回境界要素法シンポジウム発表論文集， 9-0(94. 71218)ぅ 1-1(95. [8 .上田幸雄，金，梅国，溶接学会論文集， 3 616618) 1] 0 R hdeぅ rn.ASME J Eg M t r Tc. 1 8 9，. n. a e eh ， 0 ぅ 9 . [9 EF Rbci a d J . Saly Tas 1] .. yik n . 0 1618) 0(96. A) 450 626718)， [0 富島俊彦，矢田敏夫，日本機械学会論文集( 編 5-0 ， 4-4(98. 1] 1 [1 Z G oa dT M r ，rn.ASME J A p Mc. 5 585318) 1] . a n . u a Tas 1 ， p . eh 6 0-1(99. . l ぅぅ [2 H K g c i T Tms註maa dT Y d ，叫 J rs Vs Ppn ， 4 4-619) 1] . o u h ， . oil 1 n . a a 1 .Pe. e. iig 4 ぅ 96(90 [3 久保司郎，辻昌宏，大路清嗣，日本機械学会論文集( 編 5-0 ，828918) 1] 1 A) 451 9-9(98. ぅ . t I. o f n aiu a d aiu t . [4 K Oj ， K b a d .Tui Ftge 0 4h n C n o Ftge n Ftge 1] . hi S u o n M sj， aiu 9 1 Trsod V lV，3728(90. hehl oI 27-3219) . う ' 円うう [5 S K 0ぅ S i a a s ，.Tui n K Oj ， rc 2 d n Cn.Ivre rbes 1] . 山 1 .H r m t uM sj a d . hi " o. n I. of nes Polm P t .D . i Egneig T e r a dPatc ( e a n y e ) EgneigFudto ， n niern: h o y n rcie D l u aぅ d ぅ niern onain ASME 272419) 3-4(98. 円う o9-0 [6 苫米地重尚，久保司郎，辻昌宏，山本成人，日本機械学会講演論文集， N.61 ぅ 1] 1 V . 535419) o A 3-3(96 . l う[7 T Ksi Z Mtlk凶久 7-，525918) 1] . ih， ealu 1 . 67 1 1(95. 明 A 453 39 [8 久保司郎，大中幸三郎，大路湾嗣，日本機械学会論文集( 編)，5-0 ， 121] 1 13(98. 3418)[ 9 久保司郎，大中幸三郎，大路清嗣，日本機械学会論文集( 編)，6-7 ， 131] 1 A 055 68 14(94. 6319)[ 0 S K b a dK Oj ，nes Polm i EgneigMcais HD B ie a 1 ] . u o n . hi Ivre rbes n niern ehnc ，.. u t . 2 l e ，a k m ，8-9(94. d B l e a 292319) . [ 1 上田 1] 2 整，日本機械学会論文集( 編， 5-0 ，686118) A) 450 3-4(98 ぅ 9 [ 2 A N g m t u J M 1 J 3 ，5618) 1 ] . a a a s ， S E 凶. . 0 12( 7. 2 [ 3 村上章，長谷川高士，土木学会論文集， 1] 2 う 3 8118 272518) 8 ・ 1-ぅ 2-3 ( 7. 9 [ 4 W M G C u a e PJG crusa dJD Jnsn C m u e sa dSrc. 3 ， 1 ] . . . o r g ...Sher n .. ase ， o p t r n tut ， 4 2 2119) 3(90 [ 5 久保，大路，日本機械学会論文集( 編 5 ，25(91 1] 2 A)， 7 2719) 2 8 1 E A ハU E A [ 6 S K b ，. Oj a dK Knsi "町 es rbes ( K 1 ] . u o K hi n . oih 1 rePolm" S 由 2 . AlnaTcnlg Pb tat ehooy u. ぅ 0ぅ e ) 2219) d ，1(93 . う A) 2 1 ( 6. 9 [7 古口日出男，南雲悦男，日本機械学会論文集( 編， 6 ，5319) 1] 2 o9-0 [ 8 井原郁夫，古口日出男，相津龍彦，木原語三，日本機械学会講演論文集， N.61 ， 1] 2 V . ぅ 5519) o A 3(96 l o9-0 o A l [ 9 T m sN v t y 1 ] o a o o nヲ松本英治，柴田俊忍，日本機械学会講演論文集， N.61 V . 2 5919) 2(96 ぅう ぅ y . t l i [0 Y..Y n v k e ， 1.J Eg S. 3 ， 2119) 1] uG a o s. ta n . n. c ， 4 12(96 3 [ 1 O Goaia dJC Gln 1vrePolm i Egneig T e r a dPatc 1 ] . hut n .. ei nes rbes n niern: h o y n rcie 3 . (.Dluaん .Jrya dK A W o b r e ) 1519) EgneigFudD eanJ Y an n . . o d u y d 1(98 niern ona E to， in ASM. ぅヲ ぅ ヲ [2 ZiigZ ua dMcalLn 1vrePolm i Eg ，，4(96. 1] hqn o n ihe ik nes rbes n n. 3 1519) 3 う[ 3 久保司郎，大路清嗣，塩尻明夫，日本機械学会論文集( 編 5 ，25(91. 1] 3 A)， 7 2019)[ 4 SioK b ， i叫 sg hi a dA i S o r， nes Polm i Egneig 1 ] hr u o KJ uuOj ， n k o h j i 1vre rbes n niern 3 ii T e r a dPatc Es .Zbrs K A o d u ya dM R y a d ASME h o y n rcie d.N aaa ヲ . .W o b r n . a n u ， 232919) 8-8(93 うう [ 5 Sio u o Kj F k m t a dKytuuOj， vrePolm i Egneig 1 ] hr K b ，oi u u o o n iosg hi 1 es rbes n niern: 3 n T e r a dPatc，d. D D l u a.Y Jrya dK A W o b r ， h o y n rcie Es . e a nyヲ. an n . . o d u y ASME 252219) 4 5(98 ヲう 同 2 9 12 0 逆問題の解の直接再構成池畠優群馬大学工学部共通講座 3681 群馬県桐生市天神町一丁目 7-55 5 1 番号 2005 9 6日年 月目次序 第一章体積(面積)のある不連続性を抽出するとと 1境界値逆問題の原型 1.1.支配方程式の導出 12 Drclt N u a n写像 .. iihe目印刷 e m n 2回い込み法と不連続性の凸包の抽出 21.固い込み法の始まり . 2 . 単純化された囲い込み法 . 2 3探針法と不連続性そのものの抽出 31.針と針列 . 32 ..探針法の A 面 33 探針法の B 面 .. 4固い込み法と Mta- eHr 関数 itg L fe の 41.固い込み法の一般化 . 4 . M t a - e e の関数の漸近挙動 . i t g L田 r 2 43 ..不連続性の可視部の抽出 5因数分解法 51.因数分解公式 . 5 . 因数分解公式の一つの帰結 . 2 第二章体積(面積)のない不連続性を抽出するとと 6探針法と亀裂の逆問題 61.亀裂の逆問題 . 6 . 指示列および指示関数 . 2 63 反射解の爆発 .. 7固い込み法と逆散乱問題 71.体積のない障害物による音波の逆散乱問題 . 7 .散乱振幅から凸包を抽出するとと . 2 7 . Hrlt の波動関数、 V k a . egoz 3 e u 変換および指示関数の漸近展開 7 .4.視野が限定されたときの先験情報の役割文献 1 ハU つり 1 E A 序 逆問題の研究者の最終目標は何か。それは観測データから未知のものの情報を抽出すこする)である。逆問題を研究するもること(これを単に逆問題の解の再構成ということ L のはこれを片時も忘れてはならない。言い換えれば、今自分がやっていることがその最終目標にどのようにかかわるのかを常に意識し自問自答することが必要とされる。逆問題の数学的研究はいくつかの段階に分かれるという。第一段階は、観測データと未知のものの数学モデルの設定。観測データは物理量で与えられる故、多くのモデルは支配方程式と呼ばれる偏微分方程式で記述され、観測データはその解を使って、未知のものはその偏微分方程式の境界条件、係数、解のある場所での値などとしてモデルに取り込まれる。このときの観測データを理想化された観測データと呼ぶことにする。第二段階は、通常は、この数学モデルの中で、理想化された観測データが未知のものを一意的に決定するかという逆問題の解の一意性の問題、さらには理想化された観測データが互いに何らかの意味で近ければ、それを産み出すもととなっ』た未知のもの同土も何らかの意味で近いかという逆問題の解の安定性の問題に取り組むことである。これらの問題の理解および解は、適切な評価関数と正則化パラメタの選択に知見を与え、それを使った、最終目標である逆問題の解の構成につながるというのがその研究の意義である。解は、解の候補者からなる適当なクラスで、選択された評価関数を最適化するものとして与えられる。この研究の進め方は、普遍性があり、個々の逆問題の個性に左右されないとう利点がある。もちろん、一意性と安定性の問題の解決自体には個々の逆問題の個性の把握が必要であることは言うまでもない。この進め方は逆問題の解の間接再構成呼んでもよいと思われる。一方、この講義では、上述の第二段階に、逆問題の解の情報を理想化された観測データから直接解析的に抽出する公式(解の情報の抽出公式)の発見をもってくる。これはその公式にあらわれる解の情報が理想化された観測データからどのように決定されるのかというからくりを明らかにする。例をあげるまでもなく、このような公式を得ることはおよそ逆問題の研究者の夢ではないだろうか。例え一意性がなくても、解の情報の一部でも抽出できれば有用であることは明らかであろう。ただし、これで終わりではない。実際の観測データは誤差やノイズが混入しており、それをそのまま公式に代入しても、途中で計算が破綻する。これが逆問題の特徴の一つの表現であり、逆問題の解の間接再構成においても同じ問題が発生し、いつ計算老止めるかが重要になってくる。これは公式の正則化の問題であり、逆問題の解の間接再構成における評価関数の正則化に対応している。この講義ではこの進め方を逆問題の解の直接再構成と呼ぶことにする。ただこの進め方は逆問題の解の情報の抽出公式の発見がなければなにも始まらないことはいうまでもない。しかし、これは、個々の逆問題の個性在、もっと深く把握しようという方向の研究も促す。個々の逆問題を、あたかも個々の特殊関数と思い、その個性を追求する。その結晶化したものが、解の情報の抽出公式ではないだろうか。このほぼ十年間、逆問題の研究とくに、亀裂、障害物、介在物、空洞などの媒質中の不連続性の抽出問題に関する研究が大きく変貌した。従来はこの解の間接再構成の研究がほとんどで、あった。その代表的な文献として、 Aesnrn- ieeet [、Iao[2 、 lsadiiD B n d t o] skv5] 2 Fida-skv5] F i d a -oeis2]らの論文があげられるであろう。しかし今や remnIao[2 、 re m n Vglu[0 解の直接再構成の研究が雨後の竹の子のようにあらわれて群雄割拠(?)の戦国時代の様相 97 月仮想的な針(探針)をを呈し、まさに室町幕府は崩壊したのである。著者は 19 年 4 つかって不連続性を抽出するアイデアを発見しそれを探針法と名づけた。これ老まとめた論文は、好余曲折老経て翌年偏微分方程式に関する専門誌 C m . PD om E.に掲載され 2 14 0 た (4 。またこのアイデアを障害物による音波の散乱の逆問題ヘ応用し、入射波として[] 2)平面波老与える場合を扱った論文がその年逆問題に関する専門誌 IvrePolm に掲 nes rbes 載され(5 、少し遅れて、点源を発する球面波を入射波とした場合を扱った論文が波動[] 2)現象の専門誌 W V M T O に掲載された(6 。これは凸性などの条件を仮定するこ A E O I N [] 2)となしに障害物そのものの再構成公式を与える世界で最初のものであり、著者のこの問題における研究状況に対する長年の知的欲求不満の解消になった。しかし、批判もあった。それは探針法の基礎が R n e u g の近似定理で、あって、構成的ではないのではという指摘である。批判者が言う構成的であるととの定義を私は知らないが、 19 年、不連続性 98 の凸包を R n e u g の近似定理を使用しないで抽出する方法として、著者は固い込み法を提唱した(9 。この聞い込み法の考え方は、 SletrUlan6]によって構成された、[] 2) yvse- hmn[9 定常 S h o i g r c r d n e 方程式の複素幾何光学解( o p e goercl pisslto) C m l x emtia otc ouin の、新しい応用を与え、それは逆源泉問題[] 2 や定常 Sh凸 igr 8 crdne 方程式に対する C u h 問題 acy [ 5 へも応用された。 3 1 4 ] 20 年頃までのこの二つの方法の研究状況については、東京都立大学での集中講義を 00 まとめたノート[ を見られたい。不思議なことに、時期的に非常に近接して、他のいく 3 0 ]つかの基本的アイデアも提唱された。障害物による音波などの散乱問題において提唱された Krc の因数分解法(atrzto e h d []あるいは Pths の特異源泉法 ish Fcoiainm t o )5 4 otat (iglrs u c sm t o ) 6 ]などがそれである。現在特異源泉法は探針法の、この Snua o r e e h d [ 6 講義で説明するところの A面と本質的には同じであることがわかっている。なお初期に提唱された Clo-ish L n a a p i gm t o [ otnKrc の i e rs m l n e h d l1]はその数学的正当化に問題があったが、最近 T o 1 i []により満足のゆく形に正当化された。 l7 この講義はノート[ の続編に位置づけられるであろう。そしてこの講義の構成であ 3 0 ]るが、大きく二つに分けてある。第一章では、空洞のような体積をもった不連続性を観測データから抽出する問題をとりあげ、囲い込み法、探針法および因数分解法について、解説した。支配方程式は L p a e alc 方程式であり、いきなり問題に入っていけてかつアイデアの核心が掴みやすいということで、この問題を選択したが、最低限必要な順問題についての知識については、簡単にまとめておいた。トレース定理についてはそれが正しく使えればよしとし、必要があれば例えば Givr[1 の本を参照すればよい。一節および二節の内容のいくつかの部分はノー rsad2]ト[にもふくまれているが、支配方程式の導出についての簡単な説明そして単純化され 3 0 ][] 2)た固い込み法(7 のキーとなる補題の幾分くどい証明はそのノートにはふくまれていな 3 9 ]い。また最近の成果[ で得られた知見として、スペクトルの逆問題への応用についての注意も与えておいた。三節の探針法は、最近出版した探針法の見直しに関する論文[] 4 で 3 3 0 2 4 ]得られた新しい知見にもとづいて書かれていて、[]とは異なる。[ の探針法は、この講義によれば二つの側面の一つしか見ていなかったことがわかるであろう四節では、固い込み法の一般化についての成果(0 [] 4)を紹介する。 M t a - eHr i t g L fe の関数の漸近挙動についての証明と不連続性の抽出公式の証明を詳細に記述した。前者は B t m n a e a の有名 3 ]な本[ を参考にしたことを注意しておこう。著者は数年前までこの特殊関数の名前すら知らなかったのであるが、東大の図書館でウズベキスタンの Y r u h m d v Lpae a m k a e o の alc 方程式に対する C u h 問題についての、およそ現代の数学とは全く対極的な異色の論文 acy [を偶然見つけ、その存在と性質を知ることとなった。なお彼の興味深い研究結果は、 7 5 ][]で、囲い込み法と組み合わせられて、介在物の抽出問題ヘ応用された。 Mta-e 3 3 itgL田町の関数はおよそ百年前に Mta-efe により導入され、指数関数のある意味での一般化 itgLfir で、実は確率論や積分方程式などへの応用もあることを後で知ったが、このような問題に応用できたことは、著者にとって、大変な喜びで、あった。さて、この講義の目的は先端的話題を紹介することで、あった。それゆえ、探針法や閤い込う O 3 ハU Uに 1 E A み法と対照的な、 Krc によって導入された因数分解法についての解説を含まなければ完 ish 全ではないであろう。五節では、彼の方法を空洞の問題に適用し、その中心である因数分解公式の導出方法とその使い方に絞って解説した。第二章は、探針法および囲い込み法を、亀裂のような体積がない不連続性を観測データから抽出する問題をとりあげた。六節で、は亀裂の逆問題ヘ探針法を応用した。亀裂は体積がないぶん、そのままでは困難が増すが、うまい試験関数の選択により切り抜けられることを示した。ここはプレプリント[]にもとづいていること老注意しておこう。七節で 4 5 は、固い込み法在、体積のない障害物による、音波の散乱の逆問題ヘ応用した。支配方程式が Lpae alc から Hlhlz emot にかわっただけと思われるかもしれないが、そのままでは解析は格段に複雑になることがわかる。ところがパラメタのうまい変更により、結果としてすべてがうまくいった。この辺はまさに、初等幾何学におけるうまい補助線の発見の喜びに通じるものであった。さらに古典的な V k a e u の変換公式、 Hrlt の波動関数などが egoz からみ、この種の問題における基本的な部分の紹介にもなったのではないかと思っているが、いかがであろうか。ただこの節では肝心の部分の証明は省略しているので、興味のある方は原論文[]およびフレプリント[]にあたっていただきたい。 3 9 4 1 いくつかの節の終わりには、著者が、常日頃、その解答を知りたい問題について、そのうちのいくつかを注意しておいた。この機会を通じてそれらについて何かみなさんから知見が得られれば幸いである。探針法および囲い込み法は、すでに、共同研究者、他のグループらにより数値実験がなされ( 1，8 4 4 ，0 、他の問題へ応用され( 3 6 ，4 、[ 0 1，7 9 5 ) 6 ][ ，3 6 ) 5 ]第三者による Sre ppr6]も存在する。さらに、この考え方を基礎にした論文もあら uvy ae[7 われている(5 。このように、探針法と固い込み法の考え方は、受け入れられつつある[] 6)ようにみえる。ヲ ぅ 2005 6 30日桐 生に て年 月第一章体積(面積)のある不連続性を抽出することこの章では与えられた物体内に発生した空洞のような体積(面積)のある欠陥の位置や形についての情報を観測データから抽出する公式とその背後にある考え方を具体的な境界値逆問題を通して紹介する。 1 境界値逆問題の原型この節では、電荷が動くことのできる物体すなわち導体の内部に何等かの理由で発生した空洞の位置および形状を物体表面を通して与えられた定常電流密度と対応する表面電位から抽出する問題を Drcltt N u a n写像を使って定式化する。 iihe-o e m n 1.1.支配方程式の導出、 、出発点は M x e l a w l の方程式系である。空洞がない場合の導体を Q であらわす。ρ E μおよび J でそれぞれ、その導体まで込めた空間の電荷密度(hredniy、誘電率 cag est)( e r pritvt) e c i emtiiy、透磁率(antcpreblt) ltc mgei emaiiy および電流密度(urn)をあら cret わす。電磁気学によればこのとき発生した電場 E e c i fl (l t c id e r e)および磁場 H m g e i (antc fl id e)は次の M x e l a w l の方程式系を満たす。聞 ・ (E =マ E)ρ 4 ぅ (1 1) . 16 0 マ Ez 1 ( H ×-1μ) δ t マμH =0 . )， (ぅ (2 1) . (3 1) . マ H z Jt 1 1 ( E E )( 1 4 )× +δ ( 1は G u sの則 ( .)は Frdy 法、 1 3 1 ) as 法、 1 2 . aaa の則 ( .)は磁気単極子の非存在、(1.)は 4 A p r の法別である。(1.)と 1 1 mee 4 ( . )より電荷保存の法則マ J 三ρ=0 .十δ t (5 1) . を得る。いま電場、磁場、電流密度および電荷密度すべて時聞に関して一定であるとする。このとき(1.) 5から、 、マ J=0 . 、/4 ‘1 1よ 2 ￡ ノυ. ， s を得る。これが Krho ich旺の法別である。一方(1.)よ 2 りマxE=O を得る。このとき E=-7 てu を満たす U が存在する。ここで導体内部で Ohm の法則(7 1) . J=σE (8 1) . が成り立っていると仮定する(いいかえればこの法則が成り立つ導体を考えている)。σ はこの導体の導電率(odciiy 呼れ 。 1 6、1 7 おび 1 8 より導体内部に cnutvt)とば る( .)(.)よ ( .)おける導電場の方程式¥. マ= i O 7σ u 0 n (9 1) . を得る。このとき導体表面における電流密度は j =一σ7 ・θQ ¥叶 u で与えられる。ここでνは a に対する外向き単位法線ヴ、ェクトル場である o o ( laeptnil v tg oeta)と呼ばれ、導体表面における電位は o U は電位 f u θQ =l で与えられる。σ に対する正値性の仮定のもとで、導体表面における電位は導体表面における電流密度を一意的に決定する。この講義では、対応 f→ j ←を導電率σの導体 Qに対する Drcltt N u a n iihe-o e m n 写像と呼び A であらわす。今から 4 σ半世紀前数学者 APCleo ..adrn は A によってσが一意的に決定されるかそして決定されるときどのようにσを A を、 σσ 使って計算するかという問題を定式化した(]。この Cle白の問題は、その導出から[) 8 adr わかるように、導体表面における電位と電流密度分布から導体内部の導電率を知ろうとする電気インピーダンストモグラフィの連続体モデルの基礎にかかわり、その後の展開が示すように(3 、数学としてみても極めて興味深い問題である。[] 7)さてこの第一章では既知の導電率σ老持った導体内部に、なんらかの理由で発生した空洞 D について、その位置と形についての情報を導体表面における電位と電流密度分布血 5 ハU 円t 1 E A から知ろうとする問題を取り上げる。σは空洞発生前の導体の導電率である。空洞の表面δD 老通して電荷の出入りがないということを仮定するとδD における境界条件- てu ν=0o δD σ 7. n を得る。このとき(1.) 9からヤ σl = 0i O D ・¥ u n¥(1 10 .)を得る。これは形式的には Cleo adrnの問題において、 D上σ=0とすることに対応する。これは D は極端に電流が流れにくい領域であることを意味する。σに対する口¥万における正値性の仮定のもとで、この場合も導体表面における電位は導体表面における電流密度を一意的に決定する。このとき対応 f→ j老 D i l -o ト ice t rht Nuan e m n 写像と呼び A であらわす。 D この章を通して我々は、次の問題在追及する。・導電率σ は一定の定数で既知であるとする。 A から D についての位置あるいは形 D についての情報を抽出すること。こ と、 (1 のき 1 0 Lpae . )は alc 方程式ムu=0i O 万 n¥となる。この講義では、この問題の 2 次元版を考える。同じ記号を使用することにすると、この場合 Q は導体の注目している断面となり、電流密度のこの断面に垂直方向の成次元の問題が得られる。分は無視できるとして対応する 2 12 D r c l t t - e m n .. i i h e - o N u a n写像は単に漠然と導体の注目している断面としさてこれからさきは数学の出番である。 o たが、数学の言葉ではっきりとその居場所を規定しよう。この章を通して、口はその境界が Lpciz isht である R2の中の有界な領域(連結開集合)であるとする。その中に含まれ D る未知の空洞の断面 D は Q の開集合でその閉包 D が Qに含まれ、 Q¥が連結であると仮定する。そしてさらに、 D は、その閉包が互いに素である、 Lpciz isht 境界をもっ有界な領域の有限個の和集合 D =DlU . U N . . D (¥で与えられていると仮定する。ν Q ¥百に対するδ 0 万)上の外向き単位法線ヴ、ェクで トル場をあらわす。こ で、 Lpae こは alc 方程式に対する二つの境界値問題の弱解の定義を与え、その存在と一意性についての知見老述べる。ε /δ)対 H(¥ 定義1.1.与えられた f H1 2(口 にし U ε l O 万)が次の境界値問題ムu=0i O D n ¥ n O スぴ 包一 ν 一 一 n u 。 円 o n う D 、ゐ，ノ 、-、， t i / l， 1 5 4 z u=f n Q o δの弱解であるとは、 uのδ 口上へのトレースが f と一致しかっそのδQ 上へのトレースが消えるすべてのψ H ( D に対してε 1 口¥) J¥ nD lー uて7px=0 マ・ cd 6 18 0 が成り立っときをいう。また vE H1(が次の境界値問題 O )ム 二 on ，む iO (1 12 .)り = oδ fno の弱解であるとは、υのδ 口上へのトレースが f と一致しかっそのδ 口上へのトレースが 1 O に対してε )消えるすべてのψ H (か cd り px マ=0 が成り立つときをいう。境界値問題(1.1、 1 1 それぞれのの弱解の存在と一意性は基本的であり以下のよ 1 ( .2 )) うにまとめられる。命題1.1.与えられた f H12δε /( 口)に対しμ 2 の弱解υ H1 O が唯一つ存在する。 1)ε () さに f ら、 には独立な正の定数 C = C ( 1 1 口)が存在して評価 1 IH() fl θ I/￨ IlO 壬 C1 I 2 0 川 H()( 1) 13 . が成り立つ。 2 2 εH1 ( 0 にし 1 1)/ δ) 対( . 1 の弱解 u H (¥ ε 1 O 万)が唯一つ存在す命題1.. 与えられた f には独立な正の定数 C = C D が存在して評価()る。さらに、 f 2 I u 叶 H(¥ l - IlO百)三 C21 υ L () 12 D 1 マ (1 14 . )が成り立つ。ととに vE H1 O は f () に対するμ1) .2 の弱解である。 iihe o N u a n さて Drcltt - e m n 写像を定義し、この章を通して考察される逆問題を定式化しうよ。定義 12fεH12(口)を任意に与える。 .. /δ 12 δ) ( H /( 0 上の有界線形汎関数 A f 1 ) o 老公式時 / v マd ，9εH =マ . η x JO 12 /(δ) 0 により定義する。ここで、りεH1 O は 1 1 の解 よ、 η H1 O はそのδ 上へのト( ( .2 弱お びε )) () Q レースが gである任意の関数である。写{象 f ← A fを背景になる Drcltt- e m n → o iihe-oN u a n 写像と呼ぶことにする。( H1 2( 0 上の有界線形汎関数¥f 2 /δ)) i を公式 D AUわ d ，9εH =J x 12 /(的)により定義する。ここで uE H1 O は 1 1 の弱解およびψ H1(¥ )はそのδ 上へ()( .1 )ξ OD Q のトレースが gである任意の関数である。写像 f→ A f ト D を単に Drcltt- e m n iihe-oN u a n 写像と呼ぶことにする。 7 19 0 も δQと f しの両方が滑らかであれば、楕円型方程式の解の境界までこめた正則性の結果の百に関するある相対近傍で滑らかであり古典的表現よ 、 U およびりの両方ともδQ り A f 2 加; D=1 A 凸 U f l d U 一円 一。 一スO ν O内。 を得るこの章ではつぎの問題を考察する。逆 題 . .A あるいはその一部から D の位置および形についての情報老抽出せよ。問 1 1 D O 2 固い込み法と不連続性の凸包の抽出次元のすべての単位ヴ、ェクトルからなる集合を S であらわす。これは原点を中心とす 2 l る単位円周と同一視される。与えられたω =(ぅ 凶) S に対しωに直交する単位ヴ、エω 1 ε l クトルは二つある。そのうちω =ω ，ω) S とく 上( 2 1ε l お。 ー( )この節では、おおきなパラメタ r >0 を持つ調和関数 V (;ω rX ) r. =ex(斗 ω+ω) が中心的役割を果たす。 21.固い込み法の始まり . 定義 21.指示関数 I r )を公式 . w;(t ω ( t=<(o A)erv(; 1 )er r・ω > I r); A - D(-tr・ω θ， t (; )n -り) により定義する。この部分節では、上で定義した指示関数のァー→∞のときの漸近挙動から D の凸包が抽出されることを示す。 D の凸包はその支持関数 h ()= sp .ωω S uX ε l Dωぅ 2ξD から次のようにもとまる:円ω S {ε 2 x ωく ε l X R1. h ()} D ω. それゆえ、 D の支持関数が指示関数から計算できることを示せばよい。 iihe-o ここで極めて有用な不等式系を述べておく。その不等式系は、背景になる Drcltt 。 iihe-o e m n 写像 A のずれを表現していて基礎的である。 Nuan e m n 写像 A と Drcltt N u a n D 命題 21.与えられた f . に対し U ε 1 D を 1 2 の弱解とする。乙のとき D のみに依 H (. ( .)) 存する正の定数 C が存在し不等式系 D k lv d 三<(o-A )， >三ら ん lv d 'l x V 2 A D fI 'l x V 2 (1 2) . が成り立つ。 8 10 1 証明 U を f に対する(1. 1 の弱解とする。 Drcltt Ne m n 写像の定義を注意深く 1) iihe-o u a n 使うと等式<(-A )，>= I~ 1(り 2x A o D !]マu ) d + lvd ー¥l x 72 (2 2) . J¥ . oD 1 JD I を得る。ここは演習問題としよう。このとき(1 は 1 1 からの直接の帰結である。 2)( .4 . )口 囲い込み法は次の定理で始まった。定理 2 .公式 . 2 l lωァ 0 o，( ) gI ; 1 27=hD(ω)う (3 2) . が成り立つ。さらに以下の主張は正しい:> D ωなば ・もし t h () ら、 そのとき TL(1=; hL7)0 -もし t h ()ら 、< Dωなば そのときア hL7)∞ L(1=;= D ωならば、そのとき-もし t h () l i ん(t >0 i z T)旦 f ;証明自明な等式 1 ァ;= e w t 川( ) '()勺 Dω一 ω( h ()' ε R T Dω 1 ;) f t L こよればすべては t h () = D ωのときを調べればよい。補助の関数 I)(= T を導入する。(1 は 2) . / 1 {- h (叫 (ω }2x ¥ e r Dω x ) d 7 ); 1 JD I)ω (h ()壬 G 1)( 三I T D ω) D ( T ; T 1)=0T)( ァ(2 (4 2) . (5 2) . と書かれる。ア-→∞のとき評価。 をみるのは容易である。 3D 上の点 X で直線 x.ω=h () o D ω上にあるものをーっとる。 D は Lpciz isht であると仮定しているから、 X を頂点に持つ有￨現開錐 C で D に含まれる o ものが存在する。このとき適当な正の定数αを取ると、 8 - 0 →のとき C と直線 x ω z . h ()-8との共通部分の長さ I n x ω h ()-8 はω で与えられる。このとき G {. } 1 D ω D ω十分大きい TO(> 0、十分小さい 8( 0 を取ると、 T 以上のすべてのァに対して 1ァの ) 0>) O ()下からの評価 1 )三 22 / e 2 (Dω)XWd ( 7 T -r h(-.)x 土 JC ミ 叶九2r81Gn x ω=h ()一抑8 { D ω主 d勾 d f 子 f 0 ε一 >(6 2) . er 8 一8 -α んf I 九 s e Q u G，δの 9 E A t E i E i を る(3 および他の主張はすべて(4 (5 および(6 からの帰結である。得 。 2) . 2 2) . . )， 2) . 口この方法は、層状に重なった導体内に埋め込まれた介在物に対する類似の問題ヘ応用され[ ，]。 3 8 ている(6 3) 2 単純化された固い込み法 . 2 前部分節では無限に多くの f に対する A f D を使って D の凸包を計算する公式を与えた。ここでは定数関数でない f を任意に与え固定し、このときの A f ら D が多角形 D か、状であるという仮定のもとで、その凸包を計算する公式を与えよう。その公式の確立に、 Lpae alc 方程式の解の角における解析が重要な役割を果たしていることをみるであろう。定義 2 .定数関数でない f H1 2( 0 を任意に与え固定する。与えられたωニ(1 ) . 2 ε/ δ)ω ぅ地ε 1およびァ( 0 に対しもう一つの指示関数を公式 8 >); a J(;)=<(-A )ぅe7 りγ・)n> wT t A o DJ -t (ω I () 2 . 7 により定義する。前部分節と異なりこの指示関数は複素数値である。 1 定義 2 .方向ωε8 が D に関して正別であるとは、。D と直線 x ω=h () . 3 . D ωが一点の . がみを共有するときを言う言い換えれば、方向ωに垂直な直線 x ω=t ω方向の無限 t ∞、= D ωのとき最初にδD にあたの彼方から下降してくるとき(=∞から t=ー) t h ()る。このとき、あたった点が一点のみであるというのが正則性の運動学的表現である。定義 24 が多角形状であるとは、 D の各連結成分 D j=1f・ N がある多角形の内 ..D j ， . 部で与えられるときを言う。この部分節では次の定理を証明する。 O ぅ定理 23 ..D は多角形状でかつ条件 d a D0をとり固定する。このと nω( )き ( 1 から評価 20 .) O ぅ J (;D (ω 7h ω )) (.4 21)一 =e 川)/ J DBx，δ n ( oη) • {匂一生}三州ω四) . ~一世 . . / U ν(+ x ) O7-8 (e r)を得る。(.3 と(.4 を注意深く適用して次の定理を得る。 21) 21)定理 26 7 -→∞のとき公式 .. J ( h (ω 7 D ;/ iO . r'. L ω r -i ，云 e2rxo'w~) v .2nxw )仰 と2 ミ F1十ん)汁入mαm e +-)e } c( . {仇 ( l m仇> =~\~ '''m!~~m_l: '¥~!(1 25 .) 7m 入が成り立つ。 1 2 14 1 証明以下の等式は各自確認されたい:ν =(i pωー (o pωonf sn )ム cs ) p s )よ i cs )ν =一( nqω十 (o qωonf q X.ωニ h ()+ sn +) X ・ω=Xo・ωi十川08(十 p r iθ p ，( 上 0 ) D ωマ = 7ω十 i 上)rx. V (ω e (これらを使えば、等式叶 ω よ er -凶 竺一T 一V )=θ 何山 よγ (n + 2C T ip ers 阿判∞S吋 r 向佃 0 付 av erDw -h()竺=Te z e o e 7 + c s ) 1 r 。 qmdTMzoq01q ναrm mA)ω (1 26 .)を る( 1 と( 1 から、任意に固定した l 得。 23 .) 26 .)に対してァー→∞のとき評価 l- h ( e r Dω) 人 -主か(州 =() ( u X ; O土(1 27 .) l - h () e r Dωえ一目(-1)m1Jm)bMdS120() (三 u 科土 J(ぅh () ωt D ω) を る( 1 、( 1 および( 1 から漸近式得 。 24 26 .) .) 27 .)=品一 ei Z 7 2 0 (1 28 .)山一を得る。ここでみ (，= 78 )とおいた。これは 1An ' re ' r Tγ( s …叫T ぅ。=川 J ( j =(Mm)AVV(S 向。 )伽 mT)「 山ェ ー 1 入m ∞ω入 e ( 8 代0 8 d - 7(+ =∞ ωァ (+ ) m 凹 s 十 8 )ω i n 一 1 λ)λ J O JT η I I 叫 e ( 8 io ed s +c )ω i n s 日と書いて、公式 j ω=wsn8io 匂ω =i 号= 旬。λ f1+入m ∞λe(i + s c e入 e ' =() J O および評価 pvM 叫 1 3 E A t E i d =ω 0( 7 00 ) uにを使えば、 r →∞のとき 7 に関して急減少の項を法として r-P mr8 = "~ e'J(， ) eé~λ:n e iO λ '" r1 (+入m ) 7入間 _-， ""'1 +( ー)¥¥ O ァ∞を得る。これと(.8 から(.5 が成り立つことが結論される。 2 ) 1 21)口 この定理と自明な等式 J(;)=e ( h ω) w ; D () V ε R wrt - t D )( h ω) t T -( Jr (.9 21)からただちに( 9 が導かれるわけではない。(.5 が保証するのは、ω ( h () が r2) . 2 ) 1 J r D ω); →∞のとき高々代数的に減衰するというにすぎない。指数的減衰も高々代数的減衰であるから、このままでは t=O または tム ， q e q ι F p、八 m + J ' 、、 t t 、 、 m t a E ， e L ノ e G A A 、 -n u 市、 冒﹀ 一 一 g J r E B E E f E t A w k う t が無理数、 1 i + / 、 ' 、 I α + 、 . ，ノ 7 0 一 つ一 制 tム E 、 ・﹀•• E J t が有理数。(2 23 .)さてすべての m>に対して 2 α{'λ+(1m'入r =0 mePr -)eQ n n }が成り立っと仮定しよう。 t が無理数であるとき。( 2 からすべての m 三2 対て αm=0 23 .)( )にし 、を得る。このとき命題 24 ( 1 から u Bη(円 (¥ .の 2 1 .)は 2 x o 0 万)で定数関数であることがわかる。 Lpae ) alc 方程式に対する一意接続定理によれば uは Q¥万全体で定数関数でなければならずしたがってf も定数関数でなければならない。 t が有理数であるとき。( 2 20 . )によれば、 m ヂ 1 l +) l 12r+( bぅ= ぅα ならばα m=O を得る。再び( 1 によればこのとき U は 21 .)川=会)長…ぅ a l r叫と展開される。( 1 を用いると、この右辺は B η(に含まれる R2の任意のコンパクト o ) 22 .) 2 x 集合上その項別微分までこめて一様収束する。各項は R2全体で調和であるから B η( o ) 2 x において調和である関数量(s で r) u= ui B ( n 0 D n均 x (¥ ) o )(.4 22)判TJ4)4(TJ)を満たすものが存在することを結論する。 Dは(8 を満たすと仮定しているから d a D<0 d (，口)を満たす正数 d と 2) . im < i Dδ s がれる。このとき D C B () 5 x および B ()C 0 がなりたつことに注意する。あらかじめ t o 5x t o ηを十分小さくとっておけば 2 <としてよい。 X は X ・ω=h ()η 0 o o Dω老満足しωは D に関して正別であるから、。¥に含まれる、 X を中心とする半径 d D o の二つの異なった半開でそれら二つの半開円板と B η()との和 o 円板が存在する。それらを取って固定する。 s 2 X 集合をあらわし、 S Sの X のまわりでの回転 jで o πj )。 s+2 (-1 ←→ α一一一一一ーヲ 1= 1 5 E A t E i 円 t による{象をあらわそうここで次の二つを注意する:( 任意の jkに対して S円 S は連結で、ある; 1 )ぅ j k O ( B X =SUS U.. S 2 dO )( ) l 2 .U a (は明らかであるが、しかし、( はそんなに自明であるとは思えない。ここでは念のた 1 ) 2 )めその証明の詳細を述べよう最初に Xを中心とする別の極座標( 。で O r)ぅ O S ByO U{， /πと<7< 0 2η~ r d = 2()( 7 rX r9 ) 9 ，< }とS を表示するものをとる。ここに 1 と<2 く。このときめは S=ByO U{ヲ /ーバ+一( 1 <7<一( 1，三γ 三 2 r ε ' ぅ。 αおよび d壬 2 一π πとが成り立つからぞα-1 ーさ(α-1 () じ) 一 ( 2 π代)=~(ごαーわα 0 を得る。これはα が集合{ =1 . α7 く守(-) の要素であることを導き、したがっ j ，，/9 . . j 1}てこの集合は空でないことがわかる。したがってその最小元 j =m n j=1 ・α 7 <竺( 1} O i{，ぅ/ 9 ・・ j-) αが存在する。 J は 1 j ~αを満たす。 Jo の最小性に注意すると、 o 三O “‘ . 針、 ・っ 一 A ﹀ U 一 α 4n Ju S F ' = (301)-T 守二一πい-~. π ご-)( α 2 (- 1+ j )~τ一一 o >吋+さ仇-) 1 を得る。これは( ) S であることを与えしたがって(.5 は証明された。 rε j 。ぅ o 2 ) 2 1 6 E A t E i o口さてこれ以降は、[ で逆問題の解の一意性の証明で用いられた、( 2 を満たす調和関 1 9 ] 24 .)数から出発する調和拡張のアイデアを適用する。まず S上で関数 dを以下のように定義する: uX =< ')( l() XεS¥B () Ux ，勾 X. O uは長の調和拡張であるから dが Sで調和であることは明らかである S 上で関数を以下のように定義する: 3 rX u)( ヲ Zξ BJO 2() TX ヲ u ; O u S で調和であることは言うまでもない。; 3 が，~(r， 0 =U γぅO ) ' 一一一一一)OS ( nj α・ 2 (-1 πj ) Bη()C S n k O j S および( 2 から任意の jk~こ対して u;と叫は B2η(XO)上一致するこ 24 .)， 2X とがわかる。 S n kは連結であるから、 Lpae j S alc 方程式に対する一意接続定理により吋と 叫は め円 S 上一致しなければならない。この性質は U= S 上で関数 u が k jl j " u " 吋oS ，=1' nj j ， " によりうまく定義されることを導く o u は調和でありかつ u と B(O D 上一致する o " dX)¥ D C B(O =S U 2 " U aかつ B(O ¥ dX) lSU ， S dX)万は連結であるから、 u は U の B(O ¥ " dX)万 から B(O 上への調和拡張になっている。 dX) lを l 。上で関数 ul; Zξ B x ， do ()(u μZ "刈( )う ω u " F ぺ i吋叫Z )， Xε Q B(O ¥ dX) l l により定義する o ulは 0 で調和かつ U と D の外部で一致する。いま、万のある近傍で守二 1 を満たしかつ s p 宙 C Bd(XO)である守εc~(n)をとる。(1. 11)の弱解の定義 up か、ら 0Luマi =J (! f ul l) ld 北 = E t V L 川 ( ul マ i l) f ! nul マ申ピl加 1 l (iul ¥ l 何 " l f !川 F 二一一 L ♂ 包" マd . 仇山 ¥ul ¥u l 附 l/仇l ど L ' " を得る O したがってがFは D の各連結成分上定数であることがわかる。再び一意接続定理を使えば f は定数でなければならないことが結論される。口 補題 27 . は最小元 m = m n m三 2 α{仲* i { 1 m ♂間+ -)eQ= IO (lm'入}} の存在を保証する。( 1 の右辺は m = m *から始まるからァー→∞のとき 25 .) 1( Dω)7=→ 1 サ() A *; ω 1 ~I ~缶払(1 十入*)α*ελル町 r 吋 m 1mか同 附ル 寸やP 川{ 戸 Lθ中 Z 1 7 19 1 を得る。これと(.9 から定理 23 21) . のすべての主張を得る。 2) . 4 7 公式( 9 を基礎にした不連続性についての情報を抽出するためのアルゴリズムは[]で提唱し、その数値的検証も行っている。後で分かったことであるが、計算幾何学という分野においては古くから有限個の方向に対する指示関数の誤差が混入した値から、物体の凸包の良い評価をいかに得るかという問題が研究されている( 0 6]0 ( 9 はこの問題の[ ぅ 8) 2 ) 6 . 一つの出所を提供したことになる。最後に今後の問題について述べる。定理 22は三次元においてもしかるべく形で成り . . は三次元においても D の各立つことは容易にわかる(これは演習問題とする)。定理 23 連結成分が、ある凸多面体の内部で与えられるときには成り立つと確信しているが、現在未解決である。静弾性論でも類似の問題が考えられるが特に興味があるのは定理 23 . に相当する主張がこの場合になりたっかである。これも未解決である。このように、特に、単純化された固い込み法の考え方は、主張は単純だが証明となると骨のある興味ある問題を 9の三次元版においても定理 23に類似な定 . 産み出す。なお講演者は導電場の方程式(1.)理を得ている( 1 。詳しくは、導電率σが[] 3) 1 ぅ Z ξ Q D，¥ Z σ1 ぅεD' l σx=( )σ， N X εD N という形で与えられていて、σjがすべて 1と異なる未知の正の定数で、あって、 D が多角形状かつ( 8 を満たすという仮定の下で、( 9 に棺当する公式が成り立つ。 D は背景と 2) . 2) . なる導体の導電率とは異なった導電率を持った導体であり、介在物に相当する。その公式 4 8 ]老基礎にしたアルゴリズムの数値的検証は[ ですでに報告済みである。静弾性論でも類似の問題が考えられるが、これは未解決である。無限に多くの電流密度分布に対応する、任意に固定した二点聞の電位差を観測データとしてとった問題は[]で考察されている。 3 2 層状に重なった導体内の層と層の間に発生した不完全接合部に対する類似の問題は層間剥離と関係していて興味ある問題であるが(その実験的研究は[ ，2 が味 い、 []で 6 7 興深 ) 2 ] 3 7 次元においては未解決である。二次元版を考察しその凸包を抽出する公式を与えた。 3 []では囲い込み法を音波の逆散乱問題へ応用した。補題 27 3 9 . の議論とそこで得られた計算結果( 9 の定理 4 )を組み合わせると、スペクトルの逆問題について次の定理をた[] 3 . 1 はだちに得ることができる。以下 Q および D についての設定はこの節と同じである。 k 1 O 万は Hlhlz 正で U εH (¥ )数 、 emot 方程式 2 ムU 十 ku= 0i O D n¥ス 。円 O u 一 ν 一 一 n u 。 円 o n ヲ D の非自明解であるとする。叫に対応する Hlhlz emot 方程式の解として、関数 V()= TX 2 W J をとる。これと U のδQ V(; Tx ω)=♂(叩十 iT k . V写 . )上の C u h データを使って acy J 7 ) f l(-UT--) S 4 1 = E 斗 d jθn¥8νδν rδ u_ β1 7_ 1 8 10 2 と こ。 おう 2 、 . 8 2)を たと る . 定理 2 .D は多角形状でかつ条件( 8 ;満 すす 。 k は Dのすくなくとも一つ e m n 境界条件の下で、のームの固有値ではないとする。方向ωはの連結成分における N u a n D に関して正別であるとする。乙のとき定理 23 . においてみ(ァ;を ( tで置き換え t みァ;) )た主張がなりたつ。この定理の強力なところは、 uのδ における境界条件は何も課していないということと、 Q ひとつの k だけしか使わないというところである。著者はこの定理に相当する事実は弾性波に対しても成り立っと確信しているが、依然未解決である。一般の楕円型方程式(系)の角における特異性の解析白体は豊宮な研究の蓄積(例えば G i ad 2 Kolv r vr [、侃zo 巾s 吋抱 ] 1 司に対しても、固い込み法の適用に必要なところまで知見が得られているのかどうか著者は知らない。専門家のご教示と協力を期待するところである。とはいえ、単純化された囲い込み法は、この種の研究に、逆問題の解の直接再構成への応用という新たな道を提供したことは確かであろう。ロ 3 探針法と不連続性そのものの抽出この節では空洞そのものをいかに観測データから抽出するかを問題とする。ここで紹介する探針法は、物体内に仮想的な針を侵入させてそれが未知の空洞に当たるか否かを、囲い込み法における指示関数に対応する指示列の挙動の違いによって捉えるものである。 31.針と針列 . 冒頭で述べた仮想的な針を定義しよう定義 31.任意に与えられた Q 内の点 Z ε . 口に対して、以下の条件を満たす区分的に直線であるような曲線全体σ [ 1←→古からなる集合を N であらわす::0 ] x σ 0 ε Q σ1 =xおよびすべての t ] 1に対してσt ε口( )δ ()ε0 [( ); σは写像として一対一。σ Nx在 Z を先端にもつ針と呼ぶ。ε こ針 空と 位関 をい 泊か に Dr he t のと 洞の 置係 し、 カ、 凶 c凶-O ii lt加ある。最初に R2 における Lpae alc 方程式の基本解をとるのであるが、無限に多くある。探針法では基本解ならなんでも良いので標準的な基本解 O ・ ・ぅ ヲ う ( )- o υ= l g ￨υ ￨をとる。これを使って特別な調和関数列を定義する。 . 2 およびσ N に対して H1 D の要素でかつ調和な関数からε x () 定義 3 .与えられた Z εQ なる列ご={n}が 民σ に対する針列であるとは、 Q¥(0 1 に含まれる任意に固定し v () σ[ぅ] )た R2 のコンパクト集合 K~こ対して 1_ 1 n~oo(IIVn(.) O - (-IL ()+1{( )-G.-x1 () =0 G ・xI2 K 1 山・ )マ () 日 K)} 1 が成り立つときを言うそんな都合の良い調和関数列が存在するのかという疑問は当然であるが、それは Lpae alc 方程式に対する R n e u g の近似定理の帰結である。ここでは、ある作用素の像が稿密であることを示す論法でそれを構成しよう。証明で H h - a a h a n B n c の拡張定理(選択公理と同値 []、 7 の第三章)を使うのではとのご指摘を受けそうであるが、 Hlet 0 ibr 空間の枠内であ 1 9 ︼E /っ 1 E A ょ れば、直交分解定理の使用におきかえられ、この点は避けられることを注意しておく(0 [] 7 の 6 ページ注意 3 ) 5 -。 3 命題 31.任意に与えられた Q 内の点 Z および Z を先端にもつ針σに対して、針列は存在 . す。る 証明論文[ の初期版で与えた証明を述べよう。 Q ¥(0 1 に対して、その取り尽くし 4 3 ]σ[ぅ]) 列{n を以下のようにとれる: O} .0 σ[ 1 = U O;¥(0 ]) nn ・各 O は滑らかな境界を持つ領域で、 Q¥ n n δは連結; O CO+・ n nl 1 2 a)百を内部に含む開円板 Bをとり固定する。任意に与えられた gεH-/(O に対して次の境界値問題の弱解 U =U ξ H () J B を考える: g ぅ・ ムU =一 i B 九 n ヲ(1 3) . U =O n o δB ここで九は T()=<ψδ> ψ H () 9 ￨， ε OB n gψヲ で定義される H () J B 上の有界線形汎関数である; J B は H() H () lB の要素でそのδB 上へのトレースが消えるようなもの全体からなる、 H() 1B の関部分空聞をあらわす。各 ηに対して 12 δ n K 9 uδ nεH /( O) n = gO l 12 δ) らにより H-/( 口か H1 2( O)九を定義する。/ δ n の中への有界線形作用素 K このとき集合{ n Iε 2δ) K 9 9 L( O } 1 2 δ n で調密であることを証明しよう。は H /( O)/ δ n における R e z /δ n Hlet ibr 空間 H1 2( O) i s の表現定理と車交分解定理によれば T H1 2( O εが、すべての gε 2δ)に対して L(0 ( g T =0 K )叫 うを満たすならば、そのときすべての hε 1 2( O) H /δ n に対して(，=0 hT )が成り立つことを証明することが必要十分である。ここで(ぅ)は H1 2( O)/ δ n における内積である。 H() J B 上の有界線形汎関数 Tを Tψ= ( O，) c H () ()ψ n ，p O B ￨ T δξ により定義する。さらに@ε H () J B で次の境界値問題の弱解をあらわそう:ムU =- i B 二T n う長 =O n B o δ. 2 0 12 2 そのとき仮定より 0=(n ， KgT )= (lO T = T u) u δ n )(g g ' = マ k引¥ l 吾 Ug =マ k 匂¥u x ld = (九u )= gun <，a > l = ム凶 ・・ θn S ￨d 2 0 の任意の要素であるので、 tは&0 (上消えていなければならない。関数 dは gは L δ) B¥ O で調和でδB u=O δ n 上であるから、 B¥百における Drclt iihe 問題の解の一意性によ 4は B ¥全体で消えていることがわかる。そのとき、 Lpae り 5 alc 方程式に対する一意δ δで消えなければならず、したがってδ n O 接続定理および Q¥叫の連結性から§は Q¥ n 上品工 Oをる 得。 ε J s を次のようにとる:任意に与えられた hεH12 δ0 /( 叫)に対して関数 6 H () &0 上 v h 向= ; 6は O で和 n 調。 そのとき目的の結論を以下のように得る:(T =( o， h) v n T ， l ) a =Tv ()= ¥u 愉 l k =v ム. マ¥u x=0 ld 正数からなる列 t t ，・ を意 与る 各η に対して G.-x O は H(n に属 I 2 . ・任 にえ 。， () n 1O) I 2δ) n g(;) するから、上の事実により、 L( 0 の要素 g = n ・x で評価 I n ・ x -G.-x O I/ O ，ぅを指示列と言うここにんはりn のδ 上‘へのトレースである。 0 ここで探針法とはなにかはっきり言うことができる。探針法とは多くの針に対する指示列の挙動を監視するととによって Q の内部を探査する方法である。 32 探針法の A 面 .. 指示列のη →∞のときの挙動は二つの面をもっ。ここではその一つの面を説明する。 Q 内の与えられた点 Z おび σ N に対してと= {} を(，に対する任意の針列とすよ、ξ x v xσ) n . る(2 から指示列の積分表現。 2) O I ，イ九 Jf¥D1 ω 2y+Iマnd (σ )二 I ¥ nd J D v2y x _7 l l ' l 1 を得る。ここにω η U 一%であり、 n 解である。関数ω 叫は次の境界値問題 U ε O D ( .1 )=n l n H1(¥ )は 1 1 の f v却に対する弱ムω=0i O D n¥円 山一 う b 一 一仇弘一一δ ν o n D n o ω 二二 on 口 oδのしかるべく定義された弱解になっている。この講義ではωnを V の空洞 D による反射 n 解と呼ぶ。こ で Z は D の Q における外部 Q ¥D にありかつσ N は万と共有点を持たなこ 、ε x いとする。これは導体の表面から針をさしてそれがまだ空洞の表面に到達していない状況に対応する。このとき針列はその定義から D 上 H1() D の位相で G . xに収束する。( -) 1 O 万)の位相で収ω } z ( 1 在使うと反射解の列{ n はある関数ω にη ー→∞のとき H (¥ 14 . )束する。叫は次の境界値問題のしかるべく定義された弱解である:。 ムω=0i O D， n¥う 一 二一 一ω δ((- x o a G・) n D )δνδνω =0o δ. nO こ Z ξ Q D をパラメタに持つω を空洞 D による反射解と呼ぶ。これらの事実から指の ¥ z I ，う n (σ} →∞のとき次で定義される関数に収束することがわかる。示列{x ご) は n- 2 2 1 E A ワ /︼ 4 A 定義 3 .4.探針法における指示関数 I を lx =L I ω 2y '¥( -x d ，ε Q万()= マ xd +- 7 υ W y x ¥ l I G Jl D i¥ JD により定義する。ここでω は空洞 D による反射解である。 z A 次に述べる定理は探針法の一つの側面( 面と呼ぶ)老表現している。それは、指示関数の空洞の表面における爆発とその指示関数を導体の表面から適当な針に対する指示列を使って計算する方法である。 ... 定理 32A •( l 任意に与えられた Q ¥万内の点 Z および Z を先端に持つ針σに対しでもし A) . σ仏 1 が万と共有点を持たないならば、そのとき( σに対する任意の針列とニ{n}( ]] )ι) V に対して指示列{(， とn は指示関数 lx に収束する; 1xσ) ? }()• (.)任意に国定した正数 Eに対して A2 sp u lx <∞ () d t x 万>E i (ぅ) s が成り立つ;• (.)δD A3 上の任意に与えられた点αに対して J lx =∞主 ()主 が成り立つ。 A) . A) . A) . 証明( 1 および( 2 はこの部分説の官頭で述べたことの帰結である。( 3 は自明な不等式 lx 三/ I (()マ y-xWdy xξ Q¥ G ，万 JD および事実(演習問題とする) zー UJD → lm / I (-x d =∞ i マ y Wy G からの帰結である。口 ( 2 および( 3 によれば指示関数はその値を考える点が空洞に近づ、くと大きくなる量 A) . A) . である。そこで導体の表面から針を少し侵入させ適当な針列在使って指示関数のその先端 A) . における値を( 1 を使って計算する。そしてさらに針を伸ばし同じ計算をしていくこ れを続けると針の侵入経路上に空洞があれば、針の先端が空洞に近づくに従って計算された量はやがて大きくなるであろう O そうでなければ大きくはならないであろう。これが探針法の A面から示唆される空洞の位置を探る方法ある。言うのは簡単であるが実際にやるにはいろいろ解決すべき点があるのはあきらかである。針列の構成はどうするか。理論 5 9 ]的には、針に依存した、くびれた領域における第一種の積分方程式の最小ノルム解[ の h n -i- a a u a l ]こ 数数値的構成に帰着できることは分かつていたが、最近 C e g LuN k m r [ O はの 値的構成をし、 A面から示唆される方法の数値実験老実行し、他の間接再構成方法のため radPth [] 1 の初期の推測を与えるであろうという知見を得ている。 Ehr-ot出 t 8 は、針列のより粗い数値的構成を行い、同様の数値実験を行っているが、興味ある結果を得ている。 33 探針法の B 面 .. O 2 3 1 E A ワ /︼ U に 定理 3 . の( 1 を見れば誰でも次のような疑問を抱くだろう。もし針の先端がちょ . A A) 2 . うど空洞の表面上に到達したときまたは空洞の内部に侵入したとき、さらには空洞を貫通してしまったとき、指示列はη ー→∞のときどんな挙動をするか。これは探針法の初期の段階では不聞に付されていた問題で、最近解決された。それが次の定理である。定理 32B x 0内の任意の点、σは Z を先端に持つ針とする。もし Z が Q ¥万内の点 ... はで σ O 1 と Dが共有点をもつかまたは Z が D 内の点であるならば、そのときいうりに( ，)] ]対する任意の針列 c {n に対して lm→∞ Ixσ) =∞が成り立つ。= v} in (之n ぅこの証明の核心は、針列の針上での爆発を主張する以下の二つの捕題である。最初の補題は、針列の、針の先端におけるエネルギーの爆発を主張している。 .. は v 補題 33 x Q 内の任意の点およびσは Z を先端に持つ針とする。ご= {n}をいうりに対する任意の針列とする。とのとき Z を頂点にもつ任意の有限開錐 V に対して n~oo J n !l7n(1d =∞ ¥ y2 y v ) v!が成り立つ。証明背理法による。結論が成り立たないと仮定する。このとき正数 M および自然数列町 <向 <. . →で .-∞ L n o 人 l7 。¥v J n v nj(υ2d 0 このとき 1 W 1 い dy ん川 ん( ム= かん れd んがわ y 1 2 = = I J W θ竺 dS v u v およびトレース定理から ilW いi) I( 2 三 11ud ん 21lS 三1 z 2 W)Ia L δW) 1 l θ lw 2(マ L( v1 l1 壬 C1I2)り￨l2 W 2 zI W1θ Lθ) I H 1 w (( l V 三CC1I( Iθ LθW) II2 ) vl ( ll 1 2 L W lw 2 を得る。ここで C = C ()> 0 はトレース定理からくる定数である。これは(.) 34を 2 2 W 導。く 口 2 5 17 2 二つめの補題は次のようである。補題 35 x Q 内の任意の点およびσ Z を先端に持つ針とする。ご= {n}を うσ に .. はは v い) 対する任意の針列とする。とのときσ u 1 上の任意の点 z (ぅ[ ]) および Zを中心とする任意の開円板 Bに対して A n l () 2 u ∞ L Q h U ￨ d =が成り立つ。証明りは口における任意の調和関数とする。まず粗く言って針の先端におけるヤりを使って同じ針の中間点におけるマむを下から評価することを考える O り Q における滑らかなは 関数と同一視でき、そのすべての偏導関数も調和である。 z を中心とする開円板 B でそ ' に含まれるものをとる。次に同じく z を中心とするより小さい半径を持の閉包が Bnn つ開円板 B をる W=B' " と。 および Kニ B の場合における( ) " 3 を使うと評価 . 3 2 ムマ れ) d 三 C ， 7 2d γ( 3 . 5 )￨ ( 1 y l ¥v l k を る得 。 B におけるトレース定理によれば " lγ付 n1仰 R附払V "マ川￨ m 伽恥 j BF " 2 が成り立つ。σは区分的に直線であるから、 Z を含む C 領域 Uを、その境界とδ "と B の共通部分 2三δ δ " δ " Un B が B 上、正の長さを持ちかつう d t δ¥ σ>u i (U2) s を満たすようにとれるのは明らかである。 I I の場合にさて z老中心とする開円板 BI でその閉包が Uに含まれるものをとる。 W = U 34 をう 評おける(. )使 と価 ぅ L ι H 川F 三μW1 ¥り2 υ 1吻 7叶 d マげ恥 刊壬C A l ￨ d Hub2S L か 2 () 3 . 7 " =C ， lvdS十 I l 1 d ) h l ん Wb2S (¥ 7 H ぴム σ吋ムHF 壬C ム， 'g (F JJ a B I I B におけるマりを BI におけるマりを使って ' を得る o ()() 3 、 3 および . . 5 6 次のように評価できる:() 3 を使うと、 . 7 kv仰 "り和 ヤ￨伽阿 問j 附恥 1 ，問t âU\~ F JB ヂさてυ = Vn(・)としよう。マV . が G.-x に Ho(¥(u 1)) lc0σ]，]の位相で収束す) n() マ( るのは( )( ] u ) 3 を適当な W に適用してみてとれる。δU¥2はσ]ぅ 1 から正の距離をもっ . 5 て離れているからトレース定理により l dmlbAUrdu=Ldm(u-z)￨2dU< i ∞空 2 6 18 2 (9 3) . を結論する。一方補題 3 によれば . 3 liLFhU￨d= hcPl()2u ∞(.0 31)がわかっている。したがってυ =叫 . り)に対する( 8、( 9 および(.0 より補題は証( 3) 3) . . 31)明された。口 定理 32B .. の証明を述べよう。 I σと九の発散は数列( ? x ぅ nv y 17 d ¥ l 2 nl (.1 31)の発散からただちに従うことは言うまでもない。もし Z が D 内にあれば、補題 3 から . 3 (.1 の発散を得る。もし Z がδD 31)上にあれば、 Z を頂点に持つ有限開錐 V で D に含まれるものがとれる。これはδD Lpht 正則性から結論される。再び補題 3 は(.1 のの isiz . 3 3 ) 1 万の要素でかつσ O1 円 D ヂ日のときは補題 3 を使えばよい。( ]] ) . 5 発散を導く。 Z が 0¥探針法の二つの面をひとつにまとめると、未知の空洞老指示列の挙動を使って特徴づけることができる。それが次の系である。ぅ 系 36 与えられた Q 内の点 Z が Q ¥万の要素であるための必要十分条件は Z を先端に持 .. xσ) I ，} () つ針σおよび(，に対する針列とで指示列{ 民σ cn が上に有界であるものが存在するととである。証明は演習問題とする。 3 5 探針法の A面はより複雑な問題においても適用できている。[]では弾性体中の介在 1 6 ]物を抽出する問題、[ では導体の境界条件が混合型である場合が考察されている。また[ では支配方程式が Hlhlzで D の境界条件が R b n 9 ] emot o i である場合が取り上げられた。著者はプレプリント[]で同じ問題を取り上げ、別証明を与えると同時に、 B面につい 4 4 て、ある条件のもとで、肯定的結果を与えた。 4 固い込み法と M t a - e e の関数 i t g L田 r この節では二節で紹介した囲い込み法の、その精神を生かした一般化について述べる。ここであえて一般化という言葉を使ったが、これはその内容を薄めてより広い問題へ適用できるようにするという意味ではない。真の一般化とは、以前と同じ問題にその一般化の考え方を適用したときに、以前に得られた結果以上の知見が得られるとき言う。この意味で、ここで展開される考え方は囲い込み法の一般化である。ではなぜ囲い込み法の一般化を考える必要があるのか。それは、もし空洞の連結成分が導体内に広く散らばっている場合、その凸包は導体の広い部分を占めることになりその詳細が隠れてしまうからである。もうひとつは数学的な興味である。囲い込み法は支配方程式の指数関数解の族の性質を基礎においているが、凸包以上の情報をもたらす、探針法における針列とは違った、はっきり計算できる解がないであろうか。この疑問に対する一つの答えを展開するのがこの節である。 41.固い込み法の一般化 . 複素変数 Z の整関数 E:( o z )ニ rz 1 乏 m)~or(αm+ 2 7 19 2 はMta-e itgL回目の関数と呼ばれる。αは正のパラメタで、ここでは、その動く範囲をα三 1 に制隈しておく o E (=e であり、したがって M ta- f e の関数は指数関数をその) Z itgL f r ei 1z 特別な場合として含んでいる。この節ではこれから以降はαく 1 の場合のみ考える。この/ と E()は/ 一→∞のとき、次の注目すべき漸近挙動を示すことが知られている。き az 、 z すなわち、原点を頂点にもつある角領域にとどまりつつ無限遠に向かう場合は絶対値が(指数的に)増大し、その外部にとどまりつつ無限遠に向かう場合は絶対値は(代数的に)減衰する。しかも角領域の聞き角度はパラメタα を小さくすればするほど鋭くできる。この詳細については部分節 42の補題 43 . . をみられたい。簡単に言うと、一般化された囲い込み法とは、 Mta-efe の関数のこの性質を利用し itgLfir て、未知の空洞の凸包以上の情報を抽出する方法である。では凸包以上とはどういう意味か。それをはっきり述べると次のようになる。定義 41.任意に与えられた Q 内の点が可視であるとは、その点から無限遠点まで E に . 触れることなくある直線に沿って移動で、きるときを言う。可視である点全体からなる集合()を V D であらわす。一般化された囲い込み法はこの V D を A から抽出する。() D すぐわかることは、 D内にあるどの点も可視でない。したがって VD 老知ることは次の()意味での万の上からの評価をもたらす: DcO V )¥( . D 一般には等式 D=O VD は成り立たない。できるだけ複雑な成り立つ例またはできる¥()だけ簡単な成り立たない例を与えることは演習問題とする。 x) T (; さて囲い込み法における調和関数叫( ω=eX'叶ω -L)の代わりを演じる調和関数は、 2 与えられた点 Uε R および T >0 ~こ対して 2 ぐ( y ω= E(( -) ( x ，; ) T X Y 'ω+ω上 Xε R )) ，臼 と定義される関数である。この調和関数者用いて一般化された囲い込み法における指示関数を導入する。定義 42 一般化された聞い込み法における指示関数を .. 1，))=( -A D )(ε~(・;払ω)/θn)， e~(・ ;υ3ω)/θn>ω T o 0(/-yCs1'! 2. ω X 2() x X / O l0/}( ) y 7α2 このとき、点υ が可視で、あるのは、適当なα ]， およびω S に対して{y(π /) n ε 01 [ε 1 Cωα 2 } D=O がなりたつきおよびそのときに限るのは明らかである。次の定理は、指示関数の 7 一→∞における漸近挙動から、与えられた錐 C ( ? α 2 が y ωπ/) D に触れるかどうかが分かるということを述べている。ぅ 定理 41.任意に与えられた Q 内の点υ . および方向ω に対して、指示関数 1 ，))の wT 0( T→∞のときの漸近挙動について以下が成り立つ: 2 8 10 3 -もし{ y( 3 α 2 } D 二日ならば、そのとき C ωπ/) n 7LIJ()=; h￨3)7￨0 -もし{ y(ぅπ/ ) n ヂ日および C (ぅπ/)n =日ならば、そのとき C ωα2} D D y ωα2 lEdIJ()>; ijl3)7￨O 正日ならば、そのとき-もし C ωπ/) D 1 ロ( α2 円ぅ TLIJ()= h￨3)7￨∞ この系として、系 42 公式 .. 7 一→∞における漸近挙動による特徴づけを得る。の、たくさんのω およびα ]， に対する I~， ω)( の VD 内の点υ ()ε 0 1[ 7 ) VD =U () o が成り立つ。く臼く l U ES {εn T~OO I~， w)(7)ω 1 y 1 } =O ぅ 番目の、すなわち、錐 C ωπ /) 定理 4 の 2 . 1 α 2 の閉包と D の閉包の共通部分が空でなく y(かっ同時に両方の境界点になっている点のみからなる場合の解析が最も微妙である。これをカバーで、きているのが良い点であり、したがって系 4 の公式が得られるのである。 . 2 . 1 2) . 1 命題 2 の( 1 によれば、定理 4 の証明のためには次の積分のァー→∞における対 . 応する性質を確立することが必要十分である:ヲ 2 J ，))=んマ (ω)d ( w7 y (￨ ザ川 1 x Mta L 田町の関数で直接表現するならば、等式 itg e 時) \7e ~(x; yω= 7(ω十 iω上 )E~(7(X -y ・ω i 上) (+ω) ぅ) が成り立つから、) =( 7 ゐω)げ l k l1 )( i .) x . 見(巾-y ω+ w-)2d を得る。次部分節では Mta-e i の関数の漸近挙動についての知見老述べる itgL f r fe 42 M t a - e e の関数の漸近挙動 .. i t g L田 r 次の補題が前節の冒頭で述べた Mta-e e の関数の漸近挙動の詳細である。 itgL血 r 補題 4 3 0 α 1 N 三2および R>O せ。 とよ . . <<、 O0 は t: l i C0 s )を満たすから任意に与えられた正数 K に対して正の定数 C が存在して I ::K z :;を満たすすべての z l および C上のすべての t に K 対して I Z 三 Cll t l KtK 3 が成り立つ。これは、 z がコンパクト集合を動く限り( ) 4 の右辺の積分が一様に絶対収束す . 3 ることを導きしたがって z の整関数を定義する。 l (も整関数であるから 00 0 e 最後に( 4 と反 式 4 )相 公 . fzrl z =ァ ()(- ) sn7 Z l 1 L z 0 ヂ，士山ヲ 3 0 12 3 から( 3 が成り立つことが結論される。 4) . 口( 3 から Mta L 血e の積分表示を得ょう。与えられたη ]，/および r>O 4) . itg e r ε 0π[ 2 に対して無限遠点から半直線 t ρ-(/+ )ρと T = eiπ 2 η、 上原点へ向けて出発し円周の一部 t=TP ， iπ 2 η、ρ T上無隈遠点へ到る曲 1三π2 η 0 /十 上を反時計回りに動き次に半直線 t ρ(/+ )三 1 =e ( r η) 4) . (γ η) 線を c ，であらわす。このとき( 3 の積分路 Cを c ，に変形できることは容易に田 わかり公式 r)( z -ムT)ettw ネ T に対して公式(5 4) . を得る。次の公式は Mta-e e の積分表示と呼ばれる。 itgL田 r . 5 ε 0π[ 2 命題 4 .任意に与えられたη ]，/および正数 E (=n~~ z )臼 :/ l， 1 f ' J η，] - Z c r;( )' " " ! 仁 d，I 三tz 1 et 一一一一 ， a 一一一〆 ，白 4 u T t u 1臼/ < r (6 4) . が成り立つ。証明曲線 c ，上のすべての点 t (r T) J に対してい 1 W~I が成り立つから等式< ，一Tb T b ， 白 一白 z ， l i 、 一 唱 t e 一 z p一=会) 2 m 長∞ 芝日 口 P d 一円 - を得る。右辺項別積分し、 z= m+1 αに対する( 5 を使えば(. を得る。 4) . 4) 6 補題 4 の証明を与えよう。 j=O . 3 の場合のみ与える。( 1 の証明複素数 z l g 三πα2E および I 三 Rを満たすとせよ。このとき方程 4) . は az r l (/+) z l 式 t =z l g :を満たす唯一つの解 Z /を持つ。詳しくは lrz/￨ π12εαは at : rl ;π 1. ' 0 ag1臼三(/+/)が成り立つ。この右辺がπより小さいということに E の制限 E α 2 0 と、 η=印α に対する( 6 から出発してその積分路を d をり / 4) . へ変形する。 c ，と cは被積分関数の特異点 Z /( r ' η) 1 日を囲んでいるからコーシーの積分定 4) . 理を使うとその周りの積分(7 が出てくる。他の寄与は消えることが簡単に確認できて等式 1 P a t a，一 E z 一十 I e z e ' a α -一 知 ' ' C 臼 一白 z 4 ' u w (8 4) . 3 1 つ d 円︽U を得る o d上のすべての点 t に対して P は zと異なるから、等式 N P P N p T、一 P一一 一二 一一 一 4 ' Z m = z 噌 E 4 z z N >刷一つ(9 4) . を得る。したがってη=πt および r=(/)/ R21自に対する(5、(8 および(9 から 4) 4 ) . . 4) . 等式 E (=ニ ' ーα z ) Jーヤ官 官ん N-l _-m h ~l rl a)(- m 一 n~:{ . -~)l'NlttZN 1 ( 1 -t -ed}" 2 iJ 1 l f c 唱 . . (1 40 .)。 <を る( =a g ")お 。得 。) r W zとく /次の二つの主張は丁寧に見ればわかる: t l R21臼および t c が' 上にあるならば、 0 (E-)三 1 三π 3 /+ )は α'Eπ) ( 1 (α2ε・もし I と(/)/を満たす;・もし I =(/)/ t l R21日ならば、そのとき I /l三 12 t z <> /。(' )およびπ3/+E <2πα<討を見れば、 z~こ無関係な正の定数 C仰が存α -E E π(α2 )在して HC =' ~~~ 1ーヰ￨三 C ， 1 <> ε Z (1 41 . が成り立つことが結論される。以上の議論で E およびαに対する制限 O E α 2 << /および 0<α<1 が重要であることが見てとれるであろう。( 1 および( 1 から望んだ評価 40 .) 41 .)が導かれることは言うまでもない。口 (.)の証明 Z はπα2+) 壬 lrz 壬πおよび I 三 R を満たすとせよ。 c = 42 (/ε agl z l " cπ/2)(/)/および c 上の点 tに対して()= agt/とおきその動く範囲を(ε(α，R21α) " r( z <) >が t l R21臼および紅g =/(+ /)を満たすとき 0 t π21 εα の動く範調べる。最初に、 t I 三(/)/聞を調べると以下のことがわかる:(/+) rz (π2 )( -- );/ ・もしπ α 2 ε壬a g 壬πならば、そのとき I+/ 1壬π 1 α E 2 ・もし一π壬a g 豆π α 2 εならば、そのときπ 十 3/)壬O π 1 α 2 ε 2 . r z 一(/+)( α E2 壬(+/+/)次 、 t I と( 2 /および a g =π21 Eαを満たすときを考えると以下のこに が t l R) r t ー/(+ /)とがわかる:・もしπ α 2 ε三 a g 芸作ならば、そのとき- (+ /+ /)三0 (/+) r z π1α2E2 三一πα3/)(+E2; .もし一π三 a g 三一πα2 Eならば，そのとき促/三 0 π 1 α 2 / . rz (/+ ) 2 壬( -/ -E ) 2 さらに I =( 2 /ならば Wl/<12 t l R)! z l /が成り立つ。これらの観察から、 Zに無関係な正の定数 C が存在して L ε . . <> H=C" i( . 11-与|三 C~.E p . Z (1 42 .)が成り立つことがわかる。と 。= ε/2)さて Z に対してγ>I 1 z 仰を満たす T をる ηπ (αに対する(6 を考える。 l 4) . 4) . 上の議論から(6 の被積分関数の特異点は♂およびその右側に現れない。したがって( けから♂へ変形できる。そのとき c 上の各点 t (9 が成り立つから、η " で 4) . 積分路を c? γ=(/)/ R21自に対する(5 か 4)ら . E (=-玄白一 n~;{ )~l N-l-m rlα) 2 (-m 而 1 -~_ tt>-ed}. ( 1 1，(川) i >0が成り立つ(1 0 ω吋 ことが結論される上にないときについて考える。・次に UがδD 上の点をーっとりそれこの場合が最も繊細な取り扱いを必要とする。 C (ぅπ/) aD y ωα2 n を Xo であらわす。 Xo とyは異なるから、 Xoは O O Xo sin =y十( s ω+亨 ω~)町∞守 3 3 1 E A 円 J Uにまたは X 二 o U 。∞s 打(( 一 )ω+州千)上，手 一ω)ぅ 。 と書かれるとしてよい。ここで r I -y o= x l o 。後者の場合の取り扱いは前者のそれと同じであるから前者のみについて述べる。ρ が Lpci 連続であるから、 m n α 2(- ) 2 より小さい正数ε ishz i(/ 1 α/)および D に含まれ 、 X を頂点のーっとし、他の 2 る o 頂点が X = 1 Y 十円(∞ヰ十町)ω+判子十市)ω~)ヲ X2 =y+( s 乃 c( o 守 ゆ+ r >r 2 1 で与えられる三角形(の内部)ムがとれる。各 η[ πに対してε 0E ]ぅ r ηニ . r O mε 1)( 1 sπ r r η= _ rO 2 )-. 2 s ( r r s η rs1 E η ' .， rs n + 2 i 1 o m + 1i [- ) " 叫" ' o i η rs ( E η . " n[ " ぅ(1 44 .)とおく。このときムは次のように表示される:ム ={υ+( C"，，~ rcos これを使えば評価 Jy (，+η)ω+山(..，，~παl +) -η針 π[ r()>1 および正の定数 Cはη に無関係である。今 7は T m nr r と 8 を満たすとせよ。このときすべてのγ ]( ，() i( o l ，) 0 ε r η r η[に対して 1)2 T 三 8 が成り立つから、(. ) r 0 4 5 および(. ) 1 4 6 から評価 1 Jy (， wT 三 C )) T ( o吋- 1 川/ 叩引 l: 2 α: γ; 1 :) か 1E r T1 二 Cヤ/f :e1/川 2 吋;-/α:2 1 )7 s 臼(1 47 .)三 C{ 1 T)- J() J( 2T }を る得 。 3 4 円 J 円 1 E A h u ここで C =li (， )よ C =m xr r とおく o J(は 1 nn r γお び 2 1。 a ('o 2 ) 7 2) J(= ア 7 2)ワ ん "rε L πー r η2一r η2-- 一2 l ーす}=O7:)(()一 一;" . 一τ c~一 一 2 )) <一{i 一一 d :η (l 1 ( c 1 2 1 1 π E 7 -_ 1，(1 48 .)と評価される。( 1 から等式 44 .) T (-r snElη 5 2 1 iπSn r ) r η-r η= 2) 1 )( ({ sη+2 i 1E η}r sη+1i r一η} ri o n rs (f 一){oi n n rS中 E ) I を る得 。これは 0 =(-r イ i 町/ 1 および Oくη <1E <<慌を満たすηに対して評価 ' r 1 sn 2 r 2 ) r2 f ' r η-r ηと O T をもたらす。そのとき次の評価を得る: 2) 1) ' (( } 7 J(三 72 / 1) f πε /白 1 1 d/， e2 吋η -，-T ，( 2η T ( n/ 1 "， l a . /α州 f η )// c白 i 臼 I ¥ ' 1 1 1 d r J o ' f 1 E J1() T ηニ 0 c 12< i 7// 臼 iη d n/ 2 1 (()-r1(η))e- 2T1 /α c~/'" s()η 0 rη臼 (1 49 .)/ αn s( i /と ぴ c l μ f η e 計 1サ/i 叫白 η 0 Fi 7/{1f 三Cc/ 120を導く。この事実と(.7 およ 49 .) 1ァ 41)び(.8 から望んだ結論を得る。 3 O(? α 2 n ヂ日のとき . yωπ /) D 区間] π/ ，α 2 の部分区間α ，:および正数 R 、R で包含関係- α 2 π/[[b ] 1 2 0 三υ 十 rcs ω+ iB 上 IE αぅb R 1 三γ ~ R }亡 D ' {(o B snω) B [] ， 2 が成り立つものがとれる。 c m n cs ， s )>0 とく 、( 1 から評価= i (o αc b() おと o 4) . 1 S / 1 1/c2 0 ， l α¥ IE~(seiBW 三三(-7t )寸 s三 s> 1 B [b 一， o>， E a]， 白 0 中 ι ιδ を得る。これは評価 Jy )ァ と￨ り(μ (，( )ん マ w x ; r 7l a ム￨尻(eJl rr W x=2 : J B d d 7'): d rI l ~ b r R r2 二 2 1 吋 b R2 ?E(O15s ￨;d)2d αη 三 - 7 JTRl d/臼 -le :l s./~Cds _ CC j 3 5 bα r ヲ Iv1 ' 0 / r-) 1 予 (-R~)ユR i 17 3 を導く O 今 7 を 7九三 1となるようにとる。そのとき評価(-α I b )R rR rR r2 r 2 J 21 8 /一 1 2 1 αC 三(-α l 2由 e 8 / d s b ) R 8 /ー 1e s 1白唱 ( -α b )α 2 c α R r2 d_8/ 21 JR r1 α CJ _ ー ds ニ 二竺 ε( 21 C{l_ e- 2r1 /α(R~/α-Ri/α)C}笠 並 2rR)/ 2 c を得る。これらから評価 J ，( 三 Ce(R)/ヘT>市>>1 (w T y)) '2 γ1αが得られる。これで定理 4 の証明が完了した。 . 1 口定理 4 は三次元においてもしかるべく形で成り立つであるろうが、しかし実際に確認し . 1 ているわけではない。細かい計算を実際にやってみるとよいであろう。定理 4 . 1に相当する、空洞ではなく未知の導電率をもった介在物の場合における定理は [で確立された。詳しくは、導電率σが 4 0 ] Z εQ D ¥う二 σx =<( ) l +( 1 h) x ヲ EεD という形で与えられていて、 h)、 1 h) D で正の下界をもっ未知の本質的に有( は+(が x x (がそうであるという仮定の下で、 x 界な関数で、あって、 D で正の下界をもつかまたは h)導電場の方程式(1.) 9 の二次元版においても定理 4 に類似な定理が成り立つ。[]で、 . 1 5 は 0 その定理を基礎にした介在物の位置や形についての情報を抽出するためのアルゴリズム ' を提唱し、その数値的検証を実行した o その結果、位置や個数はよく再現できるという知見を得た。我々は、この方法は、他のさまざまな間接再構成の方法ヘ良い初期推測在提供するであろうと期待している。 itg 最後に、数学的に最も興味がある問題を述べよう。その叙述は単純である。 M t a 1 2 δの、定数 L 田 e の関数を用いて定理 23 e r . 以上のことがわかるか。具体的には、 H /( n )在任意に与え固定し、 7 の関数関数でない要素 f く( -AD)fぅ e~(・;払ω) In A o δ>のァー→∞のときの挙動を明らかにせよ。 5 因数分解法 Krc[4 の因数分解法(atrzto e h d は、一言でいうと、導体そのものをそ ish5] Fcoiainm t o )の中の未知の不連続性とともに、導体の境界上のある関数空間の中に忠実にコピーし、不連続性のコピーのみを観測データの因数分解を通じて抽出する方法である。現在彼の方法はさまざまな逆散乱問題および境界値逆問題に応用されている。この節では彼のアイデアの核心部分を紹介しよう。 3 6 。 口 1 E A 円 J 51.因数分解公式 . 彼の方法は、私の見たところ、観測データとして Drcltt N u a n iihe-o e m n 写像よりは N u a n t Drclt e m n -o iihe 写像を取ったほうが自然である。そこでこの節では観測データとして N u a n t Drclt e m n -o iihe 写像をとり、まず基礎となる因数分解公式の作り方に焦点在合わせて解説する。アイデ、ア中心で、あるので、細かい関数空間の設定や定義の詳細についての記述は省略するが、それをきちんと記述することは今後の発展にとって有用と思われるので、関心のある方は良い演習問題とおもってそれを実行することをお勧めする。なお以下ではνは Q¥万における単位法線ヴェクトル場であるが、νはδQ Qに対して外向き上 であるのは以前と同じであるが、δD 上は D~こ対して外向きであるようにとってあることを注意しておく。まず背景となる N u a n t Drclt e m n -o iihe 写像 R は、。における調和関数りでそのδQ o 上へのトレースのδ 口全体での積分が消えるものに対して、ん ￨n (θ)主 =り 1 θ Q を満たすものとして定義される。次に空洞がある場合の N u a n t Drclt e m n -o iihe 写像 R は Q¥万における調和関数 uでそ D 、における法線微分が消え、さらにその 3D のδD 上へのトレースのδ 口全体での積分が消えるものに対して、 R ‘/円 u一、 一 u ，、 。 n ‘一 Q D ノ n o ， i スぴ ν d 。 を満たすものとして定義される。さて任意に与えられた、。。全体での積分が消える関数 gに対して、上の u りし 、、 とて o d 一 一円 U 。τ 一ν o Q 一 一円 U 。一 六ν O Q を満たすものをとる。 f は任意に与えられた、δ 全体での積分が消える関数とする。こ 0 のf に対して、 Qにおける調和関数 d でそのδQ 上へのトレースのδQ 全体での積分が消えかっ f=芸Q !θ を満たすものをとる。このとき部分積分によれば等式 a(! f n (1 5) . を得る。これは命題 24 (.0 に対応していることを注意する。 .の 21)上へのトレースのδD 全体における積分が消えここで D における調和関数でそのδD るもののδD における N u a n e m n データを同じくδD 上の Drclt iihe デ←タヘ対応させる作用素を A とあらわそう。このとき等式 I vS d 5. 1. ー= _ ニδD A(￨ ) D が成り立つ。些L 1I 3 D (2 5) . 3 7 19 3 次に O における調和関数のδ 口における N u a n e m n データをδDにおける N u a n emn データに対応させる作用素老 H であらわそうしたがって等式 l O Zim=H1f および(3 5) . θ =H1g 1 2 D ぅ(. 54 ) 5) 5) . . 5 )り式 . が成り立つことになる。(2 (3 および( 4 よ等 ム dS=ADHAH19dS 会 O (5 5) . を得る。ここでげは D で調和であることを使っていることを注意しよう次に w=u-vとこ 。 0 万における調和関数で、そのδ における N u a n おう ¥ 0 e m n データが消えかっそのδD 上へのトレースのδD 全体の積分が消えるものに対して、そのδD 上の N u a n e m n データを同じくδD 上の Drclt iihe データへ対応させる作用素を A であら+ わそう等式 O IwS d 一位一一 lI a D =ι(￨ )竺 ω~一(6 5) . が成り立つことは言うまでもない。 wのδD における N u a n e m n データは ZM=-Z￨θD であった。これと(3、(. )よ (6 より等式 5) 5 4 おび 5) . . A Z l D Tル- D 1 HgS L H 仏 1d (7 5) . を得る。ここでも dは D で調和であることを使っていることに注意しよう。(1、(5 5) 5) . . および(7 から R -。の因数分解公式の一歩手前の等式 5) . D R ん p () 5 . 8 を手に入れた。ここまでは、すんなりと来たのであるがこの後 ? D δ上の積分が消えている δD 上の任意の関数 hに対して、δ 上の積分が消えるδ 0 口上の関数老対応させる作用素 H で等式 2 h L D( H 1 f ) i d s z A m h ) d S ( 5 9 ) J8 a !を満たすものを求める必要がある。これができれば() 5 から第一の因数分解公式 . 8 (1 50 .) O _ R - R =H(- +H o 2 A A)l D を得たことになる。天下りの記述ではない、 H2の求め方のとつについていろいろ悩んでいたのだが、ようやく掴んだようであるので、それをここで紹介しよう要は積分 ADZ d S 3 8 10 4 を ム 答。 O に書き換えることが出来ればよいと腹をくくる。とすると、口¥ における関数をからめ E て部分積分にもっていけばよいであろうと思いつく今 んを Q ¥万における調和関数としよう。部分積分によれば、等式 L Z =芸ω L d Dωム - J u v 二二れ +x d / v t h 1、 d 1 1 E i ‘ ， t、 E， 4 J 、 を得る。この第二項が邪魔である。とりあえずこれ老δD 上の積分に書き換えるため、九+に境界条件δ十 h -丈一一￨ Q θ U (1 52 .)を課そう O すると再び部分積分により等式 r r 7 ' ーー 噌 Q万ー¥ …一一一… .--，--一 一一 JD δ一 θν 一 r ，+， 8 h n (1 53 .)を得る。しかしこの積分にはげの法線微分はあらわれない。そこで D における調和関数 h を考える。このとき等式 f I h M 引 D U 仇 一 b 一 α， s 一。 ，円u r τ。 ' n ν j h D 一 α， s (1 54 .)が成り立つのは言うまでもない。そこで h ーにで境界条件ー ￨ω=一三 ￨ニ θ D δνδνβ h βh 1 (1 55 .)課 ばせ 、( 1 から( 1 の右辺はげの法線微分を含んだ積分になり、( 1 より等式 54 .) 53 .) 51 .) L(h+一リS=ム D Z ZhdS o δD h -h ニ h n +ー (1 56 .)を得たことになる。そこで与えられた hに対して Q ¥、 D それぞれにおける調和関数万 52 (1 .) .)ん h 、 _で境界条件( 1 ，5 5 および(1 57 .)を満たすものを取ってくれば、( 1 より目的の等式 56 .) j J D OV θ笠h S r hd d =笠 +S ov J δn を得たことになる。九+および h それぞれに同じ定数を付け加えても境界条件( 1 、 52 .)全体での積分は消( 1 および( 1 は満たされるから、 h のδQ 55 .) 57 .)上へのトレースのδ0 十えているようにできる。そこで作用素 H を 2 H h=h l 2 十 a n 3 9 11 4 と定義すれば(9 が満たされることがわかる。問題は、 h 、んの存在と一意性につい 5) . +てであるが、これは古典的で、有名な本[ にゆだねておく。 6 1 ]因数分解公式のもうひとつである H2の因数分解公式が重要な役割を演じるのでそれ D 0 0 を述べよう o 0¥における調和関数で、そのδ における法線微分が消えかつそのδ 上 Q における N u a n e m n データをδ 口にへのトレースのδ における積分が消えるもののδD rht ce +おけるDii l データに対応させる作用素を Gであらわそう o h の性質を思い出せば、 h1 ニ G +θQ (が成り立つ。作用素βh ポ . J θ ￨ D ) Kh=τ工 ￨θD / 01 βh .J白(1 58 .)を導入すると H =GK 2 と書かれることになる。鍵は K が全単射であることで、これが言えれば(はっきり定義域および値域を述べていないが)等式 R n H2 = R n e ag ag G (1 59 .)が従うことになる。まず Kが単射であることを示そう。 Kh=O を仮定しよう o (1 よ h は Q ¥万全 58 り+ .)+ 口上の積分が消えることから 0¥全 体で ん=0 となる。一万 体で定数となるが h のδ 方(1 より んは D で定数関数となるが、(1 をδD 55 .) 57 .)上で積分することにより、δD 上 h =0となることが、 hのδD _ 上の積分が消えることより結論され、したがって再び(1 よ h=O 得る。 57 り .)を つぎに K が全射であることを示そうδD 全体での積分が消えるようなδD 上の関数ゆを任意に与える。次の境界値問題の解在世十と書こう: O ムω= i O D 0 n ¥う 伽 一伽 一 一 A V O n n O ο一ω一 r h v n U 。 円 o n A u D 。 D における次の境界値問題の解をくP と書こう:ムω= i D 0 n n 側 一- 。- 円 n b A V O う D k =k十 dS D D 世凶 4 0 12 4 このとき h二世 +-WlD とく 、 h δD 1 ω-a おと の全体での積分は消えて、解の一意性か h ，-であることを得て、 Kh= 1 ゆを結論する。ら P (ヘ雪)=(+1)く 52 因数分解公式の一つの帰結 .. ここから先は形式論ですみそうもないので関数空間を導入する: X 的)={ε判的 )( f 1 ム=川 ぅ O }ぅ ヲ X制( = {ε炉/ ( D l D d =} g 2δ)LgS0 12 δ) X δ)= {εH-/( 0 1 =O ，} X δ)={ε H 山δD <91 O (D ' g 一()>=} 1 ぅ X δ) おび X δ)は自然に、 X δ) Xδ) (口 ' よ(D ' (0 、(D それぞれの双対空間と同一視できることに注意しよう。前節のような議論を丁寧にまとめると以下のような事実を得る:• R - R :X δ)- X δ)は有界、単射、非負そしてその d l 7 )は自分自身 o (0'→( 0 u(6 a[] D と一致する;• H :(0'一 X δ)は有界かつ単射; l X δ)→ ( D' • H :Xδ) Xδ(D →(口)は有界; 2 • G Xδ) - X δ)は有界かつ単射;: (D '→(0 →X δ) は有界かつ全単射;• K:X δ( D)-( D' H = K G ; 2 • H は H2の da; l ul • A -+ X( D'-→ X( D は有界、その da は自分自身と一致し、正定値すな _ A :δ)δ) ul ( D' わち、正定数 C が存在して X δ) のすべての要素ψに対して不等式・ <払(J仁一正+)ψ>三 CIIψII~(δD)' が成り立つ。ーが正定値であること、そして- 十が非負であることから結論さ A この最後の主張は、 A れ。る 問題は因数分解公式( 1 および( 1 から何が従うかである。[ では次の定理を 50 .) 59 .) 5 6 ]基礎におく。 .. 定理 51 X1 、 X2 を反射的 Bαnα ch 空間、 X~、 X~でそれぞれの双対空間をあらわそう。有界線形作用素 A:X~-→ X1 .. B X1 :一→ X2 および F:X~-→ X2 は次の三つの条件を満たすとせよ:・等式 F =B'' AB がなりたつ。ことで A 、B は A Bそれぞれの da である; ' ' 、 ul .B は単射である;ー正定数 C が存在して X~のすべての要素ψ に対して不等式 1 払 A >ミ 0ψL <ψ 1 1￨; 1￨が成り立つ。 4 1 13 4 そのとき、 X の任意に与えられた要素< #に対して、ゆが Rne に属するための必/0 ; agB 2 ゆ F が正の値をとるととである。ととで W : X 一 R は要十分条件は W(;) 2 → W(;)=i{< 雪， 宙>1 ε; 宙/> 1 ゆF n1 f F 宙 x <，;= }< と定義される。注意として、任意に与えられたゆヂ 0に対して集合{<忠 F >11 宙 I 申ε X~< 色。>=1 }がE さでないことは、 H h - a a h a n B n c の拡張定理からの帰結であるが、 X2 が H b t i e 空間 lr のときにはその使用は避けられる。 agB でない適当なψ老証明最初にゆが R n e の要素である場合を考えよう。 X に属する 0 1 取ると、ゆ=Bψが成り立つ。このとき X~の任意の要素世に対して不等式 1 宙，世> =< B'' >< F 1 1 虫 AB宙 1 = < ' 3'' > 1 B 宙 AB 宙 1 ど C￨E￨;￨B￨3 =CIIB匂 II~~ 1I'P 11~111ψ11之さ C1 2 11ψIIx~ I ' 2 ψ=C<虫 Bψ>11 立 I 1 1 1 2 P立= I<也ゆ>1'1 C 11 1 を得る。したがって評価 W(; )三 C ψぱ>0 ゆF I￨ I を る得 。 gB 次にゆがRan に属さない場合を考えよう。 V={j εX~I =} ， O 一視できる故、 X1の要素ψ在任意に与える。 Vの任意の要素 f 対て にし 、とおこう。このとき B'(V)は X~で調密である。まずこれを証明しよう。(X~)' は X1 と同<';> 0 Bj ψ= が成り立つならば、このとき< jB ，ψ>=0 が成り立つ。今 Bψ#0 であったとする。 Hh"Bnc の拡張定理によれば、 B とゆが一次独立ではあり得ない。さらに、ゅは an:aah ψ RnB a g の要素ではないので、 Bψ=0 でなければならず矛盾である。したがって B =ψ 0 でなければならず、 B は単射であるから、ψ=0 を結論する。これで B'(V)は X~で桐密であることが分かつた。次に、 X~の要素 1 //= ;; ' < 4 2 -4 14 を満たすものをとる。このとき、 Vの中の要素からなる列{ }、 f で n Bム→ -' i x ' ー Bザ n ;を満たすものが存在することが上で述べたことより結論される。 X~の中の要素からなる列 守} {口 を申百二 f +' nゆにより定義すると、くくf ，が成り立つ。さらに I ゆ>=1 n W(; )三 1 丸ゆF < Y丸> 1 =1 B'wn ， A'B' 丸>1 三 IIA'IIIIB' 叫 li~→ O <を る得 。口 _ A、および Fニ RD- o この定理を A=A -+ B=H2 50 59 .) .) R に適用する。(1 、(1 およびその他の考察より、 R n e の RD- o agG R のみを使用した特徴付けを得る。 . ( 0 の任意に与えられた要素ゆヂ O 2 に対して、ゆが R n e に属するためのα gG 定理 5 .X δ) 必要十分条件は W(; D - R )が正の値をとることである。 o ゆR ではなぜ R n G a g の情報が重要であるかを説明しなければならない。 Q 内に任意に与えられた点 Z に対して次の境界値問題の解を N x と書こう:( )・ ぅ N ，十 ( x= n ，(x y ムy y) d -) 0i0 」o δ JLN(W)=-- n 0 δ円 1 8 0 1 JδQ (， d ) . )( INyx Sυ= O 関数 Nx ) N u a n y (，は e m n 関数と呼ばれ、その構成は iO ムy υ)= O n ， Eス( 。 V y JLE(UJ)=-J--1G(u- o め n -¥"'-; 1 8 0 1 δu ν E L((，の一意解 E . x を使って) ド y dy )(=-JθnG -) ( dy S) I ( x S ) y Nyx= G -) E x (， y )( x+( )ぅ という形でなされる。方向ω S を一つ選び固定する。そしてε l w)- x 払) n g， y =ωマN( x a x( l 4 3 1 4 5 とおこう o g，ξ ( D でり ω() ωマx ( xで定義されるυεQ x X δ) あ、 xν= ・ N y ) w の関数ω は z 次の Lpae alc 方程式に対する C u h 問題の解である: acy ぅム =0i D {}ω n¥x う竺= on8D 0 ， av ω= g， o δQ x n w この関数叫は点 Z において特異性を持っていることに注意しよう。したがって C u h acy 問題の解の一意性により対応 Q ラ xf- 9 ξ-7 ω-- X( D δ)が一対ーであることを得る。これは、 0内の各点が境界上の関数空間の中の要素として忠実に翻訳されたことを意味する。そこで空洞 D をこの方法で翻訳したらどうなるか。これに対する答えが次の定理である。定理 53 ..任意に与えられた 0内の点 Z に対して Z が Dの要素であるための必要十分条 x ω agG 件は g，が R n e に属するととである。は ω/ ￨D δ( D' 証明 Z 己 D のときは、切z Q ¥万で調和で、δ x νδξ X δ)であるから、等式か = ( 5叫 G 3 ￨を得て g，ε a g をる Z ε Q D と、 g，ε a g であったとする。このと x R n G 得。 ω¥のき x RnG ω z 0 acy き Gの定め方によれば、。¥万における調和関数でω と同じδ 上の C u h データをもつものの存在が結論される。 C u h 問題の解の一意性を使えば、その調和関数は叫と acy Z 以外で一致し、したがって Z で、組く言って、非有界になる。これは矛盾である。したがって g， R n G x ωは a g に属さない。口 この定理(の考え方)は、 Clo-ish Lna smln m t o []においても知られ otnKrc の ier apig e h d 1 1 ていたことを注意しよう。要は、 Z が g ωに D が R n e に忠実に翻訳されたという x 、 agG ことである。すると後は観測データ RD-R か R n G 。ら a g が得られればよいがそれは定理 5 そのものである。 . 2 定理 5 および 5 の系として、空洞の観測データによる特徴づけを得る。 . 2 . 3 系5 .4.任意に与えられた Q 内の点 Z に対して Z が Dの要素であるための必要十分条件は W g ， R - R)>0 (x D ω; o この系は Krc の因数分解法の帰結の一つ(6 あ、 []で導入された初期のもの、 ish [] 5)でり 5 4 すなわち I D-R l をしかるべく定義して、その像から R n G R o/ l2 a g を抽出する方法と比較して主張が弱いが、その分、議論の構造は単純明快であり、適用可能性が拡大されてい]を参照される。因数分解法の他の問題への応用については、[ 5 6 2 ，5 2，5 5 4 ，，1 1 3 5 ，7 たい。とにかく、正直に、素晴らしい方法であると感心するが、一つ違和感老もっとすれω ば g，にある方向ωは何でも良いという意味で、ωの役割が死んでいることである。何、 x かこれを生かした方法はあるであろうか。その点系 3 あるいは系 4 では、不連続性が . 5 . 2 ヲぅ 4 4 16 4 ない方向まで込めた情報が抽出されている。このように、因数分解法と探針法あるいは囲い込み法との関係は超関数に対する特異台と波薗集合の関係を想起させる。第二章体積(面積)のない不連続性を抽出することこの章では、前章で紹介した探針法と聞い込み法の考え方老、導体内に発生した亀裂や音を伝える媒質内にある薄い障害物などの不連続性の位置およびその形についての情報を観測データから抽出する問題へ適用する。これら不連続性は体積(面積)がないため、第一章と比べて、より数学上の技巧を必要とする。 6 探針法と亀裂の逆問題 61.亀裂の逆問題 . 最初に問題を定式化しよう。導体 Q の中に発生した亀裂を 2であらわす。 Eは、空でな 2 ict phz い連結な R の閉集合で、。に含まれる一つの L s i 連続な単純閉曲線 C上の異なる、 二点 P Qを結ぶ曲線上の弧で与えられると仮定する。後半の仮定は記述の簡単のためであり、この節の方法はもっと複雑な状況へ適用することができることを注意しておく o ~からその端点を除いた部分を Int~、端点のみからなる集合をδ2 と書く。 C は Q を、 C によって囲まれる領域 D とその外部 Q ¥万にわける。も ろ、 C の 2以外の部分を変形すれば、上の性質をもっ単純閉曲線は無限に多くあち んることがわかるであろう。順問題在記述するため記号および関数空聞を導入する。まずδ D=rとおく。さらに 0+=0¥万および D = O ーと書こう。 2 0に対してり+υ 1，= ιと く各 U εL )( = 0v 叶+_ お。線形空間 X(O\~;D)={ε 2( v ξ H1(+， ε 1(_ ， l¥=V l ¥} v L 0 +) 0) v H 0)v rE - r E _ + 1 およびその上のノルムを IvI(¥;)=IvIH(++ I-I1ロ) lIXOED I+I10) IVIH(ー により定義する。 X(O\~;D)はノルム 11 .IXOED に関して完備である。その閉部分空 I(¥;)聞を Xo(O\~;D)={v εX(O\~;D) I =O n O v oδ}により定義する。定義 61.任意に与えられた f H/(0 にし 、 . ε l2δ)対 て U ξX(O\~;D)が境界値問題ム =0 n ¥旬 iO 又δ u 一δν一匂 一 一 n U o n z (1 6) . =f n Q oθ 4 5 -4 17 の弱解であるとは、対して U のδQ 上へのトレースが f と一致し、すべての c E Xo (口\~;D)に p (2 6) . J l8 i¥ l ママψd =0 匂・ y が成り立っときを言う。出発点は(1 の弱解の存在と一意性、解が D の選び方によらないということを確立 6) . することである。それを証明することは良い演習問題であり、主張だけまとめておこう。 . 1 )命題 61.任意に固定した D に対して向. の弱解が唯一つ存在する。さらに解は D の選び方によらない。任意に選んだ D に対して H12(向上の有界線形汎関数 A jを公式/ δ， ' f " AU 1 回四 (3 6) . により定義する。ここに U は( 1 の弱解そして U はそのδQ 5) . 上へのトレースが hと一致写像 A :← A f Drcltt N u a n ， f→， は iihe o e m n 写像と呼ばれる。命題 6 および(3 ' f " ' f " . 1 6) . によれば Af D の選び方によらないことがわかる。これが後で重要なポイントになって " ' ，も いることをみるであろう O この節では次の問題を考察する。逆問題 61 A f ，る はの 部ら 2の位置および形についての情報を抽出せよ。 .. " ' あい そ一 か一意性は[ で証明された。次部分節でこの問題ヘ探針法を適用する。その前に空洞の場 1 7 ]合と比べて困難がどこにあらわれるかを簡単にのべておこう。空洞においては等式(2 2) . があり、それによりすべてが、 Q 全体で調和な関数 U の空洞上でのエネルギーを調べることに直ちに帰着された。これは空洞が体積(面積)をもっているからであり、亀裂の場合次の等式を得る(演習問題とする):する任意の x(n \~;D)の要素である。<(-A 了> =ん ¥(-v d A o 刈 Ju Wx 1 (4 6) . ここで uは(1 の解 り( .2 の弱解である。これは(2 の空洞が亀裂に退化した 6)弱 、は 1 1 . ) 2) . 場合と考えられる。空洞の場合と違って、今度は U の寄与があからざまには見えず、直接 u-v のエネルギーについて必要な知見を得なければならない。ここをどうすするかが、数学として面白いところである。 6.指示列および指示関数 . 2 この部分節では探針法を適用して得られる結果を述べよう。 . 、 x うりに対する任意の針定義 61.任意に与えられた Z ε 0 Z を先端にもつ針σおよび( 列 c {n}に対して指示列を=v I σ) =<(-A ) f >( とn xう A o 記ん n ぅにより定義する。ここでんは h のδ 口上へのトレースである。定義 6 .亀裂の外部 Q ¥で定義された関数 . 2 2 的)=ん￨恥x2y xEn 2 ld，¥ 4 6 18 4 を指示関数と呼ぶ。ここで叫と呼ぶ:ξ X(¥ ;) o O E D は次の境界値問題の弱解で 2による反射解ムωニ on ¥ i O 2 う一 =一 一((一づ)o G . 吋0 n Z μ) δωδδνδν wニ on o δQ 弱解をきちんと定義し、その解の存在と一意性老証明することは演習問題とする。( x ) nE 指示関数 I は Z が It 上の与えられた点に限りなく近づくとき無限大に発散する。他の知見もまとめると次の定理になる:定理 61A. .. •( l 任意に与えられた Q ¥内の点 Z および Z を先端にもつ針σに対しでもし A) . 2 σ] 1 が 2と共有点を持たないならば、そのとき、(，に対する任意の針列ご={九}(O ]) xσ) に対して指示列{x J )は指示関数 I に収束する; I ，う n ( Iと} ( x )• (.) A2 任意に固定した正数 Eに対してぅ sp u I)∞ (< x ds(，)> itxE εが成り立つ;• (.) It 上の任意に与えられた点αに対して A3 nE J I)=∞主 (主 x が成り立つ。この定理は探針法の A面について述べたものであるが当然次の疑問が浮かぶ。針の先端が亀裂上に到達した場合あるいは針が亀裂を貫通した場合、指示列はどのように振舞う。か これに答えるのが次の定理である。 .. . はδ 内の任意の点、σは Z を先端にもつ針で、σ] 1 は 2 と共有点(O ]) 定理 61B x Q ¥ 2 nE x をもちかっそのすべてが It に含まれると仮定する。そのとき(うりに対する任意の針列~= {} v に対して lm→∞ I ，う)=∞が成り立つ。 in (σ n xと n ぅ 6 . 反射解の爆発 . 3 与えられた Q全体で、の調和関数 V EH ()にし 、 u X O E D は f 1O 対て ε( ¥; )がりのδQ 上の( ED 6) . 口トレースで与えられるときの(1 の弱解とする。そのとき関数ω=u-VεXo ¥; )は D の選び方によらない。このωをりの 2による反射解と呼ぶ。 .. A 定理 61 および Bの証明は次のなんの変哲もないω の特徴づけから出発する。証明は演習問題とする。補題 62 V の 2による反射解ωは次の等式を満たす: .. ば(弘一世一)S= d L ，マ ¥2 ω 'ld V!山 ' EX (¥;) o O E D. (5 6) . U 次の命題がこの節の核心部分であり、 U のσによる反射解のエネルギーの、使った下からの評価を与えている。証明は弱解の枠内で初等的になされる。のみ在 4 7 19 4 命題 63η C '口)および正の定数 M は ..ε[ (( 1L(十1 η∞，L壬M 1 ∞ f 1I() η L マI I ) I L および sp( u pη， 、， f ，、P ρノ a 、O O s r c2 I :) (7 6) . を満たすとせよ。 Q と s p ηとの共通部分を U と書く。りは H() up : L )η 1O に属する調和関ε o 口¥:) ;数およびω x ( 2 D は U の 2による反射解とする。もし k¥ Idυ-112(1-η _7 2 l v 1 )dI三0 vS (8 6) . ならば、そのとき反射解のエネルギーについて次の評価が成り立つ:( l v2y- I (1η) ? I ¥ld 7 芋酬 JQr JO r IU 三 M 2 I l v2y I I2y (¥ ld + 7 v d) l 一η )η ) J(n ー 11 マωIli2(的-)~)日 山/ t t 、p 0 、 ‘白 ' ， Q d 証明要は() 6 のうまい試験関数敬老構成することであるが、それは次のように、りとη . 5 から作られる:νε0+ rヲ 0 ぅ宙( y )ニ{ lη( ち(， - y y )) yε _ 0. 留のδQ へのトレースは消えていることおよび F上、等式 W 一ー = U +切η が成り立つことは明らかである。条件(7 は、この世が X (¥ ;)の要素であることを保証してい 6) . oO 2 D : . る(6 からその Qーにおけるエネルギーの U による評価。 6) 1 wif =1ηちI0) MJ )マ(y )，υ 2y 1 l2L 1()l ー三 2O，η 2O L 1 d)マ l )マ ( i 2 (( 1 d_ η L J (バ + 1 (1 60 .)ー を得る。さて部分積分によれば等式 L W Y 2 u 1 M 1 ￨ d = 2 S 二 同+12(1-η)vdS 位=( A Z を得る。この右辺第一項にを る得 。口 世 一ー )S +宮 d 十 (-附 ぽ 1η T ' () 6 を適用して評価 . 5 (1 61 .)マ1 _y _ η L k l v2y三I7l2()I7l 2(h+I δ( ー dI _¥ld :1 ωL (ηIwL () 1 ~~ 1 が S 7 : Iw or ¥ l o) J :~. ;1 1 0)¥l -)) O _ kν( 0 と( 1より目的の評価()得る。 6) 6) . 1 . 1 6を . 9 針列 c {n}の各項%とその勾配マv との関係は明らかではない。次の補題はマ%が大=v n きくなるところでは%はマ山と比べてそれほど大きくないということを表現している。 4 8 リ U ハ 1 E A ロ 補題 64 x . . は口内の任意に与えられた点、(ぅ) xσに対する任意の針列とする。もしσは Z を先端にもつ任意の針、 c {九は =り} HL Ki {i f山 n は有界である。 n2 y ヤv ld =∞ ならば、そのとき十分大きい自然数η。を取ると、数列 Lh￨2dU17 l υ、色町が一つの連結成分からなる場合のみ考えよう。 R2 の証明記述の簡単のため、。ー= D コンパクト集合で Q ¥( ぅ]に含まれる集合からなる列{z で条件 K C K+ f u ) K} z ll o r σ] 1 l Lニ- および Q ¥(u1 = Ut1K を満たすものをとる。そのとき、 L b 血leの単σ]，)] e白 1 (u ]) であるという事実から、 l→∞のとき I n L は K rI z 調収束定理およびσ] 1 は測度 0 ILσ]ぅ)ニ IL に収束する。したがって十分大きいんをとると、集合 A三。 。 r¥(u1 ] 1 CI 品円 ーは正の測度老もつ。 Picr の不等式によれば評価 onae ヲ 1v Ln J l 2 d : y:; 2 In (nA切+2( 1V V)I LI山 L _ 一 1 2 d υ三叩-， A2 )を得る。ここである: L¥v 2ν+2CLI山 _7 d I I ( l nJ 1 2 C口 A はり(ぅ) 一 n に独立な正の定数、( )はり叫の I における平均値で VA n A I ( )二土 l VA n J J A A I 五は口¥(u1 に含まれるから、数列{(りnA は収束する。これと上の不等式から証明σ]ぅ)] )}は終わる。口 定理 61 の証明を述べよう。要点は最初に選んだ D をその境界 r .. B が補題 62 ( 8 を . の 6) . nE 満たすようにとりなおすことである。その指針は次のとおりである。針が、 It と初め¥n E ¥nE て当たる点以前に r I t と共有点が存在しないとき。このときは F I t の部分を大 nE きく変形してそれと 2によって固まれた領域 U でその境界「と針の共通部分が I t の nE ¥nE みに含まれるようにする。針が、 It と初めて当たる点以前に r I t と共有点をもっているときは、¥ n E I t を避けて 2に沿って 0 のに F I t を折り返して押し込ん+ 側、 ¥nE でそれと 2によって固まれた領域 D 在とれば最初の場合に帰着される。 ' (u1 ]このとり直しと反射解の D に罰する不変性から、はじめから、σ]ぅ)と Fとの共通 nE (ul ]はコンパクトであるから、関数部分は I t に含まれるとしてよい。集合σ]，)円r η C ()でσ]，内 rのある近傍で恒等的に uこ等しくかつ(7 を満たすものがとεoO (u1 ]) 6) . .の 3) . vj 釣 a () 的および Q¥(u 1 にその閉包が j σ]，]) れる。命題 34 ( 3 を V =δ nδ- G .-x δふくまれる任意の開円板 W に適用して、高階微分の収束 r V n ( x n f (σ]，) . oO ]→ G -)iH c ¥(u1) 4 9 に-止 E U 1 E A を得る。集合{ εl()ヂ 1 は Q¥(O1 に含まれるから、上で述べた収束性とト y rηυ} σ]] )レース定理により数列ぅ 4(川 31 7 S }は有界であることが分かる。一方補題 3 および 3 によれば発散 . 3 . 5 1 Ui 山 1 マをf 専る。したがって叫 (1 62 .) h L l (一肌dS 苧1 JF んIn d Vl y v ; l う ! " =0 (1 63 .)を結論する。したがって特に十分大きいη。に対してη 三η。を満たすすべてのη に対し 6) . 6) . て( 8 が満たされることになる。適当に正数 M をとれば( 6 が満たされることは明ら .4によれば、適当な正数 K をとるとすべてのη に対してかであり、補題 6 んI nd 叫 V ly v 2 n I l y三 K v 2d 1Vn Lvl I 2 y d (1 64 .)が成り立つことになる。( 1 ぅ( 1 ぅ( 1 および( 9 からω の( )におけるエネ 62 63 64 .) .) .) 6) . 叫 fη L ルギーの爆発をみることは容易である。後は、( 6 .4)を使って指示列の爆発を得る。口 定理 61 の(.) .. A A3 の証明も同様にして出来るので省略。(.) A2 および(.)は順問題の適 A3 切性に関係しており演習問題とする(ルーチンという意味で)。記が十分滑らかと仮定すると 2 による反射解叫( を I ~上の与えられた去の十分 y ) n t 小さい近傍で、 x -αのときそのエネルギーの発散に寄与する項をυ →の関数としてとり A3 を証明することができる。それは鏡像の方法の一だすことができる。これを使って(.)般化と考えられる。ただしその方法は、例えば弾性体の方程式系のように方程式が連立になると、格段に複雑になる。また B面については無力のように見える。これらの詳細に 4 6 6 4 ついては[ ，]を参照されたい。とにかく、ここで展開した方法は弾性体の方程式系へ 5 司のアイデアを用いた論文[ 7 ]も全く同じように適用できるであろう。なお因数分解法[ が存在することを注意しておく。三次元物体の中に発生した、未知の一枚の平面上に乗っている未知の亀裂という特殊な幾何を仮定した場合においては、適当な条件を満たす一組の電位と電流密度分布を用い nrexAd[]た Adiu-bal の再構成公式がある。 7 固い込み法と逆散乱問題 71.体積のない障害物による音波の逆散乱問題 . 前節までは、すべて Lpae alc 方程式にかかわる逆問題で、あった。音波、電磁波あるいは弾性波にかかわる逆問題は Hlhlz emot 方程式ムu+ 2 =0 ku に帰着される問題が多くある。ここでは、体積のない、音響的に固い障害物による音波の逆散乱問題の二次元版をとりあげ、単純化された囲い込み法の最新の応用を述べよう。ここで考える逆問題は無限遠方から平面波を入射しその障害物による反射波の無限遠方での漸近形から障害物の位置および形についての情報を抽出することである。ただし以下の三つの条件を考慮する: 5 0 ロ U りム 1 E A -入射平面波の波数は固定して、限りなく大きくも(高周波)、限りなく小さくも(低周波)しないとういこと;・入射平面波の入射方向は有限個であること;・漸近形を見る方向もできれば限定すること(視野限定)。これらは応用を考える上で避けてはならない条件であり、これをどう克服するかそのアイデアが興味のあるところである。さて散乱問題を述べるのであるが、障害物(の断面)を 2であらわすことにし、それは有限侶の互いに素な折れ線 E1 E ，， Emで与えられていると仮定する。適当に関数空・ . 2' 間を設定し、変分法的定式化と F e h l の交代定理を使うと(例えば[]を照 よ、 rdom 2 参せ ) 2 および入射方向 dεS に対して次の散乱問題の解が一意に存在するこ l 与えられた正数 k とがわかる: eu Hlhlz は emot 方程式¥ ムu+ 2 =0i R2 E ku n ぅを満たす;• n;竺= 0o E o ν _ ・ω= 匂 i . k e xdは S m e f l の放射条件 omred \)i~_ v( r 伽)=0 r宇一 ー→∞ o r を満たす。ここに r I =x l 。・折れ線の折れ曲がっているところや端点での U の正則性は高々 H1になっている。ω は障害物による反射波をあらわしている。このとき与えられた方向ψ S に対してε l γー→∞のときω は漸近展開山二 Fc;d，)+0 )与(p k φを持つことを示すことができる。この麗聞にあらわれる F ψ dk ω()の frf l (; )は r ψ a id e p t e nと呼ばれる。これがこの節の観測データである。 atr これを使って問題を述べよう。逆問題 71 r .. は任意に与えられた S の空でない部分集合とする。与えられた有限個の d l および k に対して、観測データ{ (; k I ε}から記の位置および形についての情 Fψ d )ψ r 報を抽出せよこの問題はまさしく典型的逆問題であろう。 7 . 散乱振幅から凸包を抽出するとと . 2 関数ん ()= u x ωω S ω sp. ε l ぅぅ O ヲ z}εJ を 2の支持関数という。方向ω S の 2に関する正則性は定義 2 の D を Eに置き換えε l . 3 =ψぅε l 1 を同じ記号て定義される。この節では方向ψ ( 1 ぬ) S と対応する複素数ψ 十句2 ψであらわす。この規約を使って、与えられた k>O N = 1' T>O 、，、一 およびω S ε l に対して S 上で定義された関数 l g (;，， N ψ Tkw )工工{ tψ 2 } k m πI' T +-2 k )w mN t J芋 T l((1 7) . 5 1 1 E A Uりにつを考える。次の定理は、逆問題 7 . r S の場合(全視野)における一つの解答を与 1の= l え。る .. 定理 71 ~は、原点を中心とするある既知の半径 R の開円板 B R にふくまれていると仮定する。方向ωは 2に関して正則とせよ。 F 。は次の方程式の正の解とする: 2 十 eos O s lg = . s より小さい正数βを任意に画定する。正数からなる数列{(} l で o T )=， NN とき sN N -∞の→ () 7 . 2 T )~~+0)( = N ( 1 を満たすものを任意に与える。二つの一次独立な方向 d および d を任意に与える。その 1 2 と、 Nき→∞のとき暗IF h( 1 也一 川的伽山伽州ψ卯ω 9(山 N 川川 (川 T)( N が成り立つ。さらに以下の主張が成り立つ:・もし t h ()三 E ωならば、そのときεア) 印t → hω吋 E() け.) 7 め 3 会 LlFMM )ん 川 l 川一ψ川 ;-もし tO X (ω+ kωび Aをとると、とおく。方向ωは 2に関して正別であるとせよ。そのときァに独立な適当な正数μおよ T→∞のとき 7μe 叩 l bー州 さ Lu か→ B r .u a。δ u 1 ァ) j ( u一一 町) S j =( 」 d θ¥a - a BR v ν A が成り立つ。証明の概要を述べよう。→∞における漸近挙動を調べる:最初に次の積分の T -部分積分により等式 e T I() - h;ω 1 rja S ，( T I ω/ U ~V ]v j )=e-Th;()J2'. [δν d l~J c (. 74 )を得る。ここで[ = u 2 - u 2 は包の 2の両側からのトレースの差である(詳しくは U j j' j' ] l . l . 述べないが、νの向いている方をーにとった)。集合{xlx ・ω =hdω)}n'~は一点からなるので、その点在 Xo であらわそう O このとき命題 2 に対応する . 5 変更 U の Xoにおける展開公式が成り立つことがわかる。そしてパラメタの S=ゾ 士 k +T 戸 2 00 (5 7) . と( 4 をう 、 s 7 )使と . →∞のとき完全漸近展開 e i r F o f h ()j( rv ア共 -V 写 z t T z ω 1 T )斗 " 11 Sl = A (6 7) . 5 4 に U 円 1 E A h u を得る。ここで Oくんくん<・・・ー→∞および{Z }は円の Xoにおける展開係数およ A， z j び 2の Xoの近傍における幾何を含んでいる。この部分の計算は込み入っているが、しか 7 の変更が本質的であるのは() . 5 7 の各項を . 6 し計算する喜びをもたらしてくれた。この()みればあきらかであろう。次に() 7 の展開係数のなかに消えないものが本当にあるのか否かを調べるのあるが、 . 6 直接はできず、背理法により以下の場合にわけられる:・もし Xo がどの~1 ， .・ .，~m の端点になっていなければ、すなわち、 2 がそこで折れ曲がっている点であるならば、そのとき各 j= 12 ，に対して A，ヂOとなる l=らが存在 Z j する;・もし Xo がある~p の端点であるならば、そのときすべての j=1 ヲ 2 およびすべての l に対して A，= となることはない。この証明において入射方向 d Z j 0 、ぬが一次独立であ 1 ることが本質的にきいている。 .4が成り立つことがわかる。これらをまとめると補題 7 定理 7 はこれら補題を使えば直ちに証明される。実際補題 7 より等式 . 1 . 2 ‘8k 11 f r -( )一 T )r ωヰ xJlF¥c;-J， g(PTN kwd() T N 均( h{)ι/4 N ，ヂ /-( p，jk NC;()，)Sψ . -r d ) S ぅ= T N μe ()イ r ，8 u δ u Nh ()/ _ (~~J V 一円 )S )zω . : . 一 d JB δν δν aR /町、~_I 、， 刊一 十ア()一 叩 J z w N匂 h (J : . む9 NJ BR-o θ v r . {2 1 8( _τ v 一て (- v町} S ) V ) d 9N 0 を得る。ここでり二 e(Nω+i r 芹k w1) YT) V 百 2 .(および町N は密度 g= g(;()kωに対する Hrlt 波動関数である。 h'()三-R N ・T N ，，) egoz "， i ωに注意すれば補題 7 より右辺第三項は N . 3 →∞のとき減衰する。あとは補題 7 4 り .よ、 N→∞のとき叩 )-()zω偏 μ TNh()ε : . 吃 1 F-pd kg(P T N う)Sψ→ A L (c;j )NC;( )い d() 1 ぅ j l' S = J 1 を得る。定理はこれからただちに導かれる。 7 .4.視野が限定されたときの先験情報の役割( 3 の中には反射波の f idpten 7) . a e atr のすべての方向における値があらわれている。で rfl は視る方向が一部に限定されたいるとき(向こう側から視えないとき)、そのような公式があるかという疑問が当然浮かぶ。これは、限定された視野をもっ f idpten a e atr が観 rfl 測データとして与えられた場合である。ここではある先験情報を取り入れることにより、 . 1 l 定理 7 が局所化できることを示そう以下では、 S の空でない開集合 Fを任意に与え固定する。ここでも z は、原点在中心とするある既知の半径 Rの開円板 B にふくまれて R いると仮定する。 Hlhlz emot 方程式の解からなる集合 O 2 B り( R り kv W(B )={εC ( R)円 C1 B )ム + 2 ニ R 1 on R} iB を導入する。 W(B )の H1 B )における閉包を W(B )によってあらわそう。任意に与(R R R 2 -)えられらた g L (f に対してε H()= gy L川ψ)Sψ，Y r ( d() e 5 5 1 E A EB R U に 円 t 2 -)→により B 上の関数を定義するそのとき Hgε W(B )でありかつ作用素 H:L ( r R R W否 Rは有界である。次の事実が知られている(3 。) [] 1) O ..H の像は W否可で調密である。定理 75 百 および正数 6 五に対して、 L( f の要素 g が積分方程式 2-) o さて与えられた U ε W Hg=りの食い違いが 6 の最小ノルム解で、あるとは、 g が不等式 IH -v H B 三d o Ig I l R I()を満たしかっ等式 I L ( r =ill2_ :I g 叶 H(R 三 d l 2 -) nl L ( I H - IlB)} g o l l fg r {l )が成り立っときを言う特に与えられた正数ァおよび方向ω S に対してり=♂(日+v拝k2 -)ととる。これはε l ir w L [] 5) . 5 もちろん W(B )の要素である。このとき、一般論によれば(9 、定理 7 は任意に固 R の食い違いが 6の最小ノルム解の存在を保証定した正数 d に対して、積分方程式 Hg=v する。しかもそれは公式 1 * g=( 1 α+H*HtH v O 7 で与えられる。ここでαは IHα+ *) H - i L ( R = 2 I( I H H 1 u i l B ) 6 . 9= g，(・ kωとあらわそう rs ;ぅ )， を満たす正の数である。したがってαは 7川 k6 ぅに依存する。そこでこの最小ノルム解をこれはもちろん不等式ヲ O 1 g "(;ω vIlB)三6 1 r・ k )- IH(R H s ぅ(7 7) . 満たしている。そのとき次の定理を得る。 .ω 6 L() を仮定する。そのとき公式定理 7 . は 2に関して正則で、 h，ω>0 m T 均 Iω吟μ毛 炉(主 f川 r F 町時 h g Fψ 7 一。一 →。 =h，ω L() うが成り立つ。さらに以下の主張は正しし、:・もし t h ωな ば三 d)ら 、そのとき t l er i 弘- I p f ; g d )会rF(c d k)r 引い)的 1= 1 j ， ， s ( 0 ;-もし t h () ら、 そのとき< D ωなば lv I Fc;d 主r(p f j 1 証明トレース定理を使えば、(7 から評価 7) . IHr - v H 2δ R +1v H r - V} H川θ R 三 C Ig， I l (B) 1 { g ， s I/; ， s I I B ) d δ (8 7) . 5 6 。 口 1 E A U に を得る。ここで Cは 7 に独立な正数である。補題 7 によれば、等式 . 2 e 叫)出斗 F(.d，)r 川 r kg p ; j . R -ι f /m ， ! i (ω)Sψ d() E)' = er (β B (，~J V ~~ U) S I er ( J Rla ( g ，-h ω j _ jUJ +--h ω 'B {':~J V~.':Jr d '' E )θ_ i ') J v H r，!， _L(..¥ r R a u δ V δνδν r ， ao u /. -I . v 一一( g ， v円} S )δν H r 1 i-) d (9 7) . を得る。仮定 hEω>0 よ( .)はァー→∞のとき(9 の右辺第二項の指数的減衰 '() おび 78 7) . . 4 を導く。あとは前と同じように補題 7 から定理は従う。ロ hEω>0 '() は座標の原点と 2 との位置関係に関する条件である。観測データの不足をこの条件で救っているのがみてとれるであろう。この定理の数値実験は大変興味がある o g， r ! i は精度よく計算できるのであろうか。この節で展開した方法は、音響的に硬い体積のある障害物や、背景とは異なる密度を持った、体積のある障害物にたいする類似の問題の二次元版にもすでに適用できることがわかっている。[ 4 p 3 2 を参照されたい。しかし、三次元の問題についてはどうか、ある 9 いは弾性波の亀裂による散乱問題においてどうかというのは、最も興味がある今後の問題で るあ 。ぅ 謝辞日本学術振興会科学研究費補助金(C)2 (o 1505)の援助に感謝する。広島大( N. 5414 )学の池畠良氏との長年にわたるさまさ、、まな議論は研究を進める上で、励みになったことを記しておきたい。そして共同研究者で囲い込み法の数値実験を粘り強く進めてくれた、 GE mdclsse の Sml itnn eia ytm auiSlae 氏および岡山理科大学の大江貴司氏に深く感謝する。日本応用数理学会および北大 C E O にはこのような機会を与えて頂いたことに感謝する。特に東京大学の奈良高明氏には、原稿を準備するにあたっての、著者の提起した問題点を解消するため動いていただき、存分に執筆に専念することができた。深く感謝する。 Rfrne eeecs [ Adil S n A d ，.A Ietfcto f lnrcak b cmlt oed1 nre民 .a d b a B . dniiaino paa rcs y opee vre J trie dt: ivrinfrua ，nes Polm ，219) 5353 emnd aa neso omle Ivre rbes 1(96 5-6. うう [ Aesnrn， . a d D Bndto E Dtrr ig2Dmninl cak i 3 2 lsadii G n ieeet，. eer山 n -iesoa rcs n J dmninlbde: ul 悶 iesoa ois 凶l nq 12 -. 8 ヲ[ B t m n H ， ihrTasedna Fntos V l m I B t m nMnsrp 3 a e a ，. Hge rncnetl ucin ，o u e I a e a aucit J I Poet( Edli Eio) N w o k M G A - I L 15. rjc A rey，dtr e Y r ， c R W H L 95 . うう う[ Bl G Rcntutosi i p d n ea dotclt m g a h wt snua i e 4 a . eosrcin n m e a c n pia o o r p y ih iglr n r ] t f e IvrePolm ，120) 131 1 a s nes rbes 2(05 1-3 c . ヲヲ 巴ぅ う 5 7 1 E A U 日げ に [ BulM Epii caatrzto o icuin i e c i l m e a c t m g a h 5 rh ] xlct hrceiain f nlsos n l t c i p d n e o o r p y era S A J M t .A p 3(01 12 14 I M . a h pぅ 220) 3下 3 1 . l . ラう うう [ Bul M ， a k うう ueia mlmnaino t onntrtv m t o sf 6 rh う . H n e M Nmrclipeetto f w oieaie e h d o ] r lctn icuin b i p d n et m g a h IvrePolm ぅ 1 20) 12oaig nlsos y m e a c o o r p y nes rbes 6(00 ， 09 14. 02 う[ Bul M H n e M n Pdok M ， r c dtcin sn e c o a c esr7 rh ， . a k .a d icc， . C a k eeto uig l t s t maue ] erti m n s Mteaia Mdliga dNmrclAayi 3(01 5565 e t ， ahmtcl oeln n ueia nlss 520) 9-0. うヲ う う [ Cleo ，.P Ona ivreb u d r vlepol凧 i eia o N mrcl 8 adrn A ，] ・ n nes o n a y au rbe nSmnr n ueia Aayi a di Apiain t C n i u mPyis( e 肌 w H a dR u p M nlss n t plctos o o t n u hsc M : s y . . n a p ，. A e . BaiinM t .Scey Rod Jnio 18 6-3 . d ) rzla a h oit i e aer，90 57. s うヲ ぅ [ C e g J Lu J .a dN k m r ，. Rcvr f h saeo a osal a d 9 h n . i .J n a a u a G eoeyo te hp f n btce n ] te o n a y m e a c fo te a f l pten J ah K o oUi. 4(03 h b u d r i p d n e rm h f - e atrぅ .Mt. y t nv ，320) rid 1516 6-8. ぅう ヲ う う [] C e g J， i ，. J a dN k m r ， . T enmrclraiaino tepoe 1 h n ，. Lu J . n a a u a G ， h ueia elzto f h rb 0 m t o f te nes satrn polm fo te er e dt Ivre rbes e h d o h ivre cteig rbes rm h na 五 l aa nes Polm ， r d 2(05 8985 120) 3-5 ヲう ipe e h d o ovn nes c t i rbes r ae [] Clo，.a dKrc A Asml m t o f sligivres t r珂 polm 1 otn D n ish 1 9 i tersnnergo，nes Polm ，219) 3333 n h eoac ein Ivre rbes 1( 6 ，8-9. うう ievle f h a id prtr o h emot r e r [] Clo ， .a K e R Egnauso tef fl oeao f teHlhlz 1 otn D 吋 r 民 2 . euto i a asrigm d u S A .A p M t . 5(95 ，7413 qain n n bobn e i m I MJ p l a h 519) 12-75 ヲう う， h esns f egoz a e ucin n l e [] Clo ， .a dK 1 otn D n 白紙R. Ontedneeso Hrlt w v fntosa de c 3 toantcHrlt pisi Sblvsa白う M t .Mt.A p .S. 2(01 ， rmgei egoz ar n ooe pc a h eh p p c 420) l i 18-33 2910. ヲ r [] Gibr N Osal iulzto vatefcoiainm t o f tem x d 1 rneg . btcevsaiain i h atrzto e h d o h i e 4 b u d r vlepol凧 IvrePolm ，820) 18-74 o n a y au rbe nes rbes 1(02 6710 ヲう う [] Gibrぅ N n Krc K T el e smln m t o i ivreosal s t 1 rneg .a d ish 5 h i a apig e h d n nes btce c nr a v l trn f i p d n eb u d r cniin， J I . I-oe Polm 1(02 ， eig o m e a c o n a y odtos . n l Psd rbes 020) r 1115 7-8. うう う[] D i o Y Ieaa M n N k m r ， . Rcnt配 to ficuin f te 1 a d ，， kht .a d a a u a G 6 . eosr ino nlsos o h r ivreb u d r vlepolmwt m x dtp b u d r cniin A p A a nes o n a y au rbe ih i e ye o n a y odto， p l nう . . l 8(04 ，0 1 . 320) 1仏 2 4 ぅう [] E e， . Ietfcto o cak i tredmninl ois y o n a y esr1 l r M ，dniiain f rcs n he-iesoa bde b b u d r maue 7 l m n s IvrePolm ，219) 3548 e t ，nes rbes 1(96 ，9-0 [] E h r う .a dPths ，， A nmrclsuyo tepoem t o sbitd 1 r a d K n otat R 8 . ueia td f h rb e h d umte. ぅ[] F i d a ，.a d skv M ， te nqees n h ivre odciiy r b e 1 r e m n A n Iao . On h uiuns i te nes cnutvt p o l m 9 wt oem a u e e t ， nin Ui.M t .J，818) 5359 ih n e s r m n s Idaa nv a h . 3(99 ，6-7. ぅ 5 8 10 6 [] F i d a ， . a dVglu M Dtriigcak b b u d r m a u e e t ， 2 r e m n A n oeis 0 eemnn rcs y o n a y e s r m n s Idaa nv Mt.J，818) 5756 nin Ui. ah . 3(99 ，2-5. ぅヲ lt [] Givr ，. E i i polm i n n m o hd m i s P t a ヲ otn 18. 2 rsad P， l p c rbes n o s o t o a n ， i m n Bso ， 95 1 [] Htlc F， te nqeeso te nes cnutv satrn p o l mf te 2 etih . On h uiuns f h ivre odcie cteig r b e o h 2 r 9 Hlhlzeuto，nes Polm 1( 9) 1914 emot qain Ivre rbes 01 4 ，2-4 うヲ [] H vn n N Caatrzn nlsosi otclt m g a h，IvrePolm 2 y 凸 e ， . hrceiigicuin n pia o o r p y nes rbes 3 2(04 7772 020) 3-5. うう う [] IeaaM ， eosrcin f h sae f h icuin y o n a y e s r m n s 2 kht， . Rcntuto o te hp o te nlso b b u d r m a u e e t ， 4 C m .PD 2(98 ， 4917. om E 319) 15-44 . ，[] Ieaa M Rcntuto f nosal f o tesatrn apiuea afxd 2 kht 5 eosrcino a btce r m h cteig mltd t ie feuny IvrePolm ， 419) 9994 rqec， nes rbes 1(98 ， 4-5 うヲ [6le国 a M Rcntuto o osal f o b u d r m a u e e t W v M t o 2]kl ，. eosrcin f btce r m o n a y e s r m n s a e o i n 3(99 ぅ 2523 019) 0-2 ヲぅ う oyoa aiy n w-iesoa o n e o a n [] Ieaa M Ecoigaplgnlcvt i atodmninlb u d dd m i 2 kht . nlsn 7 f o C u h dt，nes Polm 1(99 ，2114 r m a c y aa Ivre rbes 519) 13-21 うう う[] Ieaa M う Rcntuto fasuc d m i fo teC u h dtう Ivre 2 khtう 8 eosrcino ore o a n rm h a c y aa nes Polm ，519) 6765 rbes 1(99 3-4 う r [] Ieaa M ，Rcntuto o tespotfnto f icuinfo b u d r 2 kht， . eosrcin f h upr ucin o nlso rm o n a y 9 m a u e e t J I .I-oe Polm ，(00 3738 e s r m n s . n l Psd rbes 820) 6-7. v l ヲう [ t 3 也優う不連続面の観測データによる再構成の数理-境界値逆問題ヲ逆ソース問題お 0 畠] 00 よび逆散乱問題における再構成公式う都立大学数学教室セミナー報告， 20. [] Ieaa M ， rcntuto i teivrecnutvt polmwt oem a 3 kht， . On eosrcin n h nes odciiy rbe ih n e 1 srmn ，nes Polm 1(00 7573 ueet Ivre rbes 620) 8-9 うう [] IeaaM ， rcntuto fo a ata kolde f h N u a n t Drclt 3 kht . On eosrcin rm pril nweg o te e m n -o iihe 2 oeao，nes Polm 1(01 4-1 prtr Ivre rbes 720) 55 . うぅ う [] Ieaa M ，Ivrecnutvt p o l mi tei 凶es b IvrePolm 3 kht . nes odciiy r b e n h 凶 3 l ， nes rbes a 1(01 ，3-5 720) 4744 うヲ . . l [] I l a M ， xoetal goig ouin a d h C u h p o l m A p A a 3 k 凶， . Epnnily rwn sltos n te a c y r b e ， p l n， 4 e n .ム O1 [] Ieaa M Rcntuto f nlso fo b u d r m a u e e t ，.I .即 3 kht， 5 eosrcino icuin rm o n a y e s r m n s J n 時 v P s dPolm 1(02 ，76. o e rbes 020) 3-5 うぅ l [] Ieaa M ，xrcig h cne h lo a u k o n nlso i temliaee 3 kht， . Etatn te ovx u f n n n w icuin n h utlyrd 6 mtra A p A a 8(03 8下8 . aeil p l n l 220) 5 7 . 3 うう ヲ ト [] I l a M C m l xgoerclotc sltosa divrecakpolm ，r 3 k 凶， . o p e emtia pis ouin n nes rc rbes I 7 e vrePolm ，920) 18-45 es rbes 1(03 ，3510 ヲ 5 9 1 E A n h U E i [] 1eaaM ， x o laygoig ouin，l iaee nstoi mtra a d 3 kht，. E p 悶 tl rwn sltos m 此 lyrdaiorpc aeil n 8 il te nlsr m t o ，nes Polm ，920) 16-09 h ecoue e h d 1vre rbes 1(03 0517. ヲ[] 1eaaM ， vre cteig rbes n te nlsr m t o ， vre rbes 3 kht，. 1 es satrn polm a d h ecoue e h d 1 es Polm ， 9 n n 2(04 ，3-5 020) 535 1 . [] 1eaa M ，Mta L 血位、 fnto n etatn fo C u h dt，1vre 4 kht， . itg e 0 ucina d xrcig rm a c y aa nes polm a dseta ter，szk，.E. C n e t r r Mt. 3820) 4rbes n pcrl hoy1oai H d ，o t m o a y ah ，4(04 ，1 5 2 . [] 1eaa M ， h Hrlt w v fnto，h V k atasoma dteecoue 4 kht， . T e egoz a e ucin te e u rnfr n h nlsr 1 . m t o ，umte ，etme ，04 e h d sbitd 8pebr 20. [] 1eaa M ， ivretasiso satrn polma d h ecouem t o ， 4 kht，. An nes rnmsin cteig rbe n te nlsr e h d 2 C m u i g 20. o p t n ，05 [] 1eaa M ， n w omlto o tepoem t o a drltdpolm ，nes 4 kht，. A e fruain f h rb e h d n eae rbes 1vre 3 Polm ，120) 4346 rbes 2(05 1-2. ヲ[] 1eaa M ， w s e o poem t o a dosal wt i p d n eb u d r 4 kht， . T o i s f rb e h d n btce ih m e a c o n a y 4 d cniin sbitd M r h 20. odto，umte，a c ，05 [] 1eaa M ，nes cak rbe a dpoem t o ，oapa ，uo 4 kht，. 1vre rc polm n rb e h d t per Cb. 5 [] 1eaa M a dN m r ，. Rcntuto fruaf ietfigcak，. 4 kht， . n 山 u a G ， eosrcin oml o dniyn rcs J 6 r E s c y7(03 ，97. l t i ，020) 5-2 ait r l [] 1eaa M a d h ，. Nmrcl e h d o 日 d時 te ovx u o plgnl 4 kht，. n O e T ，ueia m t o f ni h cne h l f oyoa 7 c i e uig nlsr m t o ，nes Polm ，820) 1114 a t s sn ecoue e h d 1vre rbes 1(02 ，1-2. vi [] 1 l a M a dO e T ， nmrclm t o f fnigtecne h lo i l 4 k 凶， n h ，. A ueia e h d o idn h ovx u f n u 8 e r l csos s時 te nlsr m t o ， Eetoantc odsrcie vlain(1， in u i h ecoue e h d i lcrmgei nnetutv eauto V) n K j m ， e a (d.，0 Pes A s e d m 20 ，12. o i a F t l Es) 1 8 rs，m t r a ，02 2-8 . . [] 1eaa M a d8t e ，， ueia m t o f fnigtecne h lo a 4 kht， . n i 阻 n 8 Nmrcl e h d o idn h ovx u f n 9 l . r l icuin n odciiy rm o n a y esrmns 1vre rbes 1(00 ， nlso i cnutvt fo b u d r maueet ，nes Polm ，620) 14-02 0315. . era [] 1eaa M a d8lae，，l t c ipdnet m g a h a dMta-e 5 kht，. n itnn 8 E c i l meac o o r p y n itgL田町、 0 fnto，nes Polm ，020) 12-38 ucin 1vre rbes 2(04 ，3514 [] 1eaa M a d8lae，. Nmrclslto o teC u h polmf te 5 kht， . n itnn 8， ueia ouin f h a c y rbe o h 1 r . sainr 8h凸 igreuto uigFdevsG e nfnto，8 A J A p ttoay crdne qain sn ade' r e ucin 1 M . p l Mt. 6(04 ，9713. ah ，420) 10-92 [] 1ao，. Onuiuns o rcvr o adsotnoscnutvt ce c n ， 5 skv V ， 2 nqees f eoey f icniuu odciiy o田 i t es C m .Pr.A p M抗 h，118) 8587 o m ue p . l . 4(98 6-7. ヲ[] Ka H L m M a dN k m r ，. Dtcino sraebekn cak i t o 5 3 昭 . i ， . n a a u a G ， eeto f ufc raig rcs n w ，， dmnin ，nes Polm ，9(03 ，0-1. iesos 1vre rbes 1 20) 9998 6 0 n h U L円[] Krc ，. Caatrzto f h saeo asatrn osal uigteseta 5 ish A hrceiaino te hp f cteig btce sn h pcrl 4 dt o tef f l oeao IvreP o l m 1(98 18-52 aa f h a i d prtr nes r b e s 419) 4911. r e うぅ う ヲ [] Krc，. Fcoiain f h f - e oeao f te n o o e e u m d u cs 5 ishA ぅ atrzto o te a f l prtr o h i h m g n o s e i m ae 5 rid r a da apiain n nes satrn ter，nes P o l m ，519) 4349 n n plcto i ivre cteig hoyIvre r b e s 1(99 1-2 ヲ . [] Krc A N wcaatrztoso sltosi ivresatrn ter，A p 5 ish . e hrceiain f ouin n nes cteig hoy p l 6 A a 7(00 う1-5. nう 620) 3930 . l うう nr e h df nes c t i r ma r ae [] Krc A n Rte S， l e sml時 m t o o ivres t r時 f o n 5 ish .a d itr . A i a api 7 o e a . IvreP o l m 1(00 8-0 p n r ，nes r b e s 620) 915 c うう ぅ う y [] Kzo ， . A M z うa V G a dR s m n ，. Seta rbesascae 5 olv V . a y ， . . n o s a n Jう pcrlpolm soitd 8 wt cre snuaiis f ouin t e i i eutos Mteaia Sres n ih onr iglrte o sltos o l p c qain ahmtcl uvy a d lt M n g a h 8(00 A S o o r p s 520) M . ヲう ぅ う [] KesR Lna nerleutos Srneう 99 5 rs ぅ 9 . ierItga qain ，pigr 18 う o r r [] Llぅ A S， l an，.R a dWlsy A Sう C 町lV刊 x 6 ee . . K 此 ri S . n ilk， . . ∞ e 0 spotln m a u e e t a d plctosωtre rcntuto f o lsrrdr upr-ie e s r m n s n apiain t agt eosrcin r m ae-aa o . 919) 6311 dt ， Ot Sc A .A，(92 19-74 aa J p. o. m 幽幽 ? 句う lt [] Ldzesaa O .a d rltea .N ヲ Lna a d uslna e i i eutos 6 ayhnky ヲ .A n Ua'zv N . ier n qaiier l p c qain 1 16 L n o ，c d m cPes 98 o d n A a e i rs. うヲ T ， td f lw eeto e h d o F P opst r [] M r y ， .a dE 0， . A suyo fa dtcinm t o f C R cmoie 6 oia K n 凶 2 lmnts( tRpr) T em a u e e to caketnini C R cmoie aiae 1 eot. h e s r m n f rc xeso n F P opsts s r b e c i l oeta m t o ( J p n吋 Junlo teJ p nSceyf A r y l t c ptnil e h d i a a e， ora f h a a oit o e o era n nuia a dSaeSine 3(98 ，3-4 atcl n pc cec 618) 1916 拘ぅ 時ぅ .N n q ecniuto o n l t i ytm ih r ait [] N k m r ， .a dWa J . U i u otnainf a e s c ysse wt 6 aauaG n 3 ao I . l rsda s e a di ap1 t 瓜 S A .M t .A a 3 20) 3437 eiul t s n t plci n 白 MJ a h nう 5(03 ，0-1. rs s 恥抗白う 時 . . Rcntuto f rcsi na m O 1o 吐 h [] N k m r ぅ G ぅ U l a n G a dWa， J N ， eosrcino cak 担加n 凶ぬ 6 a a u a . h m n ，. n 4 moeeu nstoi e s cm吋i I 句悶叩osaiorpc l t gn a i e如1I d旧凧 u 何5 N k m r G う h m n う.a d 叩n う民 うω i抗ig白 c，匝 g ouinう u 伊e []北 a 町， ι U l a 払， n Wa g J N O c l 略-e句 yn sltos R n 6 司 a u札 . a nG 1 . . s l. n d a1 a1 t屯可 凶 1 此凶 g apoiainpoet f teaiorpce s c ysse a dterapiain prxmto rpry o h nstoi l t i ytm n hi plctos r ait . l t ivrepolm ，.Mt.PrsA p 8 (05 ，15. o nes rbes J ah ue p， 4 20) 2-4 tblt siae n eosrcin n nes c t i ae sn [] Pths ， 6 otat R Saiiyetmtsa drcntutos i ivres t r時 uig 6 S時山，r ore J o p A p M t . 1420) 2724 l sucs .C m . p . a h ，1(00 ぅ 4-7 l うヲ . apig n rb ehd-n lg此 mclve o p g [] Pths ，， S m l n a dpoemtosa aoo hia iw C m 凶 n 6 otat R 7 20. 05 うう t U n [] Pic J .a dWlsy A S， eosrcigcne s sf o spotl em a 6 rne .J n ilk，. . Rcntutn ovx e r m ， pr i e 8 srmns I E Tas PtenAayi a dM c i eItliec 1(90 37 ueet ， E E rn. atr nlss n a h n nelgne 219) 739 8. ぅう う . r [] Sletr J a d h m n G ， goa uiuns t e r m o a i es b u d r 6 yvse， n U l a n . A lbl nqees h o e f n 町 re o n a y 9 n .M t . 1518) 1319 vlepol瓜 A n a h ，2(97 ，5-6. au rbe ヲ 6 1 1 E A n h U q d []田辺広域、関数解析上、実教出版、 17. 7 0 98 i a apig ok nes rbes 2(04 ，6-7. nr [] Tl，. Whyl e smln wrs IvrePolm ，020) 1313 7 io A ， 1 う[ Tdrk ，. Kbysi H a dM t u r ， Apiaino e c i lptnil 7 oooi A ， oaah ， n a s u a K plcto f l t c oeta 2 ] . ， era m t o a dlmnto sno f satC R srcue ( Jpns) Jun o e h d s eaiain esr o mr F P tutrs i aaee ，ora f r n 1 teJ p n8ceyf CmoieMtras 2(95 ，99. h a a 0it o opst aeil，119) 8-5 r [ U l a n G ，eeomns n nes polm sne adr山 fudtoa ppr 7 h m n ，. Dvlpet i ivre rbes ic Cleo onainl ae ， 3 ] i H r o i aayi a d a i d f e i eutos(hit M ，ei ，.E a d n a m n c nlss n p t l i e n a qain Crs，. Kng C . n r a frtl d) p 9-4 ，h nvriy f hcg rs，hcg n 8dsyC ， s ，99 p.2535 T eUiest o CiaoPes Ciaoa d aok，. e . 19 ， Lno. odn [] V k a. Mdfcto o a itga tas rain n s m o i poete， l 7 e u ， oiiain f n nerl rnお mto a d o e ft rpris B l 4 ， 1 s u. i 3 A 吋.8.Goga 8 R 614) 1下 1 . c c erin 8 ，(95 ，7 8 [] Y r u l eo 8 ， teC u h polm o te alc euto， Rsin 7 a m k阻 5 dv h On h a c y rbe f h Lpae qain i usa， . r n D k Aa.N u 8 8 ，3(97 ，8-8. o l kd a k 8 R 2517) 2123 . ぅ[] Ysd ，.日mtoa n y s TidEiin 8rne，91 7 oia K， cinlA a s ，hr dto，pigr 17 6 1i . emi ades -al drs ieaamt.c.um-.cj kht@ahsignaua.p 6 2 -6 14 応用数理学会サマースクールレクチャーノート数値計算の視点から:多倍長計算の逆問題，非遼窃問題への応用藤原宏志(京都大学大学院情報学研究科) f Z a白@c..yt-U a j 包ω ， asikoo' . . . J r cp 逆開題の数学解析と同じく，数値解析理論と数値計算技法も重要である.本稿では，逆問題の数値計算手法から， r 多信長計算Jr スベクトル法j の基礎を紹介する. 販問題を対象とする数値解析と数値計算は，系の安定性老前提としている.系が数値的に安定とは，誤差の混入があったとしても，その誤差が微少で、あれば計算結果への影響は少なく，数倍計算が信頼できることを意味する，安定性老有する問題では，分割数を増やすことで数値解の精度の向上が期待され，傾向題に対する大規模数値計算は，計算機の性能の向上とともに成功そ収めてきた.これはいわば，数値計算の「量の改善j である. さて逆開題とひとことで、いっても，領域決定問題多方程式の未知係数，ソース項や初期値の決定問題など議々な問題設定がなされる.数値解法では個々の系がもっ特徴を保存するような離散化が望ましく，従って問題に応じた議論が必要となる.しかしこれら逆問題の数値計算にはある共通する数学的性質があり，数値計算を困難なものにしている.この菌難性は逆問題の非適切性(l-oen ilpsd由自)に起因するものであり，数値的不安定性( n e i a ntblt)と呼ばれる. n m r c lisaiiy 数{直計算では，実数とその演算，微分作用素や積分作用素の近住!をおこなうため，誤差が混入す eat る.従って，数学的に正しい式が与えられたとしても，それを計算機上で厳密(xc)に実現することは殆んど望めない.数値的に不安定な問題の数値計算では，これらの誤差が急激に増大して，計算が破綻する.そのため「量の改善」だけでは逆問題の数値計算は実現し得ないことが指摘されている. 数値的不安定性の克販のために，最小二乗法，一殻逆法，正期化法などの理論がある.これらは微分方程式などで、記述される系から最小化問題を導出し，その最小化開題を解くものである.数値計算にあたっては，最小化問題を離散化して有盟偶の未知数(パラメータ)探索問題に帰着させる. これらの方法は汎用性が高いという利点をもっ反面，その裏返しとして，導出された最小化問題では元の問題や解のもつ特徴的な意味や重要な性質が失われていることも多い.未知パラメータの偶数や値に人工的な制限を加えることもあり，元の問題の特性老欠落した議論も少なくなかった. I 最小化問題に話を限ると，近年は勾配法のみならず. A ，ニューラルネットや遺伝的アルゴリズムにより最適パラメータ探索をおこなう数値計算も試みられている.計算機の高性能化や逆問題に対する知識の蓄積もあり，これらの手法が効果的である場合もある.また何らかの要請で数鑓計算が必要なとき，これらの手法に頼らざるを得ないというのも事実であるが，これらの手法の数学的な正当化は困難である. この反省のもと，近年，逆問題の数値的不安定性老克臆する新たな手法が幾っか提案されている.そのひとつが，計算機上での実数の扱いの改善と高轄度麓散化の併用という，数値計算の「賓の改善Jである.この手法により，数値的不安定性の克躍の可能性が示されつつある.これらの手法を具体的・現実的な逆問題に適用していくことが，逆開題解析の数値解析と数値計算における課題である.未完成の手法でもあり，またこれらの手法だけでは不充分でもある.今後は，具体的な適用の中での数値解析と計算手法の進展が望まれる. 1 1 E A n h U uに 1 計算機上での実数の近似と丸め誤差霊子計算機で扱うことが可能な情報(データ)は，本質的には 2 値の区別，すなわち“0 と 1 " “ " のみである.この最小単位をピット(iayUI bnr 世)とよぶ.ただし 2 . 値をとるピットの扱いのみで eJ は不便なので，実際には「謹数のピットを束ねてJそれらに「型(守p)の概念を付与することにより，整数，実数，文字，画像や音などの多様なデータを扱うことが可能となる. 計算機上での数値計算において実数を表現する型は複数提案されている.科学技術計算で広範に利用されているのは浮動小数点数とよばれる型であり，演算などのアルゴリズムとあわせて浮動小 7 6 ，]数点方式として定義される.浮動小数点方式の一般論については. [ 1 に詳しい. 多倍長数，あるいは多倍長計算の明確な定義はない.プロセサのアーキテクチャおよびプロク、ラミング言語で定義される基底型に比して，多くの精度を有する実説丘似手法とその演算と考えるのが自然である.本稿でもこれに従い，多倍長精度・有限桁の浮動小数点方式について述べる.そこで基礎となるのは浮動小数点方式の理論で、ある.本節では浮動小数点数のデータ構造について述べる. 3 浮動小数点数 F 浮動小数点方式は，実数の表現方法のひとつである.例えば 1 進法 5桁の浮動小数点方式で、は 0 13 5を 1 2 4 X 12 のように表す.十は符号であり . 0を基数(aeまたは rd ) 1 3 5 2. + .3 5 0 4 1 bs . a i. . 4 .x 2 を仮数部( g f ad ，1 の罵である 2を指数とよぶ.浮動小数点方式では表現が一意になるよ s n i. ) 0 i i cn うに，仮数部の先頭指を 0 以上基数未満のひと桁の整数で表すのが一般的である. 浮動小数点数は基数，仮数部の柘数(精度).指数の範囲によっていくつかの方法が提案されてい 0 0 使れ ，る.現在ではワークステーシヨンやパーソナルコンビュータで、は 1 進法(基数が 1)はわ ず 2 進法(基数 2 が利用される. )以下の浮動小数点数の集合月を例に，典型的な 2 進法の浮動小委主去数のデータ構造を説明する. :1・ f0 : hhx2 ぺ ' ' .、、 i a ，、 ，噌 i 五ε 01，ε {- ，，，}{ ，}ε J lOlT. . ，εが指数. 1・ 0hh が仮数部である .F の元は，指数部が 5つの状態をとり，仮数部の精度が 3桁 3 ( ピット)で構成される. 3 10 1 0 であると約束する.したがって(1.1)がま ，εが- ，，のいずれかである場合には. 1 = 1 ず表す数のうち，正のものを全て列挙すると 1 0 T 1 = 05 . X 0 . 1 1X 2 1 = 065 . 0 .2 1 0 2 1= 07 . X 1 .5 1 1X 2 1= 085 . 1 .7 0 1 0x2 = 1 . 0 0 . 1 1x2 = 1 5 . 0 2 0 . 1 0x2 = 1 . 1 5 0 . 1 1x2 = 1 5 . 1 7 1 1 0X 2 = 2 . 0 1 1 1X 2 = 25 . 0 . 1 1 0X 2 = 3 . 1 11 X 2 = 35 .1 1 . となる.ここで，左辺の仮数部は 2 進法表現であり，右辺は 1 進法表現である.これらを実数直 0 ε -，} nraie 線上に表したものが図 la である .e { 10 1 で表されるこれらの数を正規化数(omlzd () nI l e)と呼ぶ.月では， 0は正規化数では表現できないことに注意する. U lbr ヲょの場合を考える.このときは 1 =と 束， (.) eには正規化数を表現する 0 0 約し 11の次にε= 3 . よで表現される数指数部の最小値を代入するものと約束する .F では. 2L= 2 1 である .e= 2 - 6 1 6 05 . 07 .5 1 l2 .o 1 . 5 1. .) 7 2 2 . 5 3 3 . 5 ~ 065 (S5 .2 L7 ( 乃の正刻化数 a ) O 02 .5 ト 十十 。 15 035 2 .7 1 ( F3 の~nEjrl化数 b ) O 02 .5 05 . O7 .' i 1 15 . 2 13 . 事 t匂 5 7 2 2 . 5 3 :5 3 . 111111111 015 O 7 06ヨ 0 7 .2 . ::: l' j 2 .5 8 戸 x，a (= } N N ε丁 ( F で表さるE c 3 、現れi数) j 1 浮動小数点数の体系民 j : g J のうち正のものを列挙すると， 00 X T 1 =0 .0 00 xr1 ニ 015 .1 .2 01 X T 1 = .5 .0 02 01 X T 1 =035 .1 .7 となり，数車線上では図 1b のように並ぶ. ε=-.Lの場合に表されるこれらの数を非正規化数()(eomlzdmnbr とよぶ二近年は sbomlzdn m e とよばれることも多い. dnraie l e 1 ) unraie u b r T の値を考えず，演算結果として士∞であることを表したり，演算とその結 e=Tの場合は 2 果が無効であることを示す nta u b r( a )の状態を示す. o n m e NN 3 このとおり .F で表される数には正規化数と非正規化数がある.正の数を合わせて数直線上に表すと，函 1 )のようになり，浮動小数点数は実数軸上に離散的に存在することがわかる.また，( c 等間隔には並ばないことも特徴である.となりあう 2 数の差は{反数部 1 hh ) 0 0 最下位桁における l U si te a l e l s a)誤差に相当する.この差のことを up(吐t n h l 七p c とよぶ¥・ 3 17 6 丸め浮動小数点数は実数軸上に離散的に存在するため，すべての実数を厳密に表すことはできない. となりあう 2つの浮動小数点数の閣にある実数は，含まれる区間の両端のうち 4 方の浮動小数点数で近似して計算機上で表現する.この近依のことを丸めという.いいかえると，丸めは，実数から浮動小数点数の集合への写像で、ある.ある実数を丸める際には，その実数が含まれる(最小の)区間の両端のうち，実数に近いほう(等~離のときはいずれか一方)を採る最近値丸め(rounding t tena田 t，大きいほうを採る十∞方向への丸め(onigu o h er ) rudn 科、小さいほうを採る-00 方 rudn d w ) 0 向への丸め(onig o n ，~.こ近いものを採る O 方向への丸め(chopping)の 4 種類が考えられる.通常は最近値丸めがおこなわれる. 最近値丸めでは，扱いたい実数とそれを丸めて得られる浮動小数点数との間に最大で、~ulp の{絶対}誤差が含まれる.この誤差を丸め誤差( o n i gerr という.また， r u d n ro) i 中に相当する 1 相対誤差を計算機イプシロンということが多く，この場合，実数の表現における丸め誤差は計算機イプシロン以下になる伺.この計算擁イプシロンの定義は決まったもので、はなく，例えば[ で 1 3 ]は ll に相当する相対誤差老計算機イプシロンと定義している. up 浮動小数点数 F のコーデイン夕、 3 九を計算機で扱う際に必要なピット数を考えよう.符号は正か負のいずれかであるから， 1ピッ トで表現可能である.指数部の 5つの状態を表現するには 3ピットあれば充分である.銃数部につ て， いは のみの表現に/ はε の状態から決定されるため省略し，hh 0 2ピットでよい.このとき省略されたんは，暗黙の省略の 1 ピット(idn i あるいは，暗黙の省略の 1(idn n) hde h ) t hde oe とよばれる.合わせると，F の浮動小数点数(1.1)の保持には 6ピサトあればよいことがわかる. 3 実装の際には符号，指数，仮数部をそれぞれどのようなピット到に割当てるかも決めなければならないが，ここでは省略する. 数の絶対値が最小・最大の数のオーダーは指数部のとり得る値によって決定され，となりあう 2 ~離は仮数部の指数により決定される.従って，より広い範囲の実数を扱いたい場舎には指数部を増やせばよい.また，丸め誤差を小さくする，すなわち隣り合う 2 つの浮動小数点数の盟縞を小さくしたい場合には仮数部の鯖度を増やせばよい. IE74 E E 5 倍精度数一接的な数値計算における実数の扱いは I E 7 4 E E 5 で定義される方式に準拠している. I E 7 4 EE5 では単精度方式，倍精度方式などが定義されており，それぞれ浮動小数点数の表現に擦しては表 1 に示すピット数が割当てられている.特にその中でも，倍鯖度方式(obe o mも)が数纏計算で dul f r a 標準的に利用されている.倍精度方式は 6 ピットの活報によって図 2 4 のように計算機の内部で註保持される.信精度数は符号部 s バイアスされた指数部 e( e 12) b=十 03 ，仮数部 F から構成され ? = 1 る.εbヲ 0 ， 1023 の場合が正規化数にあたり，図 2~こよって 2 (1"x2eb~1023 x(十 F X T 5 ) _) 1 (2 1) . という数を表すこととする.ここで，図 2 凡 F は 2 進法で符号無し整数と解釈する.匂=，03 0 12 のの場合も含めて，信精度数は表 2のようなコーディングがなされる.ただし O で始まる数字は 1 x 6 進法による記述である.丸めには，先に説明した 4つのモードがある.最近値丸めにおいて最近信が 2つ存在する場合には，結果の最下位ピットが 0である方を選ぶ偶数丸めが採用されている. 4 18 6 表 1 laig on Fra Prmtr Dfnd n E E 5 :Fotn Pit omt aaees eie i I E 7 4 Fra omt ‘ Prmtr aaee Snl ige 3 2 8 Snl ige B tne 文 edd Dul obe 6 4 Dul obe Etne xedd F r a w dhi b s o m t iも n i t E p n n w d hi b s x o e t it n i t Sgiiad i t i b s(rcso) infcn w d h n i peiin t 2 4 >4 3 >1 1 >3 2 1 1 5 3 >7 9 >1 5 >6 4 表 2 E E 5 倍精度数で表現される数と指数部のコーディング:I E 7 4 指数却のコーディング{ ω) 1 指数部(ε)J仮数部( 1 F 浮動小数点数値(J ) x 悶 L 土O F 2 1 2 . X -0 2 土1 X 2 1 2 . F -0 2 土1 X 2 1 2 . F -0 1 8曲 l d e OOO xO OOl xO O02 x0 - x f () O3e よ-xf = 12 O3e -02 - x f = 12 O 3 d -01 sboml unra 10 3ω O3e xf O3f xf O40 x0 1 1 。 土1 X 2 1 . F 土1 . F 土 1 x2 . F 05・ .・ 1 . ・ 2・ .・ O7d xf O7e xf O7f xf O7f xf O 3 e= 02 xf 12 O 3 f= 03 xf 12 丁土 1 X 20 2 . F 12 13 0∞土00 。 #0 土 1 X 20 3 . F 12 土∞ T N taN m e (Na1~) o ubr 5 - 6 1 9 R e b I 1 1 1 F 5 bs 2i t 国 2 E E 5 倍精度数の計算機の内部での表現:I E 7 4 丸め誤差こせよ，遅延評価などの手法を利用せずに精度を固浮動小数点方式では，どのような方法を採る L 定する握りは，実数表現には丸め演算が不可欠である.この近似は実数の表現の際におこるだけで r 演算について閉じていない.さらに浮動小数点数はない.浮動小数点数の集合は通常の実数の四異J 値に対する初等麗数の値も，一般には浮動小数点数に含まれれない.そのため，各種の演算結果を浮動小数点数値で得るたびに，丸め演算が必要となる. 表現と演算結果の丸めに際して混入するこれらの誤差を丸め誤差と呼ぶので、あるが，特に演算に i 需落 現おいては f 柘落ち現象J， ' 報ち 象j と呼ばれる計算機特有の現象を生じる. 桁落ち現象(rnain r tucto)有効数字の上位桁が等しい 2数の加減算の結果，有効数字が減少する現象J . 例ば え， 1 進法で 5桁の結度を有する浮動小数点数体系 D 5において演算を考えた場合， 0 F 1 9 3X 1 2 - 1 91X 12 = 200 X 1 . 5 2 0 . 5 2 0 .00 0 2 となる.このとき被減数 125 X 12 および減数 1 91X 12 は 5桁の有効数字を保持するが， . 5 2 0 .93 0 桁のみである.ここで，演算結果の小数 .00 0 2 演算結果である 2数の差 200 X 1 -の有効数字は 1 点以下に続く 4つの Oは柘をあわせるためだけに詰められるだけのものであり，有効数字ではないことに注意する.柘落ちでは誤差は混入しないが，桁落ちに続く演算により大きな誤差の混入を招く可能性がある. 15 f riig ii5 橿端に絶対値が異なる 2数の加算もしくは減算によ構報落ち現象(05o taln dgt) r り，一方の情報が計算結果に反映されない現象J . 上述の 1 進 5 0 拐の D 5では，次の誤算がおこなわれる. F 1 93X 12 十 923 X 1- 0=1 93X 12 . 5 2 0 .31 0 1 . 5 2 0 ， t 923 X 1- 0を加えてい l では .31 0 1 この式における等号=は，Dp での演算結果を意味する.このW るにも関わらず，予め定められた桁数の制限によりこの数の情報は計算結果に反映されていなし、. つの現象で注意すべきことは，浮動小数点有醍桁方式で、は数学的に巌密な式が与えられたとし 2 ても，計算機上で正確な結果を得られるとは鰻らないという事実である.計算過程に現れる全ての(浮動小数点方式で近似された)実数や数式に対し，結落ちと情報落ちが生じないように式変型をおこなうことは国難であり，丸め誤差の処理に加えて，これらの計算機現象に常に留意する必要がある. 計算環壌に依存する丸め誤差 EE5 現在，一般的に普及しているプロセサは浮動小数点方式として I E 7 4に準拠していることが S 多いが，信用する O .コンパイラ，ライブ、ラりなどによって数値計算結果が異なることがある.基本的な演算での相遣を表 34t ，こ示す.また，組み込み函数の値も異なる場合がある(表 5 1)，7. [] 6 E A iハリ 門表 3 計算環境による計算結果 1(倍精度}: Z =2 5 y=2 54 -3 写 1十 Z 十 y 1 十(十 y x ) X o (iu) e n Lnx PnimLnx e t u ( i u， B r a dC o l n 十÷匂 伊伊 C g7 τ京 y 伊伊 w 阿 A p aじl a P R - I l h. t S A C I ，む r I.ir2 P w r C tnun o e P aぬラ 1 25 十-2 1 25 +-2 1 I 25 十-2 P n i m( r e S etu FeBD ヲ Vsa C+) iul 十表 4 :計算環境による計算結果 2(精 )倍 度 a~0.854200011227730815477... b 059455253139 ・ぉ .1945531882. ー 2 d -b 雪 I4913869103. 0 535132117. . A p a S A C I.i m I 9 1 3 8 6 9 1 6 . l h P R ，a u 2 0 3 5 1 3 2 1 0 . tn 品 PnimLnx etu(iu) . 3513211. . 5 049 1 3 8 6 9 1 2 . ・ PnimFeBD etu(reS) 7 E A i 門 E A 表 5 計算環境による組み込み函数の計算値(倍精度): Z 26ぉ 7 4X 11 ) 4(‘ 0 03 0997028799 ・. . .943543948 0997354394.. .94;028797 . snx i() S A C P R Apa lh P w r CG oeP 4 P ( y w吋 4Cgi Xo(iu) enLnx P (iu，r e S 4 Lnx F e B D I .20631696 0902089703 i 0997354394. . .94;028797 . I .206:89703 ・・ 0902011696 ・ 0991094196. .94845369. . BC+ぅ VC 十， M n W I 十十 iG)これらの表中の数値は計算機上で 2進法で得られた結果を 1 進法で記述しており， 1 桁以降 0 7 進を省略して.. .とているために正確な演算結果を示しているものではないことを注意する. 2 9 1 5 法の浮動小数点演算を厳密に表記するためには C 9規格[]で導入された記法を利用すると便利 e である.詳しくは述べないが，土 O 1 Fpeという表記により実数土( + X 2 5 ) X 2 を表す. x. 1 F -2 5 F O F <22 は 1 進法整数で.eは 1 進法で記述する.これらは C 言語プログラムの中でも(三 6 0 有効な定数句である. この例のように，個々の表現や演算に伴う丸め誤差は小さいため，これだけを見ていると大きな問題ではないように思える.しかし前述のとおり，計算機アーキテクチャによる浮動小数点方式の壌かな違いが計算結果が大きく影響を与える場合がある. 例えば，次の三項間漸化式を考えよう. a+= ーー α . 一 1 α nl n 2 1. +一 1 n 1.. 一 1 a =1 a 1 1 " . ι， 3 4 3 { }の直 C 言語による数値計算で求めると，国 3のように，利用する計算機によっ a {を n " (1n j)て著しく異なる数値計算結果が得られる.さらに，いずれの数値計算結果も厳密解 a = l 1 この漸化式のとは全く異なっていることに注意する.実はこの伊jの漸化式の一般解は九二 cl(ljll)η十 C2:~n で n あ，3 の発散項を有するためにその数舘計算は数値的に不安定である.このため，この漸化式り を与えられた式のとおりに計算すると，丸め誤差のために C ヂ0 防 2 予 I 1の場合の計算に相当す< <: る可能性がある.個々の演算での丸め誤差は僅かであるが，数値的に不安定な問題では累積された丸め誤差が著しく増大し，図 3のように利用する計算環境に依存して計算結果に深刻な影響を与える. 2 多倍長計算環境 efi xlb 多信長数の標準的な表現と実現方式は存在せず，著者は独自に多倍長精度・浮動小数点数の型 efot e' n e peiin i t tpit u b r xia (: e d d rcso f a n on m n eうを定義し，その演算を e i (xele peiin h . t oix i etldd rcso fb f a l - i aihei lbay として実装している. efot型の浮動小数点数は仮数部の柘数 i t l p n rtmtc irr) oigot xia は可変長で，ユーザが自由に決定することができる.すなわち隣り合う 2つの浮動小数点数の距離を任意に変更することが可能であり，丸め誤差の大きさを任意に設定することができる.標語で 8 E A i 門り 中。 倒 2 20 50 + 1曲 2 &X 11E3 X 1 p ηXo(iu) IenLnx + 3 健 3 民ヨ 民 ApaLnx lh(iu) 1O !O i 1 割地占 50 0 。 3 民割 腿; :-0 50 -0 3 1制ー 50 10 < x 1 + 2 00864 .0246 00864 .0246 6 .02 0 6291X 1.02 06 a 6291X 1 .55 01 1 3804 1 -1 3819X 1-1 0 .61 X 0 1 -.12 7937 -620 477 x 5 I 782 0 511 20 00 ヨ 6 3 8 4 0 4 2 4 4 4 6 " 図 3 ueia yUsal P c s :Nmrc ] ntbe r e e J oss い と ei う， xi f bは数値計算の世界における顕微鏡であり，これまでの数値計算では見えなかったものを計算機上で実現することを目標としている.本節では， efo色 e l xla x i ， f bとその演算について概観する. el xi f bは，科学技術計算，特に偏微分方程式や積分方程式などの数値計算での利用を想定して， 1 進法で 10 0 0 桁から数千桁程度の精度での演算を，特に演算の高速性，メモリの効率的な利用を念頭において設計している.現段階の e l x i C++言語からの利用が可能で，浮動小数点数の四 f bは期演算，組み込み函数値， 1 進法による初期化と出力など，数値計算に必要な機能老有している. 0 O T A から利用可能な演算サブルーチンの集まりであり，ライブラリと e出bは C言語や F R R N x して提供している.このライブラリを使いやすくするため， C++言語におけるインターフェースも提供している.多倍長精度での計算が実行可能な環境としては多くの実装があり，現在は GNU ヘ 泣， ，c AI MI P iMPFR b が代表的である.また圏内ではじB S Cが著名である.商用の数式処理ソフトである M p e M t e a i a a l ， a h m t c でも利用可能である. 多倍長数 efotのデータ構造 xla ei xi f bでは多倍長精度の浮動小銃宗教 efotを定義し，メモリ中に図 4のように 6 ピット符 xla 4 号なし整教の配列により保持しており，山 2 x1 ト( ペ+ 匂 b という実数を表している.ただし，b 2 _1である. 6 = 62 4ピット計算機での利用を考えてこの実装を採っているが， 3 2ピット計算機においてもメモリに格納する最には 6 4ピット配列として格納している.そのため， M Iなどを利用して 6 P 4ピット計算機と 3 2ピヅト計算機が混在するような環境においても並列計算が可能である.仮数部を倍精度数で実装する環境もあるが， 6 4ピット計算機では精度と計算時間の両面において整数型を基底型として利用するほうがよい.これにより，メモリの効率的な利用およびメモリアクセスの回数の減少という利点もあわせもつ. i t こ記櫨された 6 nピットに加えて暗黙の省略の 1ピットをもっ.従って efot 4 xla 仮数部は，配努t 4十型の浮動小数点数は 6 n 1ピットの精度をもっ.乙の n はユーザが自由に指定することができるが.現在のところ，ひとつのプログラム中では精度の変更などはできない.演算アルゴリズムの(0 7 都合上 n三3 1 進法では 7 桁以上に相当)を仮定している.四期漬算のアルゴリズムでは nに 04 約上限は設定していないが，組み込み函数で利用する数表はη =12 ( 2万桁)の精度を有する. 9 円 i 円 ︽U ~ 1 6 3 h 6 4 ん 6 . 1 ん 6 4 6 4 図 4 多倍長精度・浮動小数点数 e l t型のフォーマット: xo fa 指数部には固定長の 6 ピットを割当てており， 1 -08 から 1 1日までの数を扱うことが可能 3 0 1' 00 である.ただしプログラムの簡素化と譲算の高速化のために非正規化数は定義しておらず，e =0 b のときは仮数部の値によらず常に O と解釈する.倍精度方式で非正規化数として扱われる範囲の数も efotでは正規化数として扱われるため，一較的な数値計算で扱われる範囲の実数は efot xia xla 6 で表現することが可能であると考えている . b= 23- 1の場合は土 00として扱う. ε浮動小数点漬算のアルゴリズム e i は e otに対する演算を器供している.浮動小数点数の演算アルゴ、リズムについては同事 xi fb 姐 a 多倍長演算については[]が詳しい.理論的な誤差解析については何に詳しい. 1 6 efi の加減算のアルゴリズム xlb 加減努では古典的な筆算による方法を実装している.加減算における保護拓は 3ピットで充分で 7 ] x めではアーキテクチャのピット数に応じて切りがよ f あるが[ ，プログラムの簡素化のために e i いように，余分に保護桁をとっている. n ピットアーキテクチャでは n桁の符号なし整数の加算において結果は n十 1桁となる.すな O T A わち，繰上がりを考慮にいれる必要がある .C言語や F R R Nではこの繰上がりを捕捉する命令はないが，大抵のアーキテクチャでは特加なレジスタが定義されているいるため，これを利用 lh すれば隷上がりの発生を捕捉することができ，特7.l1Jなアルゴ、リズムを必要としない. A p aアーキテクチャなどではこのような命令が定義されておらず，同等のアルゴリズムを実装する必要があ 6 J . O T A る[ C言語や F R R Nで実現する場合にはそのようなアルゴリズムを利用するほかに，インライン・アセンブラを利用したり，精度の低い基痕型を科吊する方法が考えられる. efi の乗算の漬算アルゴリズム xlb 乗に比例i 乗算の古典的アルゴリズムは筆算である.筆算における基底型の乗算の回数は精度の 2 する.一般にプロセサ内部での整数型の乗算は加減算に比して 1 倍程度の時間がかかるとされて 0 ]) お[ 1 ，基底型の乗算処理がアルゴ、 1 ~ズム全体の計算時間の大部分を占める.乗算は組み込みり 44 ヲ函数などでも多用される重要な演算であり，基底型の乗算の回数f誠らすためのアルゴリズムの研 k 1 司究が盛んにおこなわれている[ . 代表的なものは K r おu a O n n a a b -あ a のアルゴリズムである.基数をグとし， 2 つの数α 十 bc +d β，β 1 0 E A i4 門 A の筆算を考える.ただし O: bcdくβ である.この 2 S :仏 ，数の積は次のようになる. ぅ) ， d αβα + c β b (B (( +b c +)= c2+ d b )+ d αβ = Cs2十( -) c d 一α -b グ+ d α( b (- ) c d b. α) (1 2) . ρ2 2 . 式 (. ρ2 Ka瓜回 b のアルゴリズズ、ムを示しており仇，式中のα ，一め C め b のも れぞ れ 2)が泣r七叩 a as 凱 u c( b 一d d 積そ ぞ、 伊) )α (ラ ヤ紅r s b a回u a法により再再I 賠的に計算する. 帰 Ka抗t 凶式 (1 2 )は筆算をあらわしており，乗算の回数はαCα，cb の 4 . db，d 回である.一方， K r t u a aasb ヲ 2) . cα( )-d d (法 ( 2 では加減算も合わせた演算の回数は増加しているが，乗算はα ，-b c )b の 3回ぅ に減少している.基底型の乗算の加減算に対する時間比を考えると，加減算の増加よりも乗算の回数の減少のほうが全体としての演算時間の減少に貢献している.この K r t u a a a s b のアルゴリズムにおける乗算の回数は多倍長数を表す精度(基底型の要素数)に対して 0no2)ぉ O 15. とη (lg3 ( . 85 η) なることが示され，計算量が 0 n)である筆算に比べると，精度が大きいほど K r t u aのアル(2 aasb ゴリズムが優位になる. 他に代表的なものとしては， Fuir変換を使うものがある.これは，筆算を合成積であると考 ore える方法である.大きい精度を要求される場合，例えば暗号理論に代表されるような場面では一般的に利用されており，専用ハードウエアによる実装例もある.しかし数千桁程度の演算では基底型の乗算以外の部分のオーバーへ、ソドが大きい. el xi f hにおいては，目的とする桁数が 10 0 桁から数千桁程度と多倍長精度の研究としては比較的小さいことから，筆算および K.ash a tuaのアルゴリズムを実装している.乗算のルーチンが呼 r ばれると，要求された街数に応じて適切なほうを選択して実行する.例えば A D 4での筆算と M 6 K rtua a asb 法の速度を比較すると図 5 . のようになる.図中，横軸は計算精度を 1 進法で，縦軸は 0 計算時間をマイクロ秒で表しており，実線が K r t u a.の計算時間を，破線が筆算のアルゴリズ aasb ムを示している. 100 00 桁程度までの範聞では筆算が高速であるるため，こちら老利用する.一方 A D 4とほぼ同じ命令セットを採用していてもマイクロアーキテクチャが異なる E 6 Tで， M 6 M 4 のようになり， 6 0 桁程度までは筆算で，それを越えた場 00 は，筆算と K r s b 法の速度は図 6 a前 u a 合には K r t u a a a s b 法を利用するのがよいと考えられる.一般的なパーソナルコンビュータである I-2ではこの速産差の逆転が 2 0 A3 0 0桁程度でおこることが図 7よりわかる. 5 ]これらの図はプロセサのマイクロアーキテクチャに大きく依存するため[，最適な速度を実現するには，本来は計算環境毎に切り替え精度を決定するのが理想的である.配布している e l で xぬ f は数台で速度比を検証した結果をもとに切り換える精度を埋め込んで固定している. 加減算と同様，基底型の乗算についても繰上がりが発生する.すなわち nビットの符号なし整数の乗算は 2 nピットになり， C 言語などでは表現可能な最大の整数同士の積を得ることはできず， 1 lJ途のアルゴ、リズムが必要である.しかし，プロセサの内部積の上位 1 ピットの情報を得るには j で、は積の上位を取得する特別な命令が定義されていることが多く，それを利用することにより 2 n ピットの積を得ることができる. efi の除算，その他のアルゴリズムについて xlb 除算には O a aのアルゴリズムを採用している[ ，4 組み込み函数については引数を適切 zw 1 2. 8 ]な範囲に還元した後， Tyo 展開を利用して函数舘の計算をおこなっている.還元に続く Tllr alr ayo 展開では引数が適切な範間にあると仮定して固定小数点演算をおこなう.この国定小数点演算の部 1 1 E A i 門 U に . y シ 6 4 Y 0 . 1 ハ︾ 0 . 1 u b a p C M X 貝阿 H W M Z円 ' 4 F J︾ 4 0u .1 。i 3 I i 0 i 0 O J 001 .0 ::::::: : 55 27::::: 7:: ::7::/ / E m m J 〆 J ， ， ，〆 ，〆 a